O Modelo de Água-Rasa e o Ajuste ao Balanço Geostrófico Michelle Simões Reboita Nelson Leonardo Vidaurre Navarrete

INTRODUÇÃO Modelo de água-rasa  fluídos com escala de comprimento horizontal muito maior do que a profundidade. Ramos da ciência  engenharia costeira e fluvial, oceanografia e meteorologia, etc. Meteorologia  exemplo de aplicação os movimentos de escala sinótica em latitudes médias, encontram-se em balanço quase-geostrófico (FGP  FC); o desequilíbrio entre essas forças leva a excitação de ondas de gravidade inerciais; permitem a dispersão da energia de forma que o estado da atmosfera tende sempre ao equilíbrio quase-geostrófico (Holton, 1992). Portanto, na Meteorologia, uma das aplicações do modelo de água-rasa pode ser para o estudo do ajuste ao balanço geostrófico.

OBJETIVOS Resolver numericamente o modelo de água-rasa bidimensional por meio do método de diferenças finitas. Analisar e entender o comportamento das variáveis atmosféricas (componentes zonal e meridional do vento e o campo do geopotencial) durante o processo do ajuste ao balanço geostrófico. Para tanto será introduzida uma perturbação com a forma de uma gaussiana no campo do geopotencial e após serão feitas simulações para as latitudes de 0º, 15º, 45º e 75ºS. Sendo que para cada latitude o modelo será executado com as profundidades médias de 50, 250 e 1000 m.

FORMULAÇÃO DO MODELO DE ÁGUA-RASA A derivação das equações do modelo de água-rasa pode ser obtida por duas maneiras: a partir da consideração de um fluído homogêneo e hidrostático e a partir do modelo de equações primitivas.

DERIVAÇÃO A PARTIR DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS O modelo de água-rasa pode ser obtido utilizando-se o método de separação de variáveis aplicado no modelo de equações primitivas.

DERIVAÇÃO A PARTIR DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS Utilizando o método da perturbação para linearizar as equações: Obtemos a forma linearizada das equações anteriores:

DERIVAÇÃO A PARTIR DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS Para o caso adiabático (J=0) temos o sistema:

DERIVAÇÃO A PARTIR DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS Utilizamos o método de separação de variáveis com o objetivo de separar a estrutura horizontal e vertical: Substituindo nas equações do movimento e da termodinâmica, obtemos:

DERIVAÇÃO A PARTIR DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS Estrutura Horizontal: equações de água-rasa Estrutura vertical Problema de Sturm-Liouville Condições de Fronteira

DERIVAÇÃO A PARTIR DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS Hipótese: σ cte com a pressão Utilizando as condições de fronteira: Auto-valor Auto-função da estrutura vertical

SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DE ÁGUA-RASA Método: diferenças finitas Esquema: centrado no tempo - Leap-Frog (avançado no tempo em it=1) centrado no espaço Grade: grade C Condições iniciais: u = v = 0 perturbação gaussiana em  Condições de fronteira: radiativa u = N e S v = L e O  = N, S, L e O Figura 1. Grace C.

Particularidades da Grade C (1) (2) (3) Cálculo simples dos termos do gradiente de pressão, mas se requer interpolação para os termos de Coriolis em (1) e (2). Cálculo simples dos termos da divergência em (3).

Grade C

Perturbação Gaussiana

SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DE ÁGUA-RASA Esquema Leap-Frog, centrado no espaço Esquema avançado no tempo e centrado no espaço

SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DE ÁGUA-RASA Perturbação no geopotencial Condições radiativas para o geopotencial:, u e v

Detalhes da implementação: 1. os pontos de u e v não se localizam no mesmo local de  Solução: interpolação linear 2. há menos pontos de u e v do que  na grade Solução: extrapolação linear Figura 2. Grade C de 9x9 pontos.

ASPECTOS ATMOSFÉRICOS Num modelo de água-rasa cinco tipos de onda podem estar presentes: ondas de gravidade, ondas de gravidade inercial, ondas de Rossby, ondas de gravidade-Rossby e ondas de Kelvin. mas isso quando o efeito Beta, que corresponde a variação do parâmetro de Coriolis com a latitude, é incluído nas equações do movimento. Neste estudo não inclui-se o efeito Beta, portanto, nos resultados das simulações só será possível observar dois tipos de ondas: as ondas de gravidade e gravidade inercial. Entretanto, as ondas de gravidade só ocorrem na região equatorial, onde o efeito de Coriolis é nulo. Nas regiões onde Coriolis atua desenvolvem-se as ondas de gravidade-inercial.

ASPECTOS ATMOSFÉRICOS Ondas de gravidade velocidade de fase: onde g é a força de gravidade e H é a profundidade média do fluído; velocidade de fase (c) independe do número de onda (k), portanto são ondas não dispersivas; direção de propagação: leste e oeste; quanto maior H maior é a velocidade de fase. Ondas de gravidade inercial existem devido a influência do efeito de Coriolis; velocidade de fase depende do número de onda, portanto são ondas dispersivas; direção de propagação: leste e oeste.

