Eletrostática Cap. 1,2 e 3 Definições matemáticas Equações da eletrostática Distribuições de carga e descontinuidades Equações de Laplace e Poisson Condições de contorno e unicidade de solução Método de funções de Green Método variacional Método das imagens Método da separação de variáveis Expansão em séries de Fourier Expansão em harmônicos esféricos Expansão em funções de Bessel Expansão em autofunções para funções de Green

Operador Notação Propriedades Gradiente                    Determina as taxas e sentidos de variação máxima num campo escalar f. Rotacional                        Determina a tendência de um campo vetorial circular ao redor de um ponto. Divergência                     Determina o fluxo de uma fonte descrita por um campo vetorial num ponto. Laplaciano                             Composição das operações de divergência e gradiente.

Rotacional e Divergência Teorema da Divergência Teorema de Stokes

Fasor

Força Elétrica Campo Elétrico

Equações da Eletrostática

Continuo e Discreto

Lei de Gauss

Potencial Escalar

Equações do Campo Eletrostático Forma Integral Campos eletrostáticos não apresentam dependência do tempo.

Exercício É possível haver uma onda eletrostática? Se sim, como assim! Sugestão: http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/bernstein.pdf

Descontinuidade em E e 

Aproximação Dipolar "na camada dipolar"

Equações de Poisson e Laplace x x´ O R a Obs.:

Método da Função de Green George Green 1793-1841 L = L(x) MQ propagador

Função de Green (carga puntiforme)

Teoremas de Green 10 20

Solução Formal Condição de Dirichlet sobre S: (valor médio do potencial sobre S)

Unicidade o o o Dirichelet Neumann

Interpretação de F(x,x´) Solução da Eq. de Laplace no interior do volume V; Potencial de um sistema de cargas externo ao volume V cuja particular distribuição de carga na superficie satisfaz F = 0 ou nulo quando combinado com uma carga punti- forme em x´ (carga imagem). Sob a condição de Dirichlet, pode ser o potencial induzido sobre um condutor devido a uma carga puntiforme em x´. Importante: a determinação da G(x,x´) pode ser dificil ou impossível devido a sua dependência com a forma da superfície S.

Solução Formal usando o Método Variacional Método variacional partindo de um funcional (caso Dirichlet) onde  é uma função bem definida dentro do volume V e sobre a superfície S e g é uma função fonte especificada e sem singularidades dentro de V.

Método variacional partindo de um funcional (caso Neumann) (dentro de V) (sobre S)

Exercício Refazer o exemplo da distribuição de cargas arbitrária da Seção 1.12

Cap. 2 Método das imagens Transformação de um campo elétrico em um outro campo elétrico equivalente mais simples de calcular.

Aplicação do Método das Imagens Carga elétrica puntiforme próxima a uma esfera metálica aterrada. . Quando a carga Q é positiva a densidade de carga superficial s é negativa. A condição de contorno V = 0 é satisfeita pela carga original Q e sua imagem -Q` que é estrategicamente inserida no problema em substituição à esfera.

Impondo o potencial nulo nos pontos P1(r,q) e P2 (r,q) arbitrários: Resolvendo Em P3 (r,q) :

Em um ponto P(r,q) arbitrário : Em r = a :

Cálculo da densidade superficial de carga elétrica em um ponto. Para fazer isso, primeiro fazemos o cálculo da intensidade do campo elétrico E produzido por um elemento de carga s da isolado sobre a superfície de um condutor. Podemos fazer isso usando a Lei de Gauss. O fluxo elétrico total emergindo de s da deve ser s da/eo, metade dele entrando e outra metade saindo da elemento de área da. Sendo n um vetor unitário normal à superfície.

Portanto, o elemento da carga s da isoladamente produz a metade do campo elétrico total s /eo em um ponto externo, arbitrariamente próximo à superfície. Ou seja, este elemento de carga gera um campo muito mais efetivo do que todas as demais que devem produzir a outra metade. Desta forma, a intensidade do campo elétrico atuando sobre s da deve ser igual a s / 2eo, como mostrado na figura. Podemos aproveitar e calcular a força sobre esse elemento de carga do condutor devido ao campo produzido pelas demais: Logo, a “pressão” exercida pode ser escrita como:

Podemos agora calcular a densidade de carga que buscávamos assumindo que: A carga total induzida sobre a superfície será dada por: Ou seja, a carga total induzida na superfície do condutor é igual a carga imagem usada para substituir a esfera, validando a Lei de Gauss.

