Fundamentos de Mecânica Ondulatória Ondas propagantes

Ondas Ondas mecânicas Ondas Eletromagnéticas precisam de um meio de propagação Ondas Eletromagnéticas não precisam de um meio de propagação (podem se propagar no vácuo). Ondas Transversais Ondas Longitudinais Ondas uni-dimensionais Ondas bi-dimensionais Ondas tri-dimensionais Ondas progressivas Ondas estacionárias

Ondas transversais e longitudinais Direção do movimento

Ondas transversais e longitudinais Timbre: composição harmônica e decaimento Forma da frente de onda: esférica (esq.) e plana (dir.)

Ondas Progressivas: transversais e longitudinais Propagação de um pulso transversal e um pulso longitudinal - applet Angel Garcia – applet “ondas-descripcion” Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal - applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas” Ondas Progressivas e MCU Geração de uma onda transversal e sua relação com o movimento circular: Norimari – applet ewave1

Ondas Progressivas transversais e longitudinais Qualquer ponto da corda oscila com MHS de amplitude ym ; Onda se desloca por distância igual ao comprimento de onda l (= vT) durante um período T; Ou seja v = lf = l/T = ln; Os pontos que diferem por Dx = nl oscilam em fase.

Ondas Transversais: Função de Onda y(x,t)=f(x,t) y’(x’, t)=f(x’,t) Sendo x’=x – vt para pulso da esquerda p/ direita y(x,t)=y’(x’,t)=f(x’) y(x,t)=f(x-vt) Se x-vt=cte vfase=dx/dt

Representação de uma onda transversal Amplitude x deslocamento e Amplitude x tempo Como y(x) = y(x+nl,t) a função de onda senoidal fica: y(x,t) = ym sen [(2p/l)(x -vt)] = ym sen [k(x –vt)] y(x,t) = ym sen (k x - wt + f) onde v = lf = w/k

Velocidade em uma onda

Equação de Onda Temos a Equação de Onda: Dada a função de onda y(x,t) = ym sen (k x - wt + f) Concavidade Aceleraçao ²y = -k2 ym sen(kx-wt) ²y = -w2 ym sen(kx-wt) x² t² Concavidade Positiva  Aceleraçao Positiva Concavidade Nula  Aceleraçao Nula Concavidade Negativa  Aceleraçao Negativa Temos a Equação de Onda: ²y = v2 ²y onde v = lf = w/k t² x²

Equação de Onda F1y /F = - (dy/dx)x F2y /F = (dy/dx)x+dx Fy = F1y + F2y

Equação de Onda ²y =  ²y Fy = F[(y/x)] (x + x) – F[(y/x)] (x) x² F t² ²y = v²²y x² t² v² = F  v = ( F/ )1/2  Ou seja, a velocidade depende das prop. do meio. Na mudança de meio f1 = f2 V1 = V2 l1 l2 Fy = F[(y/x)] (x + x) – F[(y/x)] (x) Fy = Fx[ y (x + x) – y (x ) ] 1 x x x   Fy = Fx ²y x² Como Fres = mares Temos Fy = Fx ²y = x ²y x² t² ²y = F ²y t²  x²

Energia em uma onda transversal Para propagar energia é preciso esticar a corda!!! Ou seja, é preciso realizar trabalho sobre os elementos da corda!

Energia Potencial U = -F L = -F/2 (y/x)2 dx W = F. L onde L = [dl – dx] L = { [(dy)2 + (dx)2]1/2 - dx } L = {dx[1 + (dy/dx)2]1/2 - dx} Em primeira aproximação (1+z)n = 1 + nz quando z << 1 L = { dx[1 + 1/2(dy/dx)2] - dx } L = { dx + [1/2(dy/dx)2]dx - dx } L = { [1/2(dy/dx)2]dx } U = -F L = -F/2 (y/x)2 dx

Energia Cinética e Potência K = m (y/t)2 dx P(x,t) = Fy vy = - F (y/x) (y/t) P(x,t) = m w2 y2m v cos2[kx –wt] Mostrando que a potência é um número positivo e portanto a energia está fluindo o tempo todo pela corda. Na média cos2[kx –wt] = ½ tal que Pmed = (½) m w2 y2m v QUESTÃO: Quanto vale K e U para um elemento de corda que se encontra em y(x,t) = ym?

Representação de uma Onda Longitudinal onda de deslocamento s = smcos(kx - t) onda de variação de pressão Δp = Δpmsen(kx - t) onda de variação de densidade Δ r = Δ rmsen(kx - t) Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal - applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”

Ondas longitudinais Lembrando que a densidade é: r= m/V  dr = - (m/V2)dV  dr = - r (dV/V) dr/r = - dV/V Sabendo que o módulo de compressibilidade volumétrica é: B = -V p/V onde B expressa a variação relativa de volume de um elemento de fluido submetido à uma variação de pressão temos: Dp = -B (dV/V) = B dr/r

Ondas longitudinais Suponha um elemento de fluido de área A e espessura dx. Seu volume é dado por: dV = A dx Quando uma onda de variação de pressão passa pelo elemento de fluido temos que a espessura varia de dx para dx’ = dx(1+ds/dx) Tal que a densidade seja dada por: r’ = dm/A dx’ r’ = dm/[A dx(1+ds/dx)] r’ = (dm/A dx) 1/[1+ds/dx] r’ = ro 1/[1+ds/dx] Em 1a. Aprox.: (1+z)-1 = 1 –z +… r’ = ro(1-ds/dx)  dx’ = [x + dx + s(x+dx)] – (x+s(x,t)] dx’ = dx + s(x+dx) - s(x,t) dx’ = dx [ 1+ds/dx] Dr = - ro ds/dx  Dp = -B ds/dx

Onda longitudinal B = -V p/V Logo a velocidade v = (B/0 )1/2 v = (gRT/M)1/2 Var << Vsólido VT=0C < VT=20C