MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Seja f(x) uma função cujas raízes se quer determinar com uma precisão menor ou igual a um certo valor dado. O processo consiste em usar como raiz aproximada a raiz da equação da tangente à curva f(x), ou seja a interseção da tangente com o eixo horizontal. T0 T3 T1 (x0) (x0, y0) f’(x0) = 0 (x1) f’(x2) = 0 (x3) f’(x1) = 0 (x2)
g(x) = x – f(x)/f’(x) Equação da tangente à curva. y – y0 = f’(x0).(x – x0) ou y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) A tangente corta o eixo horizontal no ponto onde y = 0. Em conseqüência: 0 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) – f(x0) = f’(x0).x1 – f’(x0).x0 x1 = x0 – f(x0)/f’(x0) x2 = x1 – f(x1)/f’(x1) x3 = x2 – f(x2)/f’(x2) g(x) = x – f(x)/f’(x)
EXEMPLO Seja, resolver a equação f(x) = x2 – 2,15x – 9,37, com aproximação inferior a 0,001. A derivada de f(x) e f’(x) = 2x – 2,15. 1º passo: determinando a função g(x) = x – f(x)/f’(x). Temos então: g(x) = x – (x2 – 2,15x – 9,37)/(2x – 2,15). 2º passo: localizar as raízes de g(x) através de um gráfico. Pelo gráfico verifica-se a existência de duas raízes: x1 próxima de –2 e x2 próxima de 4. Vamos determinar as raiz x2. 3º passo: Escolher uma raiz mais próxima de x2 do que de x1. Valor escolhido: x0 = 3
g(x1 – 1) = g(x0) = 3 = x1 (valor escolhido como primeira aproximação) g(x) = x – (x2 – 2,15x – 9,37)/(2x – 2,15). f(x) = x2 – 2,15x – 9,37 Para x = x0 g(x1 – 1) = g(x0) = 3 = x1 (valor escolhido como primeira aproximação) g(x1) = g(3) = (32 – 2,15.3 – 9,37)/(2.3 – 2,15) = 4,771428571 = x2. Calculando f(3) para conhecer o erro: f(x) = 32 – 2,15.3 – 9,37 = - 6,82. Este é o erro pois, f(x) deve ser igual a zero. Usando 4,771428571 como raiz: g(4,771428571) = 4,346970324 = x3 Calculando f(4,346970324) obtém-se 3,139592. O processo deve ser continuado até que se obtenha um erro igual ou inferior ao desejado.