GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Dois Planos I © antónio de campos, 2010

GENERALIDADES Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos. x xz xy α i δ

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy fθ fθ ≡ i2 ≡ i2 fα α fα i θ x hα ≡ i1 hθ hα ≡ i1 hθ

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). Como ambos os planos são projectantes horizontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante horizontal, uma recta vertical, localizada na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. x xz xy i2 φ fα α fα i x (i1) hα (hφ) (hφ) hα

Um plano horizontal υ tem 2 cm de cota Um plano horizontal υ tem 2 cm de cota. Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? (fυ) ≡ i2 x (hφ) ≡ i1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta fronto-horizontal.

Um plano frontal φ tem 2 cm de afastamento Um plano frontal φ tem 2 cm de afastamento. Um plano de topo α faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? fα ≡ i2 x (hφ) ≡ i1 hα A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta frontal.

Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Um plano de topo θ faz um diedro de 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? fθ (fυ) (i2) x i1 hθ Como ambos os planos são projectantes frontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante frontal, uma recta de topo, localizada na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta de topo.

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy F2 fθ F fα fθ α i2 fα i H2 H1 θ x F1 H hα hθ hθ hα ≡ i1

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo δ (não projectante). Como a recta i pertence aos dois planos, o traço frontal da recta i situa-se na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A partir da projecção horizontal (F1) do traço frontal da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal, com a mesma orientação do traço horizontal (hδ) do plano δ. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal). x xz xy fδ fδ (fυ) ≡ i2 F δ (fυ) F2 F1 i υ x hδ hδ i1

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano de rampa ρ (não projectante). Como a projecção horizontal da recta i tem afastamento igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa. Para obter o traço frontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção frontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção frontal da recta i. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). x xz xy φ r2 F fρ F2 F1 fρ r i2 P2 P1 i H2 H1 x ρ P (hφ) (hφ) ≡ i1 r1 hρ hρ H

Um plano de topo α faz um diedro de 45º (a. d Um plano de topo α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal). fα ≡ i2 fρ F2 F1 H2 H1 Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal. x i1 hρ hα

Um plano horizontal υ tem 2cm de cota Um plano horizontal υ tem 2cm de cota. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal). r2 fρ F2 F1 Com a projecção frontal da recta i tem cota igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa. Para obter o traço horizontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção horizontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção horizontal da recta i. (fυ) ≡ i2 P2 P1 x H2 H1 i1 r1 hρ

Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Um plano oblíquo δ tem os seus traços coincidentes, e o seu traço horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). Como a recta i pertence aos dois planos, o traço horizontal da recta i situa-se na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. A partir da projecção frontal (H2) do traço horizontal da recta i, é possível obter a sua projecção frontal, com a mesma orientação do traço frontal (fδ) do plano δ. i2 fδ ≡ hδ x H2 H1 (hφ) ≡ i1

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos. Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. x xz xy fα F2 F1 fθ F fα fθ α i2 i θ H2 H1 x i1 H hα hθ hα hθ

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços horizontais paralelos entre si. Como os traços horizontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta horizontal, localizado pelo traço frontal comum aos dois planos. A projecção horizontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços horizontais dos planos. x xz xy i2 F2 F1 fδ fα F fα i δ α fδ x hδ hα hα hδ i1

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços frontais paralelos entre si. Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos. A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos. x xz xy i2 fδ fα fδ fα α δ H2 H1 x i1 hα H hα hδ hδ

Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo θ corta o eixo x num ponto B com -3 cm de abcissa, e os seus traços são paralelos aos traços contrários do plano α. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. y ≡ z fα fθ i2 F2 F1 A0 ≡ A1 ≡ A2 H2 H1 B0 ≡ B1 ≡ B2 x i1 hθ hα

Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 3 cm afastamento e tem o traço frontal com 2 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. y ≡ z fα i2 fρ F2 F1 A0 ≡ A1 ≡ A2 H2 H1 x hρ i1 hα

Um plano oblíquo φ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem os seus traços coincidentes, tendo o traço horizontal -4 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. fφ i1 fρ ≡ hρ H2 H1 F2 F1 x i2 hφ

Um plano oblíquo ψ intersecta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa Um plano oblíquo ψ intersecta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. O plano ψ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo ω intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano ω é perpendicular a hψ, e o seu traço frontal é paralelo a fψ. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? y ≡ z fψ Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos. A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos. i2 fω H1 H2 x i1 hψ hω

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas). Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i. x xz xy α r r2 s2 s (fυ) ≡ i2 R2 R1 S2 S1 (fυ) R i S υ x i1 r1 s1

Um plano vertical α corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um ângulo de 50º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Um plano oblíquo δ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto A (-3; 2; 3). A recta h é horizontal e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. M2 M1 f2 y ≡ z fα i2 h2 A2 A1 Como o plano α é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas h e f com o plano α, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção frontal da recta i. N2 N1 x f1 h1 hα ≡ i1

Um plano oblíquo α está definido por duas rectas paralelas, a e b Um plano oblíquo α está definido por duas rectas paralelas, a e b. A recta a contém os pontos R (2; 4; 3) e S (-3; 0; –2). A recta b contém o ponto T (-2; 2; 2). Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. b2 y ≡ z Como o plano φ é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas a e b com o plano φ, se obtem os pontos A e B, que permitem obter a projecção frontal da recta i. i2 a2 B2 B1 R2 R1 T2 T1 A2 A1 x S2 S1 (hφ) ≡ i1 a1 b1

Um plano oblíquo θ está definido pelos pontos A (3; 2; 2), B (0; 1; 5) e C (-2; 5; 1). Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Para obter a projecção horizontal da recta i, é necessário recorrer a duas rectas auxiliares do plano θ (utilizandoos pontos dados). Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção horizontal da recta i. y ≡ z B1 B2 r2 s2 (fυ) ≡ i2 M2 M1 N2 N1 A2 A1 C2 C1 x r1 i1 s1