Conceitos Básicos Alysson e Franklina 2ºs/2011 1

Conceitos Básicos 2 Otimalidade Limitantes Relaxação

Otimalidade Dado um Problema Inteiro Uma solução com valor z* é ótima se 3 S Z1Z1 f.o. Z* Z2Z2

Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior z LI z* e um limitante superior z LS z* tal que z LI = z* = z LS. 4

Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior z LI z* e um limitante superior z LS z* tal que z LI = z* = z LS. 5

Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior z LI z* e um limitante superior z LS z* tal que z LI = z* = z LS. 6 Z LI2 f.o. Z LS = Z LI = Z* Z LS1 Z LS2 Z LSn Z LI1 Z LIk : :

Na prática um algoritmo simples para o problema anterior é terminado quando existe uma seqüência decrescente de limitantes superiores e uma seqüência crescente de limitantes inferiores, tal que, z LS – z LI 7

Limitante Inferior Qualquer solução x´ X (solução factível) fornece um limitante inferior para o problema 1 : z LI = z(x´) z* Em geral, usam-se métodos heurísticos para obter um limitante inferior. Obs. Existem problemas em que é simples encontrar uma solução factível (mochila), no entanto, para alguns essa tarefa pode ser árdua (dimensionamento de lotes). 1 – Lembre-se que estamos maximizando z. 8

Limitante Superior Limitante superior: é a melhor expectativa para o problema original. O enfoque de relaxação é o mais importante para determinar limitantes superiores. Um problema relaxado é um problema mais simples que o problema original de programação inteira, com valor ótimo maior ou igual a z*. 9

Duas possibilidades para o problema relaxado: a) Aumentar o conjunto de soluções factíveis (ex. relaxação linear); b) Substituir a função objetivo por uma função com valor maior ou igual para todas as soluções factíveis. 10

Definição 2.1. Um problema (PR) z R = max{f(x) | x T R n } é uma relaxação de (PI) z = max{c(x) | x X Z n } se: (i) X T, e (ii) f(x) c(x) para todo x X. 11

(i) X T Comentário: o problema relaxado deve conter todas as soluções do problema original, pois se uma solução for excluída, a solução ótima do problema original pode ter sido perdida, logo o problema relaxado não será uma estimativa para o problema original. 12

(ii) f(x) c(x) para todo x X. Contra exemplo: Comentário: o máximo de f(x) não é um limite superior para o valor de c(x). 13

Proposição 2.1. Se PR é uma relaxação de PI então z R z. Demonstração. Se x* é uma solução ótima de PI, então x* X T e z = c(x*) f(x*). Como x* T, f(x*) é um limitante inferior de z R, e portanto, z f(x*) z R. 14

Relaxação Linear - PL Definição 2.2. Dado o problema inteiro Em que Sua relaxação por programação linear é dada por: Prove que Z PL é um relaxação de Z. 15

Exemplo relaxação linear Considere o problema inteiro: 16

Relaxação Linear do Exemplo: Problema linearmente Relaxado 17

Resolução da Relaxação Linear 18

Resolução da Relaxação Linear Sol. Ótima: 19

Limitante para o prob. original Para o problema original sabemos que o valor da f.o. será inteiro, logo o limitante superior é dado por z 8 + = 20

Exemplo relaxação Linear (2,1) é uma solução factível, logo é um limitante inferior para o problema, z 7. A solução ótima do PL é x = (20/7, 3) com valor 59/7. Como a solução ótima é inteira, temos que z f.o. z

Proposição 2.2. (Formulações Melhores) Considere P 1, P 2 duas formulações para o problema inteiro Sendo P 1 uma formulação melhor que P 2, isto é, P 1 P 2. Se para i = 1, 2 são os valores ótimos das relaxações lineares, então para todo c. 22

Proposição 2.3. (Prova de otimalidade) (i) Se o problema relaxado (PR) é infactível, o problema original (PI) é infactível. (ii) Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI. Demonstração (i) Como PR é infactível, T = e, portanto, X =. (ii) Como x* X, z c(x*) = f(x*) = z R. Como z z R, então c(x*) = z = z R. 23

(ii) Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI. Nota: para f(x*) c(x*) 24

Relaxação Lagrangiana Dado um problema de programação inteira (PI) z = Max {cx | Ax b, x X Z n }. Se este problema for difícil de resolver, podemos relaxar as restrições Ax b para obter um problema relaxado mais fácil de resolver, ou seja: z R = Max {cx | x X Z n }. O conjunto de soluções factíveis de z R contém todas as soluções factíveis de z. 25

Proposição 2.4. Dado z(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}. Então z(u) z para todo u Para a relaxação lagrangiana, a função objetivo do problema relaxado é dada conforme definido na Proposição 2.4.

