CF701 Eletrodinâmica Clássica I Prof. Dante H. Mosca 2014

EMENTA As Equações de Maxwell: Eletrostática, Magnetostática; Ondas Eletromagnéticas Cap. 1-2-3, 5 e 6 Os Principais Fundamentos da Relatividade Especial; Quadrivetores; Formulação Covariante da Eletrodinâmica Clássica Cap. 11 e 12 Teoria da Radiação. Cap. 9, 10 e 15 BIBLIOGRAFIA J D Jackson: "Classical Electrodynamics" (3rd Edition); L Landau, E Lifchitz: "Théorie du Champ" (Mir, Moscou); E Durand: "Electrostatique et Magnetostatique"(Masson et cie., 1953); W K H Panofsky, M Phillips: "Classical Electricity and Magnetism" (Addison Wesley,1962); J A Stratton: "Electromagnetic Theory" (McGraw Hill, l941); P M Morse, H Feshbach: "Methods of Theoretical Physics"; Carga horária 90 horas. Créditos: 6 AVALIAÇÃO 3 Provas escritas (50%) e 3 listas (50%).

Roteiro Propagação da luz e experimento Michelson - Morley Relatividade especial Formalismo de Minkowski Definições de massa Teoria de grupos: translaçõses e rotações Formulação covariante da eletrodinâmica clássica O spin e a precessão de Thomas (equações BMT) Partícula carregada no campo eletromagnético Formalismo lagrangenano covariante Tensores de tensão-energia e momento angular do campo Formalismo covariante de ondas e campos de radiação

Domínios de validade

Espaço, tempo e massa...

Experimento de Michelson-Morley (1881 a 1887)

Comprimento de Coerência http://en.wikipedia.org/wiki/Coherence (physics)

Tempo de Coerência 1 2 Quanto uma onda é monocromática ...

Coerência e pulsos Formam um pulso se são fixas as fases (coerentes)

Luz solar Luz branca com fase e amplitude variáveis.

Interferência de pulsos de onda 1 2 3 = < 1 + 2 > Grau de coerência ...

30 km/s

Sem mudança !

Mudança de fase em referenciais K e K' galileanos Hipótese de Ritz

Efeito Doppler relativístico

Efeito Doppler transversal Satélite P Estação Dilatação dos tempos: Como T=1/f: (efeito Doppler transversal)

2000 light-years away from Earth

Relatividade Especial Einstein, Albert (1905), "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 322 (10): 891–921. Primero postulado (princípio da relatividade): As leis físicas devem ser as mesmas em todos os referênciais inerciais. Segundo postulado (invariabilidade de c): A luz se propaga no vácuo com uma velocidade constante c que independe dos estados de movimento do corpo emissor e do observador.

Dois diferentes aspectos O tempo depende do estado de movimento do observador! Espaço & Tempo Conceitos diferentes Espaço & Tempo Dois diferentes aspectos do mesmo conceito

z Relatividade z  z2 http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_conforme

O « ver » é determinado pela luz que chega ao observador em um dado momento.

Há diferença entre medir e observar ? Introdução ao Princípio da Relatividade ? Há diferença entre medir e observar ? A velocidade da luz ser finita insere o passado no instante da observação ?

A forma e o volume de um corpo dependem de como a luz emitida chega até o « observador ».

distorção relativística

Invariância da velocidade da luz no vácuo e em todos os referenciais inerciais

O fator de Lorentz e o parâmetro de velocidade Parâmetro de velocidade (% c) Portanto: (dilatação temporal)

As equações de Transformação de Lorentz y y’ S’ S v vt x’ evento x x x’ Válidas para qualquer velocidade fisicamente possível. Lorentz, Hendrik Antoon (1892), "La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants at the Internet Archive", Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 25: 363–552

Transformações de Lorentz e Princípio da Relatividade

Exercício Considere a situação abaixo.

