SISTEMAS LINEARES

PRELIMINARES Métodos para resolução de sistemas lineares: métodos diretos onde, considerados os erros de arredondamento ou truncamento, é fornecida a solução exata do sistema a partir de um número finito de operações; (ii) métodos iterativos, onde é gerada uma seqüência de soluções a partir de uma aproximação inicial x0. São métodos diretos: Regra de Cramer; (2) Inversão de matrizes; (3) Escalonamento. São métodos iterativos: Gauss-Jacobi Gauss-Seidel

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES TRIANGULARES (MÉTODO DIRETO) a11x1 + a12x2 + a13x3 + .... + a1,n-1xn-1 + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + .... + a2,n-1xn-1 + a2nxn = b2 a33x3 + .... + a3,n-1xn-1 + a3nxn = b3 ........................................................... an-1,n-1xn-1 + an-1,nxn = bn-1 annxn = bn aij - coeficientes xi - variáveis bi – termos independentes RESOLUÇÃO: Da última equação: xn = bn/ann xn – 1 = (bn-1 – )/an-1,n-1 an-1.bn ann Da penúltima: Sucessivamente se obtém xn – 2, ....x2, x1, onde x1 = [b1 – (a11x1 + a12x2 + a1,n-1xn-1 +  a1nxn)]/a11

Exemplo: Resposta: (1, 2, 3, 2, 2) Resolver o sistema 3x1 + x2 + 3x3 – 2x4 + 4x5 = 18 x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = 16 3x3 + x4 + 2x5 = 15 4x4 + 2x5 = 12 3x5 = 6 (1) (2) (3) (4) (5) Equação 5: x5 = 6/3  x5 = 2 Equação 4: x4 = (12 – 2x5)/4 = (12 – 2.2)/4 = 2 Equação 3: x3 = (15 – 2x5 – x4)/3 = (15 – 2.2 – 2)/3 = 3 Equação 2: x2 = (16 – 2x3 – 3x4 – x5)/1 = (16 – 2.3 – 3.2 – 2) = 2 Equação 1: x1 = (18 – x2 – 3x3 + 2x4 – 4x5)/3 = (18 – 2 – 3.3 + 2.2 – 4.2)/3 = = 3/3 = 1 Resposta: (1, 2, 3, 2, 2)

APLICATIVO PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS TRIANGULARES TERMOS INDEPENDENTES RAÍZES

MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS (MÉTODO DIRETO) Consiste em transformar um sistema em um sistema triangular. Para isso, podem ser aplicadas as transformações, denominadas transformações lineares: (1) trocar as posições das equações: (2) multiplicar uma equação por um número real, não nulo. (3) somar uma equação com outra multiplicada por um número real. Usaremos os símbolo A(n) e aij(n) para indicar a matriz A e o elemento aij após aplicada a n-ésima transformação. A matriz original e o elemento original serão indicados, respectivamente, por A(0) e aij(0) .

Vamos ver através de um exemplo, como resolver um sistema pelo método de eliminação de Gauss Seja o sistema: 3x + y – z = 12 x + y + 3z = 15 2x - y + 5z = 19. 1 – Cria-se a matriz A(0)|B(0) que é a matriz ampliada do sistema: 3 1 -1 12 1 1 3 15 2 -1 5 19 O elemento a11(0) é denominado pivô. coeficientes Termos independentes Se a11(0) = 0 troca-se a ordem das equações de modo a tornar a11(0)  0. (Não é o caso deste sistema)

Multiplicadores m21 = 1/3 m31 = 2/3. 2 – Elimina-se a variável x1 nas equações i = 2, 3, 4 ... n. Para isso, da equação i subtrai-se a equação 1 multiplicada por mi1 = ai1(0) /a11(0). Multiplicadores m21 = 1/3 m31 = 2/3. L2 – m21.L1  L2 (esta notação é usada para indicar a substituição da linha 2 pelo resultado L2 - m21.L1) L3 – m31.L1  L3 3 1 -1 12 0 2/3 10/3 11 0 -5/3 17/3 11 A(1) |B(1) = Observe que os elementos ai1(1), i = 2, 3, são iguais a zero.

3 – Toma-se agora a22(1) como pivô. Note que ele deve ser diferente de zero. Se a22(1) for igual a zero, troca-se a ordem das linhas 2 e 3. Multiplicador: m32 = (-5/3)/(2/3) = -5/2. L3 – m32.L2  L3 3 1 -1 12 0 2/3 10/3 11 0 0 42/3 77/2 A(2) | B (2) = O sistema agora está na forma triangular. z = (77/2)/(42/3) = (77/2).(3/42) = 11/4. y = [11 – (10/3)(11/4)]/(2/3) = (11/6).(3/2) = 11/4. x = [12 – 1.(11/4) – (-1).(11/4)/(3) = 12/6 = 4 Solução: {4, 11/4, 11/4}

Coeficientes (células C12 a J19) Termos independentes Células L12 a L19 Coeficientes (células C12 a J19) RAÍZES Se uma das células usadas como divisor (pivô) for nula será exibida a informação de erro (divisão por zero). Verifique a linha com erro e a linha que contenha a célula. Troque a posição das linhas no quadro inicial.