a. Sistema a malha fechada; b. função de transferência equivalente Técnica do Lugar das Raízes – Root Locus a. Sistema a malha fechada; b. função de transferência equivalente Função de Transferência do canal direto Sinal atuante Entrada Saída Função de Transferência da retroação

Pólos e Zeros da F.T.M.F. em função dos pólos e zeros da F.T.M.A Os Zeros de T(s) são os zeros de G(s) e os pólos de H(s), mas os pólos de T(s) não podem ser determinados diretamente, eles precisam ser calculados e mais do que isto, dependem do valor de K

Exemplo Calcule os pólos e zeros para a F.T.M.F. quando G(s) e H(s) são dadas por: Os Zeros valem: -1 e -4 Os pólos serão dados pelas raízes do polinômio abaixo que dependem de K.

m = número de zeros ; n = número de pólos Como F(s) é um número complexo ele pode ser representado através da forma polar ou seja, por um MÓDULO e uma FASE :

Exemplo

a. Sistema que rastreia automaticamente objetos; b a. Sistema que rastreia automaticamente objetos; b. diagrama de blocos; c. função de transferência a malha fechada Cortesia de ParkerVision.

Tabela 8.1 Localização dos pólos como função do ganho do sistema mostrado anteriormente

a. Diagrama de pólos com base na tabela 8.1; b. lugar das raízes

FUNDAMENTO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES – PÓLOS DE MALHA FECHADA Veja exemplo para o sistema de câmara apresentado anteriormente para por exemplo o pólo em -1 que acontecerá para um ganho k=9

a. Sistema de Exemplo; b. diagrama de pólos e zeros de G(s) Plano s Verifique se os pontos “s” abaixo são pólos do sistema de malha fechada

Representação vetorial de G(s) com base na Fig. 8.6(a) em –2+ j 3 Plano s NÃO PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES

PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES

Regras para esboço do Lugar das Raízes O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema; O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real; O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;

Pólos e zeros de um sistema a malha aberta genérico com pontos de teste, Pi, no eixo real Plano s 16

Regras para esboço do Lugar das Raízes O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta; Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:

Segmento do eixo real do lugar das raízes para o sistema: Plano s 19

Lugar das raízes completo para o sistema: Plano s 20

Exemplo: Esboce o Lugar das raízes 21

Lugar das raízes e assíntotas para o sistema: Plano s Assíntota Assíntota Assíntota 22