Exercício Mostre que as transformações de velocidade são: Ou ainda

Exercício Mostre que as transformações da aceleração são:

Registrando um evento Eventos: colisão entre duas partículas, acender de uma lâmpada, passagem de um pulso luminoso, evolução de uma vida, ... Aquém Além A B x c t x = - c t x = + c t Passado Futuro 4 coordenadas: 3 espaciais 1 temporal Relatividade: determina as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por 2 observadores se movendo um em relação ao outro.

Diagrama do cone de luz de Minkowski (observador sob alta aceleração)

Formalismo de Minkowski

Formulação de quadrivetores Norma de um quadrivetor Definição do produto escalar: invariante

Exemplos:

Quando um evento é Relativístico ... 1 b g

O fator de Lorentz e o parâmetro de velocidade Parâmetro de velocidade (% c)

Exercício Mostre que:

(x = –ct ) ? Exercício: Mostre que: Substituindo c por – c : Então a transformação de Lorentz dilata (contrai) o espaço-tempo (x,y,ct) por um fator na direção do plano x = +ct (x = –ct ) ?

Tempo próprio e comprimento próprio Tempo próprio é decorrido entre dois acontecimentos, como medido por um relógio que passa através de ambos os eventos. Depende não apenas os eventos, mas também do movimento do relógio entre os eventos. Um relógio acelerado mede um menor tempo decorrido entre dois acontecimentos do que o medido por um relógio não acelerado (inercial) entre os mesmos dois eventos: "paradoxo dos gêmeos". Comprimento próprio é o medido em um sistema de referência inercial em que os eventos são simultâneos. Então, se os dois eventos ocorrem em lados opostos de um objeto, o comprimento próprio é o comprimento do objeto medido por um observador que está em repouso em relação ao objeto.

Notação Vetorial Logo Portanto

Adição de velocidades

Exercício Mostre que: Tal que equivale a Então

Momento e energia relativísticos de particulas idênticas em colisão frontal Em K´ :

b = centro de massa em K´

Componentes de velocidade em K Conservação da energia e momento Ao longo de x

Para  ' = 0 e então: como são funções de  ' e a ou

Admitindo que uma particula em baixa velocidade satisfaz: Então Como Resulta

Portanto que integrando resulta: Genralização necessária para a energia cinética relativística:

Questão da * Caso interessante é o inelástico, por exemplo, decaimentos dos mésons K neutros (oscilações de partículas neutras devido a mistura de estados): Tal que ou Logo e * Equivalência massa-energia surge com Poincaré e Hasenohrl, não Einstein. Holton, American Journal of Physics 30 (6): 462 (1962).

Exercício Considere a situação abaixo.

Mostre que se a massa de um objeto movendo-se em relação a um observador é: Logo e como temos simplificando

Ou seja que: e Obs.1: Se então Obs.2: A massa relativística equivale a uma energia relativística / c2.

Exercício Mostre que se o momento cinético se transforma como: Então:

Exercício Mostre que para uma determinada força atuando sobre uma partícula temos: a) b) c) Se F é paralela a v, então F = F’.

Exercício Com base no exercício anterior: É razoável falar em massa longitudinal e transversal ? O par de forças de ação e reação com igual módulo ao longo da mesma direção em sentidos opostos e da Mecânica Clássica prevalece na Mecânica Relativística ?

Formulação de Minkowski Satisfazendo as 4 equações de conservação de momento e de energia: Como e Então

Quadri-momento invariante Energia total e massa de repouso Obs.: essa construção "heurística" da dinâmica relativística é aceita como conveniente, sendo perfeitamente demonstrável experientalmente. No entanto, os conceitos de massa de repouso e massa relatvística são didaticamente questionáveis.

