DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 18 de Março de 2006

Divisores de um número Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero: 3 é divisor de 15 15 é divisível por 3 15 é múltiplo de 3

1 e 3 1 e 5 1, 2, 3 e 6 1, 2, 4, 7,... Divisores de um número Quais são os divisores de 3? 1 e 3 Quais são os divisores de 5? 1 e 5 Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6 Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...

Número primo Um número é primo se só tem dois divisores: a unidade e ele próprio Caso contrário, o número é composto

Primo ou Indecomponível 15 é composto. Pode decompor-se: 15 = 3 x 5 7 é primo. Não se pode decompor: 7 = 7

Alguns números primos

Alguns números primos

Mais números primos

Primo = Importante = Primeiro Os números primos são muito importantes. Qualquer número inteiro pode ser escrito como produto de números primos: 220 = 2 x 110 = 2 x 2 x 55 = 2 x 2 x 5 x 11

Decomposição em factores primos 220 2 110 2 55 5 11 11 1 220 = 2 x 2 x 5 x 11

Decomposição em factores primos 220 = 2 x 2 x 5 x 11 Quais são os divisores de 220? 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220

1 e 3 1 e 5 1, 2, 3 e 6 1, 2, 4, 7,... Divisores de um número Quais são os divisores de 3? 1 e 3 Quais são os divisores de 5? 1 e 5 Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6 Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...

só é igual à soma dos seus Número perfeito Um número é perfeito se só é igual à soma dos seus divisores próprios Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6 1 + 2 + 3 = 6

Decomposição em factores primos de 28 14 2 28 = 2 x 2 x 7 7 7 1 Divisores de 28: 1+2+4+7+14=28 1, 2, 4, 7, 14, 28

Desde quando se conhecem e estudam os números primos?

O osso de Ishango

O osso de Ishango

O osso de Ishango

Babilónios, Egípcios e Gregos A.C. D.C. 20000 6000 2006 Babilónios Egípcios Conheciam o Teorema de Pitágoras Gregos Pitágoras (569 – 475) Platão (427– 347) Aristóteles (384 – 322) Euclides (325 – 265)

Babilónios Escrita cuneiforme Sistema de numeração posicional de base 60 (3000 a.c.) Conheciam o teorema de pitágoras (1850 a.c.)

Babilónios

Babilónios

Egípcios Números por hieróglifos (3000 a.c.) Sistema de numeração desapropriado para cálculo numérico Papirus de Rhind (1650 a.c.)

Egípcios

Gregos (600 a.c.- 300 a.c.) Pitágoras (569 a.c. – 475 a.c.) Platão (427 a.c. – 347 a.c.) Aristóteles (384 a.c. – 322 a.c.) Euclides (325 a.c. – ~265 a.c.)

Gregos

Pitágoras de Samos Fundou uma escola de filosofia e religião. Os pitagóricos conheciam diversas propriedades dos números: estudaram as noções de divisor e de número perfeito. (569 A.C. – 475 A.C.)

Platão Conhecia o trabalho de Pitágoras (399 a.c.). Fundou a Academia em Atenas (387 a.c.). O seu nome está ligado aos sólidos platónicos. (427 A.C. – 347 A.C.)

Aristóteles Foi aluno de Platão (367 a.c.). Nos seus trabalhos são evocados por diversas vezes os números compostos e primos. (384 A.C. – 322 A.C.)

Euclides de Alexandria Mais importante matemático da antiguidade. Escreveu “Os Elementos”, mais importante obra matemática da antiguidade. (325 A.C. – 265 A.C.)

Os Elementos Uma página de “Os Elementos” numa tradução latina publicada em1482.

só pode ser medido pela unidade Os Elementos O que diz Euclides: Um número é primo se só pode ser medido pela unidade e por ele próprio Caso contrário, o número é composto

Os Elementos O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo 4: 15 = 4 =

Os Elementos O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15): 15 = 5 = 3 =

Euclides dizia: 3 e 5 medem 15 Nós dizemos: 3 e 5 dividem 15 Os Elementos Euclides dizia: 3 e 5 medem 15 Nós dizemos: 3 e 5 dividem 15

Os Elementos Se um número primo divide um produto de dois números, então divide, pelo menos, um deles. (Princípio de Euclides) Todos os números naturais ou são primos ou podem ser expressos como produto de primos de uma forma única, para além da ordem com que são escritos. (Teorema fundamental da aritmética) Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.

Há sempre novos primos

Os Elementos Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.

Há sempre novos primos 2 3 5 ...

Há sempre novos primos 2, 3, 5, 7, 11, 13 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 Como nenhum dos primos anteriores divide 30031 terá de existir um novo primo

Crivo de Eratóstenes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Primos enormes Com 50 algarismos: Com 100 algarismos:

Primos enormes Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e que até 1951 foi o maior primo conhecido: 2127-1 = 17014118346046923173168730 3715884105727 Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com a ajuda de uma calculadora mecânica: (2148+1)/17 = 209889366574405864861512 64256610222593863921

Primos enormes 909 526 algarismos Primo de Mersenne (1588-1648).

Primos de Mersenne Os primos da forma Mp = 2p - 1 com p primo, são chamados primos de Mersenne (1588-1648).

Números de Mersenne Primo Número de Mersenne 2 22 – 1 = 2 x 2 – 1 = 3 5 25 – 1 = 31 11 211 – 1 = 2047 2047 = 89 x 23

Primos de Mersenne Os primeiros primos de Mersenne eram Mp ano 1 2 3 7 5 31 4 127 13 8191 1461 6 17 131071 1588 19 524287 Os primeiros primos de Mersenne eram conhecidos desde a antiguidade:

Primos de Mersenne Em 1644 Mersenne afirma que são primos os números gerados a partir de: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257 Faltavam: p = 61, 89, 107

Primos de Mersenne Nº p Algarismos de Mp Ano 37 3021377 909526 Jan. 1998 38 6972593 2098960 Jun. 1999 39 13466917 4053946 Nov. 2001 40? 20996011 6320430 Nov. 2003 ... 43? 30402457 9152052 Dez. 2005

Primos de Mersenne e números perfeitos Euclides sabia como obter números perfeitos a partir dos primos de Mersenne: p Mp Número perfeito 2 22-1= 3 21x3= 6 3 23-1= 7 22x7= 28 5 25-1= 31 24x31= 496 7 27-1= 127 26x127= 8128

Primos de Mersenne e números perfeitos Mais alguns números perfeitos: p Número perfeito 13 33550336 17 8589869056 19 137438691328 31 2305843008139952128

Queres ficar famoso? “Basta” saber responder a uma destas questões: Haverá um número infinito de primos de Mersenne? Haverá um número infinito de números compostos de Mersenne? Haverá números perfeitos ímpares?

Um problema perfeito Mostra que um número perfeito par termina em Números perfeitos 6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128 Mostra que um número perfeito par termina em 6 ou 8.

BOM TRABALHO DIVIRTAM-SE