GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Métodos Geométricos Auxiliares I Mudança de Diedros de Projecção © antónio de campos, 2010

GENERALIDADES Quando se utiliza o método da mudança do diedro de projecção é necessário designar os planos de projecção e as projecções novas dos pontos com uma nomenclatura específica. O plano xy (o Plano Horizontal de Projecção) passa a ser designado por plano 1, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A1, como normalmente o é. O plano xz (o Plano Frontal de Projecção) passa a ser designado por plano 2, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A2, como normalmente o é. O plano yz (o Plano Perfil de Projecção) passa a ser designado por plano 3, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A3, como normalmente o é. Os novos planos que vão substituir planos existentes passam a ser designados por plano 4, plano 5, etc.; com a projecção de um ponto A nesses planos a serem identificados como A4, A5, etc., respectivamente.

A relação entre um novo plano de projecção e um existente deve sempre ser de ortogonalidade entre os dois planos. x plano 2 plano 1 A2 plano 4 A4 B2 A α C2 C C4 B4 B x’ C1 A1 B1

O método da mudança do diedro de projecção desenvolve-se com as partes seguintes: 1 – Escolher o plano a ser substituído; 2 – Escolher a posição do novo plano de projecção a ser introduzido; 3 – Manter a projecção do objecto sobre o plano de projecção que se mantém, mantendo as restectivas coordenadas; 4 – Determinar a nova projecção do objecto sobre o novo plano de projecção a ser introduzido, com novas coordenadas.

TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA HORIZONTAL Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a transformação num segmento de recta horizontal. x plano 2 plano 1 B1 B2 B2 2 4 A1 A2 B A2 A B4 2 x 1 plano 4 B4 A4 x’ A4 V.G. A1 B1

TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA FRONTAL Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a transformação num segmento de recta frontal. x plano 2 plano 1 plano 4 B1 B2 B2 B4 A1 A2 V.G. A4 A4 B A2 x’ B4 2 A x 1 A1 B1 4 1

TRANSFORMAÇÃO DE UMA RECTA HORIZONTAL NUMA RECTA DE TOPO Pretende-se transformar a de