UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA Unidade II SISTEMAS LINEARES

Introdução

A resolução de sistemas lineares pode surgir em diversas áreas do conhecimento. O caso geral, em que o sistema linear envolve m equações com n incógnitas, o sistema pode apresentar uma única solução, infinitas soluções ou não admitir solução. Neste capítulo vamos analisar esquemas numéricos para soluções de sistemas lineares de n equações com n incógnitas, supondo que este tenha uma única solução:

O sistema é representado por A x = b onde aij são os coeficientes, xj são as incógnitas e os bj são os termos independentes. Os métodos de resolução de equações lineares são classificados em: Métodos Diretos - fornecem a solução exata de um sistema linear, a menos dos erros de máquina, através da realização de um número finito de operações. Métodos Iterativos – fornecem uma seqüência de aproximações para a solução X a partir de uma solução inicial X(0).

Métodos Iterativos

Métodos Iterativos X = CX + d Vamos considerar um sistema linear AX = b, onde: A: matriz de coeficientes, n x n; X =(x1, x2, ..., xn)t: vetor de variáveis, n x 1 b: vetor independente, n x 1 (constantes) Tal sistema linear pode ser escrito na forma equivalente: X = CX + d onde: C: matriz com dimensões n x n; d: vetor com dimensões n x 1;

X(1) = CX(0) + d X(2) = CX(1) + d Partindo de um vetor X(0) (vetor aproximação inicial), constrói-se uma seqüência iterativa de vetores: X(1) = CX(0) + d X(2) = CX(1) + d Primeira aproximação Segunda aproximação De um modo geral, a aproximação X(k+1) é dada por: k = 0, 1, 2, ... OBSERVAÇÃO: k é chamado de índice de iteração. Sendo um processo iterativo, necessitamos de um critério de parada. E para isto temos que ter uma medida entre as aproximações X(k+1) e X(k). Para isto vamos usar o conceito de norma de matrizes.

Definição: Uma norma em é uma aplicação que satisfaz as seguintes propriedades: As normas matriciais mais usadas são:

Além disso, as normas satisfazem as seguintes propriedades: A norma vetorial pode ser vista como um caso particular da norma matricial, onde um vetor é equivalente a uma matriz de ordem .Com isto temos as normas de vetores dadas por:

O conceito de norma nos permite definir convergência de uma seqüência de vetores {Xk}. Dizemos que X(k)→X se onde X é a solução do sistema linear.

Com isto podemos definir os critérios de parada: Dado um e > 0 11

Critério de convergência

Critério de convergência Seja ║.║ uma norma qualquer de matriz. Se ║C║<1 o processo iterativo X(k+1)=CX(k)+d fornecerá uma seqüência {X(k)} convergente para a solução do sistema AX = b. Sendo o erro em cada iteração dado por e(k) =X(k) – X e usando as propriedades de norma segue que: Demonstração: Seja X solução do sistema. Então: X = CX + d. Subtraindo membro a membro de X = CX + d e X(k+1)=CX(k)+d tem-se:

Logo a seqüência {X(k)} converge para a solução do sistema X se e isto ocorre se a matriz C satisfaz a condição Quanto menor || C || mais rápido a convergência do processo.

Método iterativo de Gauss-Jacobi

Seja o sistema linear: Supondo , isole a coordenada xi do vetor X, na i-ésima equação, da seguinte forma:

Desta forma, tem-se o sistema equivalente X = CX + d, onde e Dada uma aproximação inicial: X(0) o Método de G.Jacobi consiste em obter seqüência: X(1), X(2),..., X(k) através da relação recursiva: X(k+1)=CX(k)+d.

Assim, Observe que o processo iterativo utiliza somente estimativas da iteração anterior.

Método iterativo de Gauss-Seidel 19

Observando as equações de iteração no método de Jacobi ou seja nota-se que na iteração de ordem (k+1) são usadas as componentes xj(k) da iteração anterior.

No Método de Gauss-Seidel para calcular a componente xj da iteração (k+1), utiliza-se as componentes já atualizadas x1(k+1), x2(k+1), ..., xj-1(k+1) e as componentes ainda não atualizadas da iteração anterior xj+1(k), xj+2(k), ..., xn(k). x1(k+1)= (b1 - a12 x2 (k) - a13 x3 (k) - a13 x3 (k) - ... - a1n xn (k) x2(k+1)= (b2 - a21 x1 (k+1) - a23 x3 (k) – a24 x4 (k) - ... - a2n xn (k) x3(k+1)= (b3 - a31 x1(k+1) - a32 x2 (k+1) – a34x4 (k) - ... - a3n xn (k) . xn(k+1)= (bn - an1 x1(k+1) - an2 x2 (k+1) – an3x4 (k+1) - ... - ann-1 xn-1 (k+1)