Definições de massa A massa é utilizada para determinar quanto uma partícula (ou objeto) resiste a uma mudança na sua direcção ou velocidade (ou forma), quando é aplicada uma força, isto é, uma medida da "resistência" para acelerar uma partícula (ou objetos) estacionária(os) ou móvel(is). No entanto, a rigor massa pode ser definida apenas em termos das suas propriedades físicas. Macroscopicamente, a massa é uma medida da quantidade de energia e de matéria que uma partícula ou objeto contém, que determina a medida da resistência a mudança do seu estado de movimento. Assim, a massa é uma medida da força de interação de uma partícula (ou objeto) com um campo gravitacional, sendo ao mesmo tempo também uma medida da curvatura do espaço-tempo induzida pela própria partícula (ou objeto), de acordo com a Teoria da Relatividade Geral [Einstein, 1920]. Na escala sub- atômica, a massa é uma medida de conteúdo de energia de repouso de uma partícula, devido à equivalência massa-energia. É também um parâmetro do operador de energia cinética da onda de matéria associada à partícula [de Broglie 1925], bem como, o parâmetro que determina o comprimento de onda de Compton de uma partícula. É uma questão em aberto se o campo de Higgs dá massa a apenas algumas das partículas elementares básicas, como na formulação original da idéia, ou é também responsável pelas massas de todas as partículas elementares.

Grupo de Lorentz Tensores contravariantes e covariantes #0 Escalar de Lorentz é uma quantidade invariante Tensores contravariantes e covariantes #1 #2

Produto interno Tensor métrico do espaço-tempo plano Delta de Kroneker quadridimensional

2D curvilinear non-orthogonal grid The Free Physics TextBook, http://www.motionmountain.net/

Operadores diferenciais Quadridivergência Quadri-Laplaciano

Representação matricial Produto escalar e transposição Obs.: existem 16 - ( 1 + 2 + 3 ) = 10 equações linearmente independentes para os 16 elementos de A.

Transformações de Lorentz próprias e impróprias Transformações impróprias Operadores de Inversão C (inversão da carga elétrica) : e  -e P (inversão espacial) : ( t , r )  ( t , -r ) T (inversão temporal) : ( t , r )  ( -t , r )

CPT http://cerncourier.com/cws/article/cern/29224

CP violation http://en.wikipedia.org/wiki/Kaon Ks = K1 + e K2 KL = K1 + e´ K2 CP =-1 http://en.wikipedia.org/wiki/Kaon

Teoria de Grupos Translações e Rotações

Rotações 2D Extrínseca ou Ativa Intríseca ou Passiva Traço da matrix de rotação

Rotações em 3D Existem ambiguidades e não comutabilidade. eixo de rotação ângulo de linha nodal sequência de rotações: zx'z"

Exercício Mostre que mediante a parametrização : (a) (b)

Teoria de Grupos Grupos de Lie : fundamentam as teorias de grupo de transformações contínuas, sendo um espaço topológico localmente euclidiano diferenciável. Contra-exemplos: não são diferenciáveis?! Grupo de Lorentz : grupo de todas as transformações de Lorentz no espaço de Minkowski. Fornecem os invariantes às transformações de Lorentz (leis da cinemática relativística, equações de Maxwell, equaç'ao de Dirac, por exemplo). Grupo de Poincaré: grupo das isometrias (transformações de mapeamento que não alteram o tempo próprio ao longo de uma trajetória entre eventos) no espaço-tempo de Minkowski que inclui todas as translações e as transformações de Lorentz.

Exercício O livro do Jackson usa uma possível base da álgebra de Grupos de Lee para descrever os geradores infinitesimais de transformações de Lorentz. Mostre que as matrizes S geram rotações 3D e as matrizes K lançamentos ortogonais entre si. Note que o quadrado de qualquer dessas matrizes é diagonal e satisfazem as relações de comutação:

Exercício Sabendo que: Mostre que: (a) e (b) (c) (d)

Exercício

Exercício Mostre que: Equivale a sendo: Obs.: trabalho árduo e pouco gratificante.

Alguns aspectos importantes a serem considerados na formulação covariante da Eletrodinâmica

Observações experimentais Invariância da carga elétrica : Massa relativística : Momentum relativístico : Contração do volume :

Encrencas imediatas Densidade de carga: Densidade de corrente:

EQ BQ Campos de uma carga em movimento Linhas de campo elétrico e magnético de uma carga positiva em movimento uniforme conforme um observador estacionário !

