VALORES ESPERADOS

6. Média, Variância, Momentos e Função Característica A função densidade de probabilidade de uma v.a X, representa uma informação complete a respeito da v.a. X e e de todo subconjunto B mapeado sobre o eixo- x Se é desejado representar-se alguma informação mais detalhada ou caracterizar, por exemplo, o comportamento médio de uma v.a. X, então é necessário introduzir neste contexto dois importante parâmetros que são: média e variância, que são usados para caracterizar todas as propriedades de uma v.a. X e de sua função densidade de probabilidade, (6-1)

A Média ou Valor Esperado de uma v.a. X é definido como: Se X é uma v.a. do tipo discreta, então Portanto, a média representa o valor de uma v.a. mais provável de ocorrer, quando um número muito grande de um dado experimento é repetido. Por exemplo, se X é uma v.a. uniformemente distribuída no intervalo (a,b), o valor médio é dado por:

Por outro lado, se X é exponencial com parâmetro , então: Se X é v.a. de Poisson com parâmetro , então Para uma v.a. X com f.d.p. binomial:

Quando X é uma v.a. gaussiana, Se representa uma nova v.a. com f.d.p. , então o valor médio de y é dado por: Mas, para calcular é necessário determinar Relembrando que, para qualquer y, onde xi representa as múltiplas soluções de

Pode -se escrever que onde são intervalos que não se sobrepõe, então Então fazendo tem-se: Para o caso discreto a expressão reduz-se a: Exemplo: Se X é uma v.a. de Poisson, determine o valor médio de

Em geral, é conhecido como o k-ésimo momento da v.a. X. é o segundo momento da v.a. de Poisson.

A média sozinha não caracteriza totalmente a f. d. p. de uma v. a A média sozinha não caracteriza totalmente a f.d.p. de uma v.a.. Para ilustrar este fato, considere duas variáveis aleatórias gaussianas, ~ e ~ isto é, ambas tem média no entanto suas f.d.p.’s são diferentes, como pode ser visto na figura abaixo. Uma é mais concentrada torno da média, enquanto a outra é mais dispersa. Claramente, há necessidade de um outro parâmetro para caracterizar as f.d.p.’s das variável aleatórias X1 e X2 . O parâmetro que caracteriza essa dispersão em torno da média chama-se variância. (a) (b)

Para uma v. a. X com média representa o desvio da v. a Para uma v.a. X com média representa o desvio da v.a. em relação à média. Uma vez que esse desvio pode ser positivo ou negativo, considera-se então cujo valor esperado representa o valor médio quadrático dos desvios em torno da média. Definindo e considerando que tem-se: é conhecido como a variância da v.a. X, e a sua raiz quadrada é conhecido como desvio padrão de v.a. X. Assim o desvio padrão está relacionado com a raiz quadrada do espalhamento de uma v.a. em torno da média .

Expandindo a equação e usando a propriedade da linearidade tem-se: Que pode ser usado como outra alternativa para calcular Assim, por exemplo, retornando à v.a. de Poisson, pode-se calcular a variância da v.a. X. Assim, para a v.a. de Poisson, a média e a variância são ambas iguais ao parâmetro

Determinação da variância de uma variável aleatória com distribuição normal Para simplificar, pode-se usar a identidade Então, Diferenciando ambos os lados da equação a tem-se: ou Portanto:

Momentos: o momento de uma v.a. X é definido como: e é conhecido como momento central da v.a. X (momento em relação a média). Assim e Relação entre e Em geral a quantidade é conhecida como momento generalizado de X em relação a a e é conhecida como momento absoluto de X.

Caso particular: Variável aleatória gaussiana 