Interpretação Geométrica do Método de Gauss-Seidel Considere o sistema linear 2x2 dado pelas equações abaixo e geometricamente representados pela retas r1 e r2. y r2 r1 x Temos:

y r2 r1 x Inicie no ponto (x10, x20) = (0,0). Para determinar (x11, x20), substitua na reta r1 o valor x20, ou seja mova ao longo da reta horizontal iniciando no ponto (0, 0) até encontrar a reta r2. O próximo ponto (x11, x21), é determinado movendo-se ao longo de uma reta vertical iniciando no ponto (x11, x20) até encontrar a reta r1. Continuando desde modo, aproxima-se sucessivamente da solução do sistema, no caso da seqüência ser convergente.

y x r2 r1

Critério de Sassenfeld

Seja o sistema linear definindo: e para j = 2, 3, ..., n.

Define-se Se β<1, então o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência convergente para a solução do sistema, qualquer que seja o vetor inicial. Além disso, quanto menor for o valor de β mais rápida é a convergência.

Métodos diretos

Os Métodos Diretos são aqueles que após um número finito de operações fornecem a solução exata do sistema, a menos dos erros de arredondamentos. Definição: Dois sistemas lineares são equivalentes se estes tem a mesma solução. Podemos obter um sistema equivalente ao dado, efetuando as seguintes operações elementares: Trocar duas equações; multiplicar uma equação por uma constante; somar uma equação a outra multiplicada por uma constante;

Sistema Triangular Superior Denomina-se sistema triangular superior a todo sistema Ax =b em que aij = 0, para j < i.

Método de Eliminação de Gauss

O Método de Eliminação de Gauss consiste em transformar um sistema linear Ax= b em um sistema triangular superior equivalente. Considere o sistema linear: onde det(A) ≠ 0, isto é, o sistema admite uma única solução.

O sistema linear pode ser representado na forma de matriz estendida [A0 | b0 ], ou seja: onde o índice superior indica a etapa do processo. Etapa 1 Eliminar a incógnita x1 das equações k = 2, 3, ..., n. Sendo a11(0) ≠0, subtraímos da linha k a primeira linha multiplicada por:

Os elementos mk1 são chamados de multiplicadores e o elemento a11(0) é chamado de pivô da Etapa 1. Indicando a linha k da matriz por Lk(0), esta etapa se resume em: Ao final desta etapa tem-se: que representa um sistema linear equivalente ao sistema original, onde a incógnita x1 foi eliminada das equações k = 2, 3,..., n.

Etapa 2 Eliminar a incógnita x2 das equações k = 3, 4, ..., n. Supondo que a22(1) ≠ 0,vamos tomar este elemento como pivô desta etapa e desta forma os multiplicadores são dados por A eliminação segue com as seguintes operações sobre as linhas:

obtendo ao final da etapa a matriz Com procedimentos análogos ao das etapas 1 e 2 elimina-se as incógnitas xk das equações k + 1, k + 2, ..., n e ao final de n -1 etapas tem-se a matriz:

Esta matriz representa um sistema triangular superior equivalente ao sistema original. Logo a solução deste sistema, obtido pela Retro-Solução (substituição regressiva), é solução do sistema original.

Assim,

Pivotamento Parcial

Em cada etapa k da eliminação temos o cálculo do multiplicador Se o pivô |akk(k-1)| << 1, ou seja, próximo de zero, os erros de arredondamento se tornam significativos, pois operar números de grandezas muito diferentes aumenta os erros. A estratégia de pivotamento parcial é baseada na operação elementar: Trocar duas equações. No início de cada etapa k escolhemos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes akk(k-1) para i = k, k + 1, ..., n.

Inversão de matrizes pelo método de Gauss

Vamos supor que desejamos resolver os sistemas lineares Ax = b1, Ax = b2, Ax = bk, onde a matriz A é a mesma para todos os sistemas. A matriz triangular superior, resultante do processo de eliminação, não depende do vetor b e portanto será a mesma em qualquer um dos sistemas. Assim podemos resolver estes sistemas num único processo de eliminação usando a matriz estendida (A |b1|b2|...| bk) e aplicando a Retro-Solução para cada vetor bk.

O Cálculo da inversa de uma matriz é um caso particular do esquema acima. A inversa de uma matriz ARnxn, denotada por A-1, é uma matriz nxn tal que AA-1 = I Como exemplo vamos considerar uma matriz A de dimensão 3 3 cuja a inversa A-1 é dada por

Logo tem-se:

Portanto cada coluna k da inversa da matriz A é solução de um sistema linear, onde o vetor dos termos independentes é a k-ésima coluna da matriz identidade, isto é

Portanto, se temos uma matriz nxn, podemos achar a inversa resolvendo n sistemas lineares, representados pela matriz estendida (A | b1| b2 | ... | bk) , onde os vetores bk são os vetores unitários ( 1 na posição k e zeros nas demais posições).