Fonte: http://www.cdc.noaa.gov/map/clim/olr_modes/mapanim2.html Oscilação de Madden-Julian  leste Ondas de Rossby  oeste Ondas de Kelvin  leste Ondas de gravidade-Rossby  oeste e leste Fonte: http://www.cdc.noaa.gov/map/clim/olr_modes/mapanim2.html

ASPECTOS ATMOSFÉRICOS Ajuste ao balanço geostrófico Para movimentos de escala sinótica em latitudes médias, as forças de gradiente de pressão e Coriolis estão aproximadamente em balanço quase-geostrófico. O desequilíbrio entre estas duas forças leva à excitação de ondas de gravidade inerciais. Tais ondas como são dispersivas e com alta freqüência permitem a dispersão da energia de forma que o estado da atmosfera tende sempre ao equilibro quase-geostrófico. Este processo é então denominado de ajuste ao balanço geostrófico (Holton, 1992).

SIMULAÇÕES Com o objetivo de verificar o comportamento das variáveis atmosféricas : componente zonal e meridional do vento e altura geopotencial durante o processo do ajuste ao balanço geostrófico implementou-se o modelo de água-rasa bidimensional e inseriru-se uma perturbação inicial no campo do geopotencial. Foram feitas análises para as latitudes de 0º, 15º, 45º e 75ºS sendo que para cada latitude utilizou-se as profundidades médias de 50, 250 e 1000 m. Os cálculos consistiram de 241 passos no tempo (∆t = 60s). Duas análises: H cte e  variável H variável e  cte

Campo do geopotencial inicial com: perturbação gaussiana de 50m de altura e 80 km de raio de decaimento Figura 3. Perturbação inicial no campo do geopotencial.

Simulações: =45º e H=250m Campo do geopotencial bidimensional Corte latitudinal no campo do geopotencial Campo de u bidimensional Corte latitudinal no campo de u Campo de v bidimensional Vetor velocidade horizontal

Ondas gravito-inerciais de alta freqüência que se propagam para longe da região fonte em todas as direções. Figura 4.

Figura 5.

As componentes do vento tentam se ajustar ao campo do geopo-tencial que foi perturbado. Como as ondas gravito-inerciais dispersam a ener gia para longe da região perturbada a atmosfera vai tender ao equi-líbrio quase-geotrófico. -divergência -rotação anticiclô-nica. Figura 6.

Figura 7.

-divergência -rotação anticiclô-nica. Figura 8.

Figura 9. -divergência -rotação anticiclô-nica. À medida que as ondas gravito-iner-ciais vão disper-sando a energia o vento diminui de intensidade na re-gião da pertur-bação inicial. Figura 9.

Campo de Fi a) b) Campo de fi: (a) bidimensional e (b) unidimensional.

Campo de Fi a) b) Campo de fi: (a) bidimensional e (b) unidimensional.

Campo de Fi a) b) Campo de fi: (a) bidimensional e (b) unidimensional.

Campo de u a) b) Campo de u: (a) bidimensional e (b) unidimensional.

Campo de u a) b) Campo de u: (a) bidimensional e (b) unidimensional.

Campo de u a) b) Campo de u: (a) bidimensional e (b) unidimensional.

Campo de v a) b) c) Campo de v bidimensional nos tempos: (a) 10s, (b) 60s e (c) 200s.

Vetor V a) b) c) Campo de v bidimensional nos tempos: (a) 10s, (b) 60s e (c) 200s.

Figura 10. Diagrama de Hovmoller do geopotencial para H=250 e =45ºS. Dispersão das ondas de gravidade inercial Figura 10. Diagrama de Hovmoller do geopotencial para H=250 e =45ºS.

Figura 11. Diagrama de Hovmoller da componente zonal do vento, para H=250 e =45ºS.

Figura 12. Diagrama de Hovmoller da componente meridional do vento, para H=250 e =45ºS.

ANÁLISE 1: H CTE E  VARIÁVEL Caso 1: H=50m Caso 2: H=250m Caso 3: H=1000m

Caso 1: H=50m Legenda 0º 15ºS 45ºS 75ºS Figura 13. Comparação entre o geopotencial. Nas figuras que apresentam dois eixos verticais, o que localiza-se mais à esquerda refere-se a latitude de 15ºS.

Caso 1: H=50m Legenda 0º 15ºS 45ºS 75ºS Figura 14. Comparação entre a componente zonal. Do vento Nas figuras que apresentam dois eixos verticais, o que localiza-se à esquerda refere-se a latitude de 15ºS.

Caso 2: H=250m Legenda 0º 15ºS 45ºS 75ºS Figura 15. Comparação entre o geopotencial. Na figura que apresenta dois eixos verticais, o que localiza-se mais à esquerda refere-se a latitude de 45ºS.

Caso 2: H=250m Legenda 0º 15ºS 45ºS 75ºS Figura 16. Comparação entre a componente zonal.

Caso 3: H=1000m Legenda 0º 15ºS 45ºS 75ºS Figura 17. Comparação entre o geopotencial.

