Ana Maria Luz F. Amaral Matemática Discreta 2013.2 Cardinalidade de Conjuntos: Conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e não-enumeráveis Ana Maria Luz F. Amaral Matemática Discreta 2013.2

George Cantor (1845-1918) Matemático alemão George Cantor (1845-1918) é o inventor da moderna Teoria dos Conjuntos e dos chamados Números Transfinitos. Através do seu hoje famoso Método da Diagonal pode-se demonstrar um fato até então impensável: que existem infinitos maiores do que outros! Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância. “Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker (1823-1891) “ A teoria dos conjuntos de Cantor é uma moléstia, uma doença perversa, da qual algum dia, os matemáticos estarão curados.” Henri Poincaré(1854-1912) “Ninguém nos expulsará do paraíso que Georg Cantor abriu para nós” David Hilbert (1862-1943)

Sumário Cardinalidade de Conjuntos: Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis (Hotel de Hilbert e Método da Diagonal de Cantor)

Cardinalidade de Conjuntos Scheinerman: “ O número de elementos em um conjunto A se denota por |A|. A cardinalidade de A nada mais é do que o número de objetos no conjunto. Diz-se que o conjunto é finito se sua cardinalidade é um inteiro. Em caso contrário, dizemos que o conjunto é infinito” Exemplos: Se A={1,2,3}, |A|=3

Conjuntos finitos e infinitos P. Menezes: Cardinalidade é definida usando funções bijetoras. A cardinalidade de um conjunto A é: Finita: se existe uma bijeção entre A e o conjunto {1,2,3,..., n} para algum n pertencente aos Naturais: |A|=n. Infinita: se existe uma bijeção entre A e um subconjunto próprio de A. Portanto, um conjunto A é um: conjunto finito (possui cardinalidade finita) se for possível representá-lo por extensão Conjunto infinito se for possível retirar alguns elementos de A e, mesmo assim, estabelecer uma bijeção com A.

Ex: O conj. dos Naturais é infinito

Conjuntos enumeráveis e não- enumeráveis Definição (P. Menezes): Um conjunto A é dito: Finitamente contável se for finito; Infinitamente contável ou enumerável: quando existe uma bijeção f entre o conjunto A e um subconjunto infinito de IN Neste caso f chama-se enumeração dos elementos de A. Escrevendo-se f(1)=a1, f(2)=a2,..., f(n)=an,... Tem-se então A={a1,a2,...,an,...} Não contável: caso contrário

Conjuntos enumeráveis e não- enumeráveis

Exemplo: Hotel de Hilbert Veremos um vídeo que mostra o gerente do Hotel Hilbert, que possui infinitos quartos, tratando o problema de acomodar novos hóspedes quando o hotel já tem infinitos hóspedes. Cada hóspede em um quarto. Observe que o gerente fala que o hotel está lotado, no sentido de que há infinitos hóspedes, mas não no sentido de que não caiba mais hóspedes.

Hotel de Hilbert: vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 10 min).

Exemplo: Hotel de Hilbert Num primeiro momento um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante, movendo o hóspede do quarto N para o quarto N+1, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (enumerável) de novos clientes (um ônibus com infinitos passageiros): apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.

Exemplo: Hotel de Hilbert Então, um desafio ainda maior se apresenta ao gerente do Hotel Hilbert: acomodar os passageiros de uma excursão com infinitos ônibus cada um com infinitos passageiros. O gerente resolve este problema realocando seus hóspedes - desta vez, um hóspede que esteja no quarto n deverá se mudar para o quarto 2n . O gerente dispõe de infinitas vagas novamente. Depois, o gerente associa a cada ônibus um número primo diferente de dois. Então, ele acomoda os passageiros segundo a seguinte regra: o passageiro que está na cadeira n do ônibus p ocupará o quarto de número pn

Exemplo: Hotel de Hilbert Não, a seguir veremos o por quê? Observe que em todas as situações acima sempre conseguimos enumerar a quantidade de hóspedes e os quartos do Hotel, ou seja, é possível construir uma bijeção entre N e a quantidade de hóspedes e uma bijeção entre N o número de quartos Se chegasse um grupo infinito de hóspedes ao Hotel de Hilbert, contendo um novo hóspede para cada numero real, o gerente poderia hospedá-los?

Um conjunto “maior” que o dos números Naturais Para comparar a “quantidade” de elementos de dois conjuntos infinitos, devemos verificar se existe alguma função bijetora entre eles. Caso exista, dizemos que estes conjuntos têm a mesma cardinalidade. Até agora, o conjunto N dos números naturais foi o único que abordamos, porém existem outros conjuntos infinitos que conhecemos, como o conjunto R, dos números reais, e que diferem significativamente do conjunto dos números naturais. De fato, o conjunto dos números reais possui uma cardinalidade maior do que a dos números naturais e, portanto é “maior” do que ele.

Método da diagonal de Cantor Quando se tinha conjuntos infinitos enumeráveis de hóspedes para se hospedar no Hotel de Hilbert, sempre se conseguia reorganizar os hóspedes, mas no momento que você tem uma quantidade infinita não-enumerável (números Reais) surge um problema, afinal existem infinitos “maiores” que outros. Veremos a seguir um vídeo que mostra a conversa do matemático George Cantor com seu amigo Lukas Zweig (lingüista). Cantor muito animado com sua nova descoberta explica ao amigo o seu hoje famoso Método da Diagonal para demonstrar que o conjunto dos números Reais é não enumerável. O vídeo apresenta o argumento de Cantor como uma aplicação do método de prova de teoremas em matemática chamado Método de Redução ao Absurdo inventado pelos antigos matemáticos gregos.

Os infinitos de Cantor: vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 14 min).

No caso do Hotel de Hilbert...

No caso do Hotel de Hilbert...

O conjunto dos números Reais é não-enumerável Como Cantor disse no vídeo: Dois conjuntos tem a mesma cardinalidade se é possível construir uma bijeção entre eles. (P. Menezes chama estes conjuntos de equipotentes ! Teorema: R é não enumerável. Idéia da prova: Construímos uma bijeção entre R e S={x pertencente a R;0<x<1}=]0,1[. Seja f:S→R Com o argumento da diagonal de Cantor mostramos que ]0,1[ é não enumerável, logo se R tem a mesma cardinalidade de S então R é não enumerável.■

Existem infinitos e não contáveis problemas para os quais não existe qualquer algoritmo capaz de solucioná-los!

Exercício: Mostre que o conjunto dos Irracionais é não-enumarável

Exercícos Exercícios de 7.1 a 7.9 do Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006. Exercícios Seção 3.1 do 75 ao 84 do J.L. Gersting, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5ª edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2001).

Referências Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006. Capítulo 7. J.L. Gersting, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5ª edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2001). P. 139-142 E. R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006. p.50 Renata de Freitas, Petrucio Viana. Hotel de Hilbert. Disponível em: http://www.uff.br/grupodelogica/hotel_hilbert_slides.pdf Hotel de Hilbert, vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 10 min). Disponível em: http://youtu.be/pjOVHzy_DVU (Acesso em 17/07/2013) Os infinitos de Cantor, vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 14 min). Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1120 (Acesso em 17/07/2013)