Campos de uma carga em movimento « lento »  EQ BQ

Linhas de campo elétrico de uma carga elétrica deslocando com velocidade b = v/c. Os pontos nas superfícies das esferas "imaginárias" estacionárias indicam onde emergem as linhas de campo elétrico. Ou seja, a densidade de pontos indica a intensidade do campo.

O campo elétrico deixa de ser isotrópico!

Não há campo magnético atrás ou a frente !

Equipotenciais de uma carga em movimento

Ação e Reação Efeito relativístico Em (a) e (b) é descita a interação entre as cargas Q e q.

Força de Lorentz: releitura

Equação da continuidade Invariância da carga e do quadrivolume infinitesinal cr transforma de modo equivalente a xo

Quadripotencial vetor sob calibre de Coulomb

Tensor intensidade de campo eletromagnético

Exercício Mostre que: Obs.: definição usual de um tensor campo eletromagnético "dual" onde E  B e B  -E .

Exercício

Exercício

Exercício (c)

Equações de Maxwell: forma covariante ou Força de Lorentz : forma covariante

Versão macroscópica Obs.: Como (E,B) e (D,H) são tensores de segunda ordem antisimétricos as quantidade P e M também formam quantidades similares. Na eletrodinâmica de meios macroscópicos, essas quantidade dão as médias macroscópicas das propriedades atômicas no referencial em repouso do meio.

Transformação dos campos -

Exercício Mostre que no caso geral quando: Resulta Obs.:

Observação 1: Observação 2: Observação 3: Pseudo-escalar

Exercício H ’// = H // H ’┴ = g (H ┴ – v x D ┴ / c2) Lembrando que: e Mostre que no caso c = vx = v , : H ’// = H // H ’┴ = g (H ┴ – v x D ┴ / c2) M ’// = M // M ’┴ = g (M ┴ + v x P ┴ / c2) D ’// = D // D ’┴ = g (D ┴ + v x H ┴ / c2) P ’// = P // P ’┴ = g (P ┴ – v x M ┴ / c2)

Campo ao longo da trajetória de uma partícula carregada Em K´ :

Em K ... B3  Lei de Biot-Savart-Ampere ( 1)

Perfil dos campos

Teoria de Dirac do spin do elétron E  i ħ /t

Spinor  4-Spin  Spin Transformação de Lorentz UaSa = 0  So= U  S Símbolo de Levi-Civita U = ( u c , u u ) Transformação de Lorentz Vínculo de covariância  pseudo-vetor: UaSa = 0  So= U  S Obs.: a determinação do (pseudo)vetor S num referencial em repouso especifica as componentes do quadrivetor Sa em qualquer referencial inercial.

Equação Bargmann–Michel–Telegdi (BMT) Phys. Rev. Lett. 2 (1959) 435 Na equação de acima à direita, o spin s é expresso no referencial de repouso, enquanto os valores de B e E são os campos no referencial laboratório. Essa parametrização é natural pois o spin é uma propriedade física intrínseca, tendo seu significado verdadeiro somente no referencial de repouso da partícula.

Efeito Zeeman Zeeman effect Paschen-Back effect B = H= 0

Spin num campo eletromagnético Átomo Hidrogenóide X Fator 1/2

Precessão de Thomas A frequência de precessão de Thomas é decorrente da aceleração que o elétron experimenta sob ação da força externa de blindagem coulombiana.

Precessão Geodética (análogo) http://einstein.stanford.edu/SPACETIME/spacetime4.html

Correção de Thomas Promovendo uma transformação de Lorentz sem qualquer rotação:

Interpretação da transformação infinitesimal A transformação de Lorentz do lançamento sem rotação relativa ao referencial laboratório equivale a um referencial x''' no qual o referencial em repouso é girado -DW relativo ao referencial de laboratório após um lançamento infinitesimal com velocidade cDb.

