Matemática Discreta I BCC101 Introdução à Lógica 1

O que é Lógica Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos sentenças declarativas tais como: O círculo X tem raio 3 Se um círculo tem raio r, então sua área é 𝛑r2 Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos concluir: O círculo X tem área 9𝛑 2 2

O que é Lógica É importante notar que lógica é o processo de deduzir informação corretamente, e não de deduzir informação correta Suponha que estamos enganados e, de fato, o círculo X tem raio 4 Ainda assim, o raciocínio anterior está correto: O círculo X tem raio 3 Se um círculo tem raio r, então sua área é 𝛑r2 ----------------------------------------------- O círculo X tem área 9𝛑 A distinção entre lógica correta e informação correta é importante. Muitas vezes podemos querer determinar as consequências de uma suposição incorreta Idealmente, queremos que tanto o raciocínio, quanto as informações iniciais sejam corretas Na prova de teoremas, aplicamos lógica correta a hipóteses (axiomas) considerados obviamente verdadeiros, ou a fatos que já tenham sido provados previamente 3 3

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Do que precisamos? Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença Regras de raciocício para determinar a verdade ou falsidade de sentenças da linguagem. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Verdadeiro, Falso Axioma: Falso é o oposto de Verdadeiro. Exemplos: Se um círculo tem raio r, então sua área é 𝛑r2 2 ∈ 𝐙 √2 ∈ 𝐙 𝐍⊆𝐙 Esta sentença é fals Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Asserções DEF: Uma asserção é uma sentença que é verdadeira (T) ou falsa (F). Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade: Notação: P, Q, R etc BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Asserções - Notação Usamos as letras P, Q, R etc, para representar asserções: P: Para todo inteiro n>1, 2n-1 é primo Q: A função f(x)=x2 é contínua R: 𝐙⊆ BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Asserções - Variáveis Uma ossserção pode conter variáveis: P(x): Se x é múltiplo de 6, então x é par. Q(x): x é par M(x,y): x é múltiplo de y Uma asserção envolvendo variáveis pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à variável: Q(10): 10 é par - verdadeira Q(21): 21 é par - falsa M(10,3): 10 é múltiplo de 3 - falsa M(10,5): 10 é múltiplo de 5 - verdadeira Asserções que não envolvem variáveis são chamadas de proposições BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Asserções em Matemática Teorema de Pitágoras: (sec. V BC) Em um triângulo retângulo com catetos a e b, e hipotenusa c, temos c2 = a2 + b2 Teorema de Fermat: (sec XVII, provado em 1993) Para quaisquer números a,b,c,n ∈𝐍, n>2, temos que an+bn≠cn Conjectura de Goldbach: (sec XVIII, ainda não provado) Todo inteiro par > 2 é a soma de 2 números primos Instâncias da conjectura de Goldbach: 4 = 2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7 Isso entretanto não constitui uma prova de que a conjectura é correta A Conjectura de Goldbach é uma asserção, embora não se saiba se ela é verdadeira ou falsa BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Asserções mais Complexas Asserções mais complexas podem ser formadas a partir de asserções atômicas (e das constantes true e false), usando-se conectivos lógicos (ou operadores lógicos): O número 2 é par e o número 3 é impar - P: O número 2 é par - Q: O número 3 é impar - P ∧ Q BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Conectivos Lógicos Operador Simbolo Negação (não)  Conjunção (ê)  Disjunção (ou)  Ou exclusivo  Condicional (implicação, se então) → Equivalência (bi-implicação) = ⟷ BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lógica Proposicional: sintaxe formal 11/28/06 Lógica Proposicional: sintaxe formal Seja var uma variável de proposição. O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática: prop := var |true | false |(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop ⇒ prop) |(prop = prop) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Fórmulas da Lógica Proposicional Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional? - ((P ∨ Q) → P) - ((P ∧ ∨ P) → ¬)

Conectivos: precedência associatividade 11/28/06 Conectivos: precedência associatividade Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos: maior precedência ¬ ∧ ∨ ➝ = menor precedência ∧ e ∨ têm associatividade à esquerda ➝ tem associatividade à direita BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Conectivos: precedência associatividade 11/28/06 Conectivos: precedência associatividade Exemplos: ¬P ∧ Q ➝ R = (((¬P) ∧ Q) ➝ R) P ∧ Q ∨ R = ((P ∧ Q) ∨ R) P ∧ Q ∧ R = ((P∧Q)∧R) = (P∧(Q∧R)) P → Q → R = (P → (Q→R)) ≠ ((P→Q) →R) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Conectivos: precedência associatividade Elimine os parênteses desnecessários: ((P ∨ Q) ∨ (R ∨ S)) (P ➝ (Q ➝ (P ∧ Q))) ¬ (P ∨(Q ∧ R)) ¬ (P ∧(Q ∨R))