Proposição 2.4. Dado z(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}. Então z(u) z para todo u 0. Prova. Seja x* solução ótima do PI. Como x* é factível em PI, x* X. Logo, Ax* b e, portanto, b – Ax* 0. Como u 0 temos z = cx* cx* + u(b – Ax*) = z(u). 27

Exemplo relaxação lagrangiana Considere o problema inteiro: 28

Exemplos de relaxação lagrangiana Relaxação lagrangiana 1: Relxação lagrangiana 2: 29

Exercício: pesquise uma relaxação lagrangiana para o problema de dimensionamento de lotes definido abaixo: 30

Relaxação Surrogate Dado o problema inteiro: z = Max {cx | Ax b, x X Z n } Sua relaxação surrogate é dada por: z = Max {cx | T Ax T b, x X Z n } Com T 0. 31

Relaxação Surrogate Exemplo* 32 * retirado de Programming(4).pdf Relaxação surrogate com = (1 1) T

Relaxação Combinatorial Esta relaxação está associada a um problema de otimização combinatória. Problema do Caixeiro Viajante. É dado um grafo orientado D = (V,A) com peso c ij para cada arco (i,j) A. As soluções do PCV são tours ou ciclos Hamiltonianos, que são designações (assignments) ou permutações sem subtours. 33

ciclos Hamiltonianos – uma rota através dos vértices do grafo que inicie e termine em um mesmo nó sem nunca repetir uma visita. Grafo original Ciclos Halmiltonianos 34

Problema de designação: Grafo originalCiclo Halmiltoniano 35

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Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS) É dado um grafo G = (V,A) com peso c i para cada aresta i A. Note que: a) todo tour consiste de duas arestas adjacentes ao nó 1, e um caminho através dos nós {2,3,...n}; b) Um caminho é um caso especial de uma árvore. Definição 2.3. Uma 1-árvore é um subgrafo que consiste de duas arestas adjacentes ao nó 1, e das arestas de uma árvore nos nós {2,...n}. 37

Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS) Cada tour é uma 1-árvore, e, portanto, 38

Problema da Mochila Uma relaxação do conjunto É o conjunto Onde a é o maior inteiro menor ou igual a a. 39

Dualidade para problemas inteiros Definição 2.4. Os dois problemas (PI)z = Max {cx | x X } (D) w = Min {w(u) | u U } Formam um par dual (fraco) se c(x) w(u) para todo x X e todo u U. Quando z = w, eles forma um par dual forte. 40

Dualidade para problemas inteiros Vantagem da dualidade: a cada iteração do problema dual obtemos um limitante superior para o problema original. Nota: na relaxação só temos um limitante superior quando obtemos o valor ótimo da relaxação. Proposição 2.5. O problema inteiro z = Max {cx | Ax b, x X Z n + } e o problema linear w = Min {ub| uA c, u R m + } formam um par dual fraco. 41

Dualidade para problemas inteiros Proposição 2.6. Suponha que PI e D foram um par dual fraco. i. Se D é ilimitado então P é infactível. ii. Se x* X e u* U satisfazem c(x*) = w(u*) então x* é solução ótima de PI e u* é solução ótima de D. 42

Limitantes inferiores: solução factível* Heurísticas gulosas (Greedy – gananciosa) Idéia geral: construir uma solução a partir de um conjunto vazio, escolhendo a cada passo a melhor decisão naquele momento. Exemplo. Problema da Mochila 43 * Problemas de maximização

Busca local Passo 1. Seleção de uma solução inicial (S). V Passo 2. Avalie se existe na vizinhança V uma solução S melhor que S. Passo 3. Se existe S então atualize S e volte ao Passo 2. Passo 4. Fim. Exemplo. Problema da mochila. 44

Incluir: slides PI1modelagem1.pdf 121 a

Lista de Exercícios: Exercícios 1, 3, 4, 5, 6 e 7 do Cap. 2 do livro do Integer Programming, Wolsey, L.A. Data de entrega: 29/09 46