Capítulo 2 – Movimento Retilíneo 2.1 – Deslocamento, tempo e velocidade média Exemplo: Descrever o movimento de um carro que anda em linha reta x Antes de mais nada, temos que: Modelar o carro como uma partícula Definir um referencial: eixo orientado e origem

x

x x2 t2 x1 t1 t

x x3 t3 x2 t2 x1 t1 t

x x3 t3 x2 t2 x4 t4 x1 t1 t

x x3 t3 x2 t2 x4 t4 x5= t5 x1 t1 t

Deslocamento entre t1 e t2: x Deslocamento entre t1 e t2: x3 t3 Velocidade média: x2 t2 x4 t4 x5= t5 x1 t1 Inclinação: t

x Entre t3 e t4: x3 t3 x2 t2 x4 t4 x5= t5 x1 t1 t

Velocidade média não é a distância percorrida dividida pelo tempo x Entre t1 e t5: x3 t3 Atenção: Velocidade média não é a distância percorrida dividida pelo tempo x2 t2 x4 t4 x5= t5 x1 t1 t

2.2 – Velocidade instantânea Qual a velocidade em um instante de tempo?

Exemplo: x (m) 20 5 1 2 t (s)

Exemplo: x (m) 11,25 5 1 1,5 t (s)

Exemplo: x (m) 11,25 5 1 1,5 t (s)

Exemplo: x (m) 6,05 5 1 1,1 t (s)

Velocidade instantânea: Exemplo: x (m) Derivada de é Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico xt 5 1 t (s)

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : vx t

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : No ponto de inflexão do gráfico xt, a velocidade é máxima (ou mínima) vx t

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : No ponto de máximo (ou mínimo) do gráfico xt, a velocidade é nula vx t

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : vx t

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : vx t

Distinção entre velocidade (“velocity”) e velocidade escalar (“speed”) Velocidade escalar (média ou instantânea) é a distância percorrida dividida pelo tempo Para a velocidade escalar, usaremos o símbolo Sempre positiva Velocidade escalar instantânea é o módulo do vetor velocidade instantânea

2.3 – Aceleração instantânea e aceleração média v2x v1x t1 t2 t

Aceleração instantânea: Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico vt , curvatura no gráfico xt v1x t1 t

x Obtendo a aceleração graficamente a partir dos gráficos vt e xt : t vx t ax t

2.4 – Movimento com aceleração constante ax Se a aceleração é constante, então a aceleração instantânea é igual à aceleração média: Fazendo (velocidade inicial): t vx v0x

Se a velocidade varia linearmente com o tempo, então a velocidade média em um intervalo de tempo é igual à media aritmética entre as velocidades inicial e final: vx v0x t = Áreas iguais

Assim: Sabemos que : t x x0 Inclinação:

Outra equação útil, para problemas que não envolvem o tempo: Substituindo em:

Equações do movimento com aceleração constante: Caso particular: aceleração nula

2.5 – Queda livre Aristóteles (séc. IV a.C.): “Quatro Elementos” (Água, Ar, Terra e Fogo), cada um com seu “lugar natural”. Corpos mais pesados deveriam cair mais rapidamente Galileu: “Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas Ciências” (1638), escrito em forma de diálogos

Salviati (Galileu): “Aristóteles diz que uma bola de ferro de 100 libras, caindo de 100 cúbitos, atinge o solo antes que uma bala de uma libra tenha caído de um só cúbito. Eu digo que chegam ao mesmo tempo. Fazendo a experiência, você verifica que a maior precede a menor por 2 dedos; você não pode querer esconder nesses 2 dedos os 99 cúbitos de Aristóteles…”

Resultados obtidos apenas através de argumentações lógicas são completamente vazios de realidade. Porque Galileu enxergou isso, e particularmente porque ele propagou repetidamente esta idéia pelo mundo científico, ele é o pai da física moderna – de fato, de toda a ciência moderna. Einstein

Experimento de Galileu com plano inclinado (trilho de ar) Demonstração: Experimento de Galileu com plano inclinado (trilho de ar)

Filme: queda livre na Lua (Apolo 15, NASA) http://www.youtube.com/watch?v=5C5_dOEyAfk

Aceleração da gravidade: g ≈ 9,8 m/s2 y Equações da queda livre:

Medição de g: Vídeo “Physics Demonstrations in Mechanics” I.2 Método (1): Medição do tempo de queda por uma altura d partindo do repouso y y0 y

Método (2): Medição da velocidade após cair de uma altura d partindo do repouso y y0 y

2.6 – Velocidade e posição por integração Já sabemos calcular: Como resolver o problema inverso? Suponha que a aceleração varie com o tempo da seguinte forma: t ax Vamos dividir o intervalo entre t1 e t2 em pequenos intervalos de duração Δt t2 Δt Sabendo que , a variação da velocidade em cada intervalo é t1

t ax t1 t2 Δt Sabendo que , a variação da velocidade em cada intervalo é Note que é a área do retângulo sombreado Desta forma, somando-se todas as pequenas variações de velocidade, obtemos a variação total de velocidade entre t1 e t2 como a soma das áreas de todos os retângulos.

t ax Δt t2 t1 No limite a soma das áreas dos retângulos torna-se a área sob a curva Esta área é integral definida da função entre os instantes e

A integral é a operação inversa da derivada Se tomamos , então , de modo que: Podemos executar um procedimento completamente análogo a esse para obter o deslocamento a partir da velocidade: Desta forma, resolvemos o problema inverso: Por derivação Por integração A integral é a operação inversa da derivada

Próximas aulas: 6a. Feira 19/08: Aula de Exercícios (sala A-327) 4a. Feira 24/08: Aula Magna (sala A-343)