Caso 3: H=1000m Legenda 0º 15ºS 45ºS 75ºS Figura 18. Comparação entre a componente zonal.

ANÁLISE 2: H VARIÁVEL E  CTE Caso 1:  = 0º Caso 2:  = 15ºS Caso 3:  = 45ºS Caso 4:  = 75ºS

Caso 1:  = 0º Legenda 50 250 1000 Figura 19. Comparação entre os valores da componente u, para a latitude de 0º e para as profundidades de H = 50, 250 e 1000 m.

Caso 2:  = 15º Legenda 50 250 1000 Figura 20. Comparação entre os valores da componente u, para a latitude de 15º e para as profundidades de H = 50, 250 e 1000 m.

Caso 3:  = 45º Legenda 50 250 1000 Figura 21. Comparação entre os valores da componente u, para a latitude de 45º e para as profundidades de H = 50, 250 e 1000 m.

Caso 3:  = 75º Legenda 50 250 1000 Figura 22 . Comparação entre os valores da componente u, para a latitude de 75º e para as profundidades de H = 50, 250 e 1000 m.

Vorticidade H = 250m  = 0º, 15º, 45º e 75ºS

T = 10 s Figura 23. Vorticidade e vetor da velocidade horizontal do vento para o tempo de 10 s e H=250m. O valor da vorticidade foi multiplicado por 107.

T = 100 s Figura 24. Vorticidade e vetor da velocidade horizontal do vento para o tempo de 100 s e H=250m. O valor da vorticidade foi multiplicado por 107.

T = 200 s Figura 25. Vorticidade e vetor da velocidade horizontal do vento para o tempo de 200 s e H=250m. O valor da vorticidade foi multiplicado por 107.

CONCLUSÕES Neste estudo implementou-se um programa para resolver numericamente o modelo de água-rasa bidimensional, por meio do método de diferenças finitas. O esquema de diferenças utilizado foi o centrado no tempo (Leap-Frog) e no espaço, com a exceção da primeira iteração, onde considerou-se o esquema avançado no tempo e centrado no espaço. Aplicou-se os esquemas citados na grade C, sendo usadas como condições inicias aquelas de um fluído em repouso (velocidade nula) e, para o campo do geopotencial, foi inserida uma perturbação do tipo Gaussiana. A condição de fronteira aplicada foi a radiativa. Para analisar e entender o comportamento das variáveis atmosféricas durante o processo do ajuste ao balanço geostrófico realizaram-se simulações para as latitudes de 0o, 15o, 45o e 75oS com variações no parâmetro da profundidade que foram H = 50, 250 e 1000 m.

CONCLUSÕES Nas equações dinâmicas do modelo não foi inserido o efeito Beta, como conseqüência só obtivemos ondas de gravidade puras e ondas gravito-inerciais, sendo que as primeiras existiram apenas na região equatorial, pois nesta o efeito de Coriolis é nulo quando utilizamos o plano f. No experimento em que H era fixo e  variava o resultado obtido na latitude de 0º foi o que mais diferiu dos demais. Esta diferença pode ser em função de que no equador ocorrem somente ondas de gravidade pura, uma vez que nesta região não há influência do efeito de Coriolis, pois não foi considerado efeito Beta nas equações do modelo de água-rasa. Já nas demais latitudes há a atuação de Coriolis o que proporcionou ondas de gravidade inercial. Os resultados da análise fixando a  e variando H mostraram que quanto maior for a profundidade do fluído, mais rápido as componentes atmosféricas retornavam ao estado de equilíbrio. Isto ocorre porque com profundidades maiores a velocidade de fase das ondas é maior e conseqüentemente a dispersão de energia também é mais rápida.

PERSPECTIVAS Este trabalho pode ser ampliado fazendo-se uma alteração no código do modelo de água-rasa através da inserção do plano Beta nas equações dinâmicas. Assim, podem ser realizadas simulações para as mesmas latitudes e profundidades usadas neste estudo, a fim de comparar os resultados. Do ponto de vista numérico, pode-se empregar diferentes condições de fronteira objetivando-se a análise da influência destas nos resultados das simulações.

Salby , 1996 (pg 357) PLANO - f Temos o plano-f quando consideramos um movimento meridional em que o deslocamento é suficientemente curto onde podemos ignorar a variação de f. Para se obter o plano-f expandimos f numa série de Taylor sobre a latitude de referência 0 e consideramos apenas o primeiro termo, e este representa o parâmetro de Coriolis.

Holton , 1992 (pg 151) EFEITO BETA Quando o fluído possui deslocamento meridional muito extenso o efeito de Coriolis vai tendo modificações ao longo das latitudes. Portanto, o efeito Beta corresponde a variação do parâmetro de Coriolis com a latitude. Esta variação pode ser explicada pela expansão latitudinal de f numa série de Taylor em y (que reflete o deslocamento meridional de uma parcela de ar): , e considerando apenas os dois primeiros termos: onde: sendo a o raio da Terra. Esta aproximação é usualmente referida como aproximação do plano-Beta de latitudes médias.