Coordenação Geral de Ensino da Faculdade Profa. Esp. Sheila Melo Coordenação Geral de Ensino da Faculdade Medidas de Posição

Estudando as distribuições de  frequência,  percebe-se que existe uma  posição de  concentração dos valores, que podem estar mais concentrados no início, no meio ou no  final da distribuição. Para  isto se faz necessário conhecer  outras  importantes  medidas  de posição: a média, a mediana e a moda. 

Observe a sequência de informações a seguir:    1, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 32   Responda rapidamente: qual é o valor desta série que melhor a representa? Como o valor que aparece com maior frequência é o “ 4” , ele é o valor modal, ou simplesmente  a moda.  

Moda (Mo) É o valor que mais se repete em uma sequência de dados.  O  uso  da  moda  é  mais  indicado  quando  se deseja  obter,  rapidamente,  uma  medida  de tendência central. Um outro aspecto que  favorece a utilização da moda é que seu valor  não é afetado pelos valores extremos do  conjunto de dados analisado.

Uma série numérica pode ser:  Amodal: quando nenhum valor se repete;  Modal: quando um valor se repete;  Bimodal: quando dois valores se repetem;  Trimodal: quando três valores se repetem;  Polimodal: quando mais do que três valores se  repetem. 

Consideremos, agora, a seguinte sequência de informações a seguir:     1, 5, 8, 9, 12, 17, 20   Responda rapidamente: qual é o valor desta série que melhor a representa? Nesta situação, o valor que melhor representa a série é o valor central: 9. Portanto, tal informação da série é conhecida como Mediana.  

Mediana (Md)  A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de observações, dividindo  o conjunto em duas partes  iguais.  Obs.:  50% dos valores são maiores ou  iguais ao valor da mediana. 50% dos valores são menores ou iguais ao valor da  mediana.  a mediana é o valor  tal que separa o conjunto de dado em dois subconjuntos de mesma  quantidade de elementos.

Pergunta: É fácil reconhecer a mediana de uma sequência quando esta possui uma quantidade ímpar de informações. Por exemplo, na sequência   1, 5, 8, 9, 12, 17, 20   já vimos que a mediana é 9. Mas e na sequência abaixo:  1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22   Qual será a mediana?

quantidade par de dados: a mediana = 9 + 12 = 10,5 2 Nestes casos, admitimos que a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. 1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22  quantidade par de dados: a mediana = 9 + 12 = 10,5 2

n = 7 => 7 + 1 = 4, ou seja, a mediana é o quarto termo 2 De um modo geral, a mediana é o termo: n + 1 2  1, 5, 8, 9, 12, 17, 20   n = 7 => 7 + 1 = 4, ou seja, a mediana é o quarto termo 2

  Se  a quantidade de dados for par a mediana será a  média aritmética dos dois valores centrais. n + n +1 2 2 2 Média aritmética dos termos n e n+1 2 2

1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22  8 + 8 +1 2 2 2 n = 8 => = 4 + 5 2 ou seja, a mediana é a média aritmética entre o 4º e 5º termo

Obs:  A mediana é utilizada sempre que há  valores extremos que afetam muito a média.  Exemplo: Abaixo estão os  salários dos funcionários de um escritório:  R$1.000,00,  R$1.000,00,  R$1.500,00,  R$2.000,00,  R$3.000,00  mediana:   média R$1.500,00 R$1.700,00

Considere a contratação de mais um funcionário com salário de R$10.000. R$1.000,00   R$1.000,00  R$1.500,00,  R$2.000,00  R$3.000,00   R$10.000,00  mediana: média:   R$1.750,00 R$3.083,33

1)  Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6  de seus alunos da 5ª série. Calcule a média, a mediana e a moda, e classifique a série conforme a moda.  Notas: 7,0   3,5   2,5   6,5   9,0   3,5  2)  Classifique as série de acordo com a característica modal, indicando os valores.  a) 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 19  b) 56, 58, 60, 60, 60, 62, 65

 Medidas Separatrizes Quartis  Assim como a mediana divide  os dados  coletados  em  dois  grupos com  a  mesma quantidade de elementos, os  quartis dividem o  conjunto de valores  em  quatro  subconjuntos de mesma quantidade de elementos.

Assim, temos três quartis:  1)  O primeiro quartil  (Q1) é o valor situado de modo  tal que um quarto  (25%) dos dados são menores que ele, e o restante (75%) é maior que ele.  2)O segundo quartil (Q2) é evidentemente igual a mediana. Q2 = Md.  3)  O terceiro quartil (Q3) é o valor situado de modo tal que três quartos (75%) dos dados são menores que ele, e o restante (25%) é maior que ele. 

Exemplo: Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 10, 9, 13, 15} Primeiramente, deve-se organizar os dados em ordem crescente. {5, 2, 6, 10, 9, 13, 15} O valor que divide a série acima em duas partes iguais é o 9. Md = 9 Que será o segundo quartil (Q2)

Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela mediana quartil 2). Para o cálculo do quartil 1 e 3, basta calcular as medianas de cada subconjunto formado. Logo em: {2, 5, 6}, a mediana é 5. => Q1 = 5 {10, 13, 15}, a mediana é 13. => Q3 = 13

Determine o terceiro quartil do conjunto B = {2,6,4,12,8,10,20,18,7} Encontre Q1 e Q3 dos conjuntos amostrais:   A= {6,9,7,7,4,3,2,9,9,10,18} B= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21,7} C= {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

Uma empresa emprega 450 trabalhadores Uma empresa emprega 450 trabalhadores. Sabendo-se que os salários correspondentes ao primeiro e terceiro quartil são, respectivamente, 300 e 800 reais, encontre o número de empregados que percebem salários entre esses valores.

Os dados a seguir representam as notas em Economia (numa escala de 0 a 40) de 20 ingressantes em um curso de pós-graduação em Finanças: 5, 10, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 28, 28, 28, 28, 30. (a) Calcule a média e a mediana desses valores.

Os dados a seguir correspondem ao tempo de execução de uma tarefa (em minutos) para uma amostra de 26 funcionários de uma certa seção: 13, 45, 23, 46,12, 42, 47, 47, 12, 51, 11, 11, 13, 13, 40, 13, 14, 11, 12, 18, 46, 39, 22, 16, 15 e 50. Determine a média, mediana e os quartis desse conjunto de dados e interprete os valores obtidos.