Acoplamento spin-órbita no referencial laboratório Blindagem coulombiana: A precessão de Thomas reduz o acoplamento spin-órbita. correção de Thomas

Equação de movimento covariante Transformação de Lorentz Equação de movimento covariante Invariantes candidatos: Impondo:

Na ausência de campo eletromagnético é necessário: Como então Logo

Equação BMT covariante Força de Lorentz covariante Equação BMT covariante

Exercício Mostre que a equação BMT: reproduz a precessão de Thomas: Obs:

Dinâmica Relativística Equações de movimento: Princípio de mínima ação de Hamilton: Invariante de Lorentz:

Partícula no campo eletromagnético Partícula livre invariante Partícula no campo eletromagnético

Lagrangeana de uma partícula carregada em campo eletromagnético Momento cinético canônico conjugado: Hamiltoniana:

Hamiltoniana de uma partícula carregada em campo eletromagnético Obs.: a lagrangena proposta não é invariante a uma transformação de calibre...

Formulação Lagrageana covariante De forma equivalente:

Exercício Mostre que a equação de movimento na forma covariante pode ser escrita como: para uma particula livre e: para uma partícula carregada no campo eletromagnético.

Exploração sobre o movimento de partículas carregadas em campos magnéticos

Partícula num campo magnetostático uniforme

Partícula em campos magnético e elétrico uniformes se E < B e Em K' Obs.: há deriva uniforme na direção ExB se E < B.

Se E > B o campo elétrico é forte o suficiente para promover aceleração contínua na direção de E e a energia aumenta continuamente no tempo. Se os campos E e B forem cruzados há o efeito de filtro de velocidade.

Exercício (a) Mostre que se E B  0 ambos campos existem em K e K'. (b) Mostre que se E B = 0 é sempre possível achar um referencial de Lorentz onde E = 0 se |E| < |B| ou B = 0 se |B| < |E|. (c) É possível afirmar que existe apenas um dos campos e que o outro é uma pura manifestação de trasformação de Lorentz?

Partícula carregada num campo magnético não uniforme O movimento na direção de B não se altera, então:

Exercício Mostre que na configuração abaixo resulta: Portanto, se o gradiente de campo for pequeno predomina o movimento orbital sobre o movimento de deriva longitudinal.

Invariantes adiabáticos de partícula carregada numa órbita fechada em um campo magnético dl A integral de ação de um par coordenada e momento canônicos generalizados conjugados periódicos: Então

Calculando como v // dl usando o teorema de Stokes: Então pois Invariantes adiabáticos:

Reflexão da partícula em alto campo magnético pois é invariante = 0 Obs: energia translacional é convertida em energia rotacional até a velocidade axial se anular. A partícula pode ser refletida pelo campo magnético no chamada efeito de espelho magnético.

Exercício Mostre que a condição para ocorrer o efeito de espelho magnético é:

Generalização do formalismo lagrangeano para a descrição do campo eletromagnético e interação com fontes Cada ponto do espaço-tempo xa corresponde a um número finito de valores de índice discreto i. A variáveis dependentes são substituídas pelo valor do campo naquele ponto do espaço-tempo. As equações de movimento são obtidas a partir do príncipio de mínimo da integral de ação.

Integral de ação da densidade lagrangeana Desconsiderado o spin e os tempos de atraso, a lagrangeana para situações de natureza eletrostática, magnetostática ou interação entre partícular carregadas é SI CGS

Exercício Mostre que: e Resultando na equação de movimento do campo eletromagnético: Que remete ainda a:

Exercício Mostre que mediante as definições abaixo: Resulta numa densidade lagrangeana: Equivalente em notação vetorial não relativística à:

Exercício A estabilidade e a possibilidade de uma massa não exatamente nula para o fóton é ainda tema de debate [J. Heeck, Phys. Rev. Lett. 111 (2013) 021801]. Uma versão tratamento matemático exploratório disso é a lagrangeana proposta por Proca em 1930. Mostre que a partir dessa lagrangeana o parâmetro prevê uma massa de repouso para o fóton e um potencial elétrico tipo Yukawa: Obs: experimentos atestam por:

Exercício O efeito do atraso como correção de primeira ordem na lagrangeana clássica de interação entre partículas foi proposto por Charles Darwin (neto do biologista). Tal que Obtenha a lagrangeana de Darwin assumindo correções de baixa ordem nos potenciais escalar e vetor sob o calibre Coulomb.

Tensor de tensão e energia e leis de conservação na eletrodinâmica covariante Passando da formulação lagrangeana para a formulaçao hamiltonia que é mais diretamente conectada ao princípio de simetria do teorema de Noether. O fator do primeiro termo da soma é o momento de campo canonicamente conjugado à fk(x) que multiplica o equivalente a velocidade. Então a idéia de transformação de Lorentz sugere a construção do tensor:

Lagrangeana do campo eletromagnético livre Tensor de tensão canônico: onde

Portanto, Além disso,

Por construção: Conservação da carga ou Equação da continuidade Válida no referencial em repouso onde os campos estão especificados. Obs.: nesse contexto é deixado de lado o problema da auto-energia eletromagnética clássica e o spin é totalmente desconsiderado.

Questão da simetria do tensor e o momento angular na eletrodinâmica Densidade de momento angular é um tensor de terceira ordem (#3): A sua cornservação implica em: 0 0 Mabg é simétrico

Simetrização do tensor Como Tensor de tensão simetrizado

Por construção: Tal que: E

Exercício (a) Mostre que para b = 0: (b) Mostre que para b = i: onde é usado o vetor de Poynting:

Conservação do momento angular do campo O tensor M0bg contém a densidade de momento angular necessária para a generalização covariante do momento angular. como

Como e : Devido a contração de um tensor simétrico com um antisimétrico ser nula: Resultando

Densidade de força de Lorentz Em consequência: A variação da integral de ação devida as variáveis da partícula levam a equação de força de Lorentz, enquanto a devida as varíáveis de campo resultam nas equações de Maxwell.

Equação de onda na forma covariante 0 sob calibre de Lorentz Usando método de funções de Green generalizadas:

Método da transformada de Fourier

Método dos resíduos de Cauchy

Obs.:

Funções de Green avançadas e retardadas onde a função de Heaviside é e a distribuiçao de Dirac é

Campos de radiação

Análise Conside a interação de um elétron puntiforme isolado no interior de uma esfera absorvedora ideal É razoável admitir que a força retardada governa a interação dele com os demais (n-1) elétrons. Mas, se admitirmos que causalidade faz sentido somente em sistemas complexos: Fe = (1/2) (Fr - Fa) Por que, não? Dr = eikR / (4pR) (1/2)(Dr - Da) = sin(kR) / (4pR) Da = e-ikR / (4pR) Nesse caso, é possível eliminar a divergência para R  0 quando o raio do elétron tender a zero. Além disso, (1/2) Sn(Fr + Fa) = 0 para R > R. (n-1)e R e

Análise A presença de um campo eletromagnético é observada a partir da quadri-aceleração am imposta a um elétron com quadri-velocidade vm . Então, podemos admitir que: onde Em é a parte elétrica do campo eletromagnético de acordo com um observador com quadri-velocidade vm. Como Logo A hipótese mais simples é admitir o campo eletromagnético linear em quadrivelocidade Assim, Fmn deve ser antisimétrico com seis graus de liberdade: E e cB.

Aceleração e o Tensor de Maxwell Como Sendo V e A os vetores velocidade e aceleração instantâneas do elétron em relação ao observador com quadri-velocidade . Considerando o elétron em repouso em relação ao observador, tal que g =  vo ; temos : Admitindo a linearidade do campo eletromagnético:

Eletrodinâmica no espaço-tempo curvo A métrica gmn não é mais constante, variando no espaço-tempo: Densidade lagrangeana da eletrodinâmica clássica no vácuo com fontes:

Observação: Partícula carregada submetida a campos de forças gravitacional e eletromagnético 4 x 4 x 4 campo de força gravitacional