A Andreia resolveu fazer economias. Na primeira semana pôs 1 Cêntimo no mealheiro e decidiu que em cada semana poria o dobro que na semana anterior. Designando por n o número de semanas e por d n o dinheiro que a Andreia põe no mealheiro temos, por exemplo: n d n 0,01 0,02 0,04 0,08 0,16 0,32
A sucessão que dá o dinheiro que a Andreia põe no mealheiro é de um tipo especial. O resultado da divisão entre o termo seguinte e o anterior é sempre o mesmo: 2 Uma sucessão deste tipo chama-se progressão geométrica. O resultado constante da divisão entre dois termos consecutivos é a razão da progressão. Neste caso r=2.
É possível encontrar o termo geral para esta progressão geométrica? n d n 0,01 0,02 0,04 0,08 0,16 0,32 O termo geral é: Ou: razão
Se for conhecido o primeiro termo e a razão, o termo geral de uma progressão geométrica u n obtém-se da seguinte forma: Por exemplo, ao fim de 20 semanas, a Andreia tem de pôr no mealheiro 5242,88 Euros.
Um questão se coloca! Qual a quantia guardada no mealheiro ao fim de determinado tempo. Evidentemente, podemos somar os montantes, no entanto usemos outro método que tem a vantagem de nos fazer descobrir uma fórmula. Vejamos, por exemplo, para 6 semanas: Multiplicando pela razão r: Subtraindo a 1ª expressão pela 3ª:
Simplificando e pondo em evidência S 6 : Pondo em evidência d 1: Isolando S 6 :
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica u n é igual a: em que u 1 é o primeiro termo e r é a razão (r0) Assim:
Qual o montante guardado no mealheiro ao fim de meio ano? O montante pedido é dado por: Ao fim de meio ano terá no mealheiro ,63 Euros.