Exercício (a) Mostre que a força F entre uma carga puntiforme q > 0 e uma esfera condutora de raio R com carga Q > 0 é dada por: onde D é a distância entre q e o centro da esfera. Essa força pode ser atrativa? Se sim, sob que condição.

Diagrama das linhas de campo e das equipotenciais no caso da carga próxima à esfera condutora. ?

Exercício Resolva o mesmo problema da carga puntiforme em frente a uma esfera pelo método de função de Green, conforme seção 2.6. Nesse caso: Mostre que: Mostre que:

Expansão em séries

Passagem para o contínuo

Potencial de "cantos e quinas"

Condições de contorno

Método da separação de variáveis (coordenadar retangulares) Solução geral: =

Cavidade metálica retangular aterrada com a tampa polarizada

Exercício Obtenha a densidade superficial de carga na tampa superior da cavidade retangular discutida no slide anterior.

Equação de Laplace em coordenadas esféricas Separação de Variáveis

Obtenção de UPQ

Polinômios de Legendre Associados

Andre-Marie Legendre obteve a expansão abaixo em 1782. Os polinômios de Legendre são também autofunções de um operador diferencial Hermitiano: Os auto valores  correspondem a n(n+1).

Ortogonalidade Normalização

Polinômios de Legendre Associados

Harmônicos Esféricos Condição de ortogonalização Condição de completude ou fechamento

Representação visual (vermelho < 0 e verde > 0)

Harmônico esféricos ortonormalizados em relação a uma esfera unitária Obs.: atenção ao uso do fator de fase de Condon-Shorthley (-1)m se m > 0 e 1 no caso contrário.

Orbitais atômicos (módulo ao quadrado dos harmônicos esféricos combinados) Y10 Y11 + Y1-1 Y11 - Y1-1 Y20 Y21 + Y2-1 Y21 - Y2-1 Y22 + Y2-2 Y22 - Y2-2

Expansão em harmônicos esféricos Expansão Multipolar

Solução geral sob simetria azimutal (m = 0) Solução geral sem divergência na origem Soluções geral no eixo de simetria (z = r)

Teorema da adição de harmônicos esféricos

Exercício Verifique a expansão da função de Green em coord. esféricas: Use a relação de Completude ou Fechamento:

Exercício Uma distribuição linear de cargas  Cm se extende ao longo do eixo z entre z =  a e z =  a. (a) Mostre que em qualquer ponto, tal que r > a, se verifica que: (b) Obtenha o campo elétrico.

Exercício Obtenha o potencial e o campo elétrico próximo a um plano condutor z = 0 com uma abertura circular de raio r = a onde as componentes de campo elétrico verticais assintóticas são Eo em z > 0 e E1 em z < 0. Seguir passos indicados na Seção 3.13 e resolver o Problema 3.25.

Expansão multipolar fora (r< = r´ e r> = r) de uma fonte arbitrária de raio R Momentos de multipolo

Momento dipolar elétrico Tensor quadripolar elétrico Obs.:

Expansão em coordenadas retangulares

Campo elétrico multipolar

Exercício Uma região com densidade de carga r(x,y,z) encontra-se imersa num campo eletrostático descrito por um potencial F (o)(x,y,z). (a) Admitindo uma pequena variação do potencial elétrico sobre a região que contém a densidade de carga, mostre que a força total atuando sobre a distribuição de carga pode ser decrita como: (b) Mostre também que o torque total pode ser escrito como: onde 1 é uma das componentes cartesianas.

Exercício (a) Verifique a expressão do campo elétrico dipolar. (b) Mostre que para satisfazer tem-se:

Exercício Mostre que a solução geral da Eq. de Laplace para  = QZR em coordenadas cilíndricas é (seção 3.7 do livro doJackson 3a Ed.): tal que: sendo kmn = xmna extraída de :

Dielétricos Sob a ação de um campo elétrico aplicado o centro de carga da nuvem eletrônica da molécula desloca-se em relação aos centros de carga dos núcleos (valores típicos 10-8 o diâmetro de um átomo). Este fenômeno é a polarização eletrônica e/ou iônica. Moléculas polares tendem a alinhar-se de forma espontânea e a ganhar polarização em presença de campos elétricos aplicados. Isto é denominado polarização orientacional. A agitação térmica tende a opor-se a este processo de alinhamento por torque : Existem materiais com íons de sinais opostos capazes de se mover ou orientar sob a ação de um campo elétrico. O fenômeno de polarização intrínseca atômica ocorre em dielétricos ferroelétricos.

Polarização elétrica, P Havendo N moléculas por unidade de volume com um momento de dipolo elétrico médio por molécula p. Admitindo um momento de dipolo elétrico resultante pr no interior de elemento de volume Dv.

Potencial elétrico de um dielétrico polarizado Observação: se houver cargas elétricas livres presentes, então adiciona-se termos integrais similares para as cargas livres.

Equação de Poisson Tal que

Comentário : Um sólido cristalino possui via de regra propriedades dielétricas diferentes em direções cristalinas distintas; devido a mobilidade e/ou orientação preferencial dos momentos dipolares elétricos em uma dada direção. Como resultado, a susceptibilidade elétrica pode depender do campo elétrico E e a direção da polarização elétrica P não ficar na mesma direção de E. A susceptibilidade torna-se um tensor de 2a ordem. Importante dizer que apenas 6 das 9 componentes são independentes, havendo três direções principais relativas aos eixos cristalinos. Ex.:

Cavidade num dielétrico entre placas polarizadas Campo elétrico em escala atômica 0 r Em E

Campo elétrico local no centro da « cavidade » : Campo das placas : sendo Campo despolarizante: sP = Pn  Campo interno no dielétrico: Campo devido a sP na cavidade: Campo devido aos dipolos dentro da cavidade: A rigor é nulo apenas em gases, líquidos ou cristais cúbicos

Exercício: Lembrando que mostre que o campo elétrico de um dipolo elétrico pode ser escrito a partir do potencial elétrico como . Usando a expressão acima, mostre que a componente x de um campo elétrico dipolar no interior de um dielétrico pode ser escrita como : Admitindo o dielétrico isotrópico, as componentes x,y e z são equivalentes por causa da simetria da rede. Então os valores médios espaciais respeitam as relações: Isto demonstra que E´= 0 numa cavidade de formato qualquer de um dielétrico ?

Condições de continuidade em uma interface O potencial elétrico é continuo através da interface entre dois meios, pois em caso contrário o campo elétrico se tornaria infinitamente grande.

Exercício: Analise a interface entre um condutor e um dielétrico homogêneo, isotrópico e linear.

Considere o volume gaussiano e deduza as seguintes relações:

Carga puntiforme diante de um bloco dielétrico semi-infinito +Q D r s sb n Ojetivo: obter sb e discutir o campo elétrico.

Componente normal à interface do campo elétrico devido a carga Q : De acordo com a Lei de Gauss, a carga ligada induzida sb determina componentes normais de campo elétrico com intensidades sb/2eo opostas na interface ar-dielétrico, tal que no interior do dielétrico temos: Resultando Portanto,

Assumindo o lado direito contendo o dielétrico como sentido positivo, temos as componentes normais do campo elétrico Fora do dielétrico: Dentro do dielétrico:

Temos que sendo a componente normal de D continua na interface, pois não há cargas livres. Satisfeitas as condições de contorno a imposição de unicidade de solução permite dizer que podemos substituir o dielétrico por uma carga imagem Q’. Ou seja, o campo elétrico a esquerda da interface ar-dielétrico pode ser descrito como devido a carga Q e a uma carga Q’, conforme mostra a Figura (a) no próximo slide. Observa-se ainda que Eni permanece inalterado substituindo o dielétrico por uma carga efetiva Q’’, conforme mostra a Figura (b) no próximo slide. O problema pode se dizer qualitativamente resolvido!

Intervenção de cargas imagens

D equipotenciais ar dielétrico

Densidade de energia eletrostática em termos de E e D

Cálculo do trabalho realizado pelo campo elétrico :

Energia dispendida : Densidade de energia dispendida: Ou ainda:

Configuração de cargas elétricas isoladas.

Energia potencial de um conjunto de cargas elétricas isoladas em termos das cargas e potenciais elétricos sobre as cargas

Energia potencial de um conjunto de cargas elétricas isoladas e distribuições (pseudo)contínuas de cargas = -- pseudo-continuas discretas

Densidade de energia num campo eletrostático

Coeficientes de potencial (cij), de capacitância (i=j) e de indução (ij)

Exemplo:

Exercício: Obtenha a energia potencial eletrostática de uma distribuição de N cargas.

Resp.:

Exercício (a) Refazer a dedução do campo elétrico dipolar criado por uma esfera dielétrica imersa em um campo elétrico assintóticamente uniforme. (b) Refazer a dedução do campo elétrico dipolar dentro de uma cavidade esférica em um meio dielétrico imersa em um campo elétrico assinto- ticamente uniforme.