Lógica Proposicional - semântica 11/28/06 Lógica Proposicional - semântica O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F O significado da constante true é T O significado da constante false é F Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((P˄Q)  R) ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Negação p ¬ p T F Verdadeiro sse o operando é Falso Defina p = x < 0, q = x > 10 p é verdadeiro sse x é não negativo (p  q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Conjunção p q p ∧ q T F Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros Defina p = x > 0, q = x < 10 pq é verdadeiro sse x está entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Disjunção p q p ∨ q T F Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro Defina p = x > 0, q = x < 10 p∨q é verdadeiro para qq valor de x BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Ou Exclusivo p q p ⊕ q T F Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes Defina p = x > 0, q = y > 0 p⊕q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante Quadrante 1 x > 0, y > 0 Quadrante 2 x < 0, y > 0 Quadrante 4 x > 0, y < 0 Quadrante 3 x < 0, y < 0 y x BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Implicação p q p ➝ q T F Falso sse 1o op. é verdadeiro e 2o é falso Defina p = x > 10, q = x > 0 Considere x = 15, x = 5, e x = -5 pq é verdadeiro para todo valor de x A terceira linha da tabela não ocorre qp é falso quando x está entre 0 e 10 Note que com p e q tal como definidos acima, a noção de que podemos inferir q se sabemos p e (p ->q) casa com a nossa intuição sobre o significado de inferência. Of course each possible value of x produces a different proposition P (and a different Q, too), but P->Q is true for all possible values of x, as we expect intuitively. On the other hand, Q->P does not match our intuition. That is, we don’t expect to be able to infer P, knowing Q, for all values of x. And sure enough, the third line in the table does apply, for some values of x, to the implication Q->P. That is Q->P is false sometimes, depending on x. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Equivalência ou Bi-implicação 11/28/06 Equivalência ou Bi-implicação p q p = q T F Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor p = q tem o mesmo valor que (p⇒q)(q⇒p) p = q tem o mesmo valor que (p  q) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Condicional Diversas maneiras de expressar p → q: se p então q. se p, q. p implica q. q se p. p somente se q. q sempre que p. p é suficiente para q. q é necessário para p. Exemplos É suficiente que x>10 para que x>5 É necessário que x>5 para que x>10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Proposição: (P  Q)  ( P Q) 11/28/06 Tabela-verdade Proposição: (P  Q)  ( P Q) P Q F F F T T F T T (P  Q)  P (PQ) (PQ)  (PQ) Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível F T F F T T T T Falso p/ todas : Contradição (não satisfazível) T F T T T F Verdadeiro p/ todas: Tautologia T T BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Proposição: ( PQ)  (P Q) 11/28/06 Outra Tabela-verdade Proposição: ( PQ)  (P Q) (PQ) P Q F F F T T F T T  P (P  Q) (PQ)  (P Q) T F F F T T T T F F T F F F T F (PQ) Equivalência Lógica: = (PQ)  (P Q) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Sherlock Holms O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentes Ou o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocente Então ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo (M  C) L  C L   M BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Sherlock Holms (M  C) L  C L   M Consequência Lógica (M  C), L  C ⇒ L   M M C L (M  C) L  C L   M False False False True False True False False True True True True False True False True True True False True True True True True True False False True False False True False True True True True True True False False True False True True True False True True BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática? 11/28/06 O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática? É bom quando existem apenas 2 variáveis {T,F}  {T,F} = possíveis valores de variáveis 2  2 linhas na tabela-verdade Três variáveis — começa a ficar tedioso {T,F}  {T,F}  {T,F} = possíveis valores 2  2  2 linhas na tabela-verdade Vinte variáveis — impraticável! 2  2  …  2 linhas (220) Você gostaria de preencher um milhão de linhas? Nesse caso, como faria para evitar erros? Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!

Proposições - Exemplos Seja P: João é estudante Q: João vai ao cinema R: João vai estudar Expresse cada sentença como uma proposição: João vai ao cinema ou vai estudar João é estudante mas não vai estudar Se João vai ao cinema então João não vai estudar João não vai ao cinema nem vai estudar João vai ao cinema somente se ele não vai estudar É necessário que João não vá ao cinema para que ele vá estudar BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Três Lógicos com chapéus Três lógicos A, B e C, estão usando chapéus. Os três sabem que cada chapéu é preto ou branco, e que não são todos os chapéus brancos. O lógico A pode ver os chapéus de B e C; B pode ver os chapéus de A e C; e C é cego. Pergunta-se a cada um, primeiro a A, depois a B, depois a C, se ele sabe a cor do seu próprio chapéu. As respostas são: A: ”Não". B: ”Não". C: "Sim". Qual é a cor do chapéu de C e como ele sabe isso? 31 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 31

Como ganhar 1 milhão usando lógica Lecture 1 - CS1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Como ganhar 1 milhão usando lógica 3 Portas Uma porta tem 1 milhão Uma porta tem uma caneta Uma porta tem uma pipoca A Caneta aqui B Pipoca na porta C C Caneta na porta A Questão extra: Onde está a caneta? D Adapted from Smullyan, The Lady or the Tiger, Times Books, 1982 It can’t be door A because the statement on the jackpot door is true, and door A says the Palm Pilot is behind it. So, the jackpot can’t be behind door A. It can’t be door B because if door B had the jackpot, it’s sign would be true, and the Popsicle would be behind C. But if the Popsicle were behind C, the statement on C would be false, but it can’t be because there’s nowhere else but door A for the Palm Pilot. So the jackpot can’t be behind door B. Inscrições nas portas Porta $$: inscrição verdadeira Porta da pipoca: inscrição falsa BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Knights and Knaves (Raymond Smullyan) 11/28/06 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Em uma ilha hipotética, os habitantes ou são Knights, que sempre falam verdade, ou Knaves, que sempre mentem. Você pergunta a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: “Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight”. Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave? Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Knights and Knaves (Raymond Smullyan) 11/28/06 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Seja k = o nativo é um knight o = há ouro na ilha Temos: (k ∧ (k=o)) ∨ (¬k ∧ ¬(k=o)) = true Conclusão: há ouro na ilha não se pode saber se o nativo é knight ou knave k o k ∧ (k=o) ¬k ∧ ¬(k=o) true false BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP