Introdução a Processos Estocásticos Estacionaridade Júlio César e Melo

Evolução de um sistema Sistemas dinâmicos Estrutura matemática Modelo determinístico Futuro totalmente previsível E quando o houver alguma “aleatoriedade intrínseca”? “Apesar de tendências ou correlações fortes existirem, sempre há algum elemento de incerteza.”

Evolução de um sistema Sistemas dinâmicos Processo estocástico Estrutura matemática Modelo determinístico Futuro previsível Processo estocástico Estrutura matemática Fenômeno com incerteza

Processo estocástico Três componentes: Espaço de estados Linha do tempo Ordenado linearmente Estrutura que permite ir precisamente à frente ou para trás Medida de probabilidade

Processo Estacionário Características estatísticas não se alteram com o tempo. Sentido estrito Distribuição de probabilidade não varia com o tempo. f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1 + c, ..., tn + c) Sentido amplo A média, variância e correlação não variam com o tempo.

Aplicação prática Economia – Anti-truste Preço relativo no mesmo mercado deve ser estacionário Exemplo: Preço do salmão escocês em relação ao preço do salmão norueguês (Fonte: Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests Can Improve Accuracy. Disponível em: http://www.lexecon.co.uk/assets/stationarity.pdf)

Preço do salmão escocês relativo ao salmão norueguês na Inglaterra

Processo Estacionário Estacionaridade no sentido amplo Ruído branco Em função de t - s

Processo estacionário Auto-regressivo Condição de estacionaridade: Teste da hipótese nula verifica estacionaridade

Processo estacionário Trend-stationarity Obtém-se um processo estacionário removendo-se uma tendência temporal

Processo estacionário (Fonte: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc442.htm)

Processo estacionário (Fonte: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc442.htm)

Processo estacionário Difference-Stationary

Processo estacionário discreto Processo Bernoulli Processo estocástico sem memória Estacionário para p e q constantes P{k = r} =

Processo estacionário discreto Processo Markov Estacionário Relógio de um computador com n estados Distribuição de probabilidade de um único estado que seja consistente para qualquer momento: [ 1/n, 1/n, ..., 1/n ]

Definição f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1 + c, ..., tn + c) Estacionaridade de N-ordem n ≤ N Estacionaridade em um intervalo Para todo ti e ti + c no próprio intervalo

Definição Incremento estacionário y(t) = x(t + h) – x(t) forma um processo estacionário para todo h Processo estacionário contínuo Não é importante “quando” começa o processo estacionário

Conclusão Estacionaridade em processo estocástico Tipos de estacionaridade Aplicação prática

Bibliografia Pivato, Marcus. Stochastic Processes and Stochastic Integration. 21 fev. 1999. Papoluis, A. Probability, Random Variables and Stochastic Process. 2002. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods. Disponível em: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/ Johnson, D. The Poisson Process. Disponível em: http://cnx.rice.edu/content/m11255/latest/ Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests Can Improve Accuracy. Disponível em: http://www.lexecon.co.uk/assets/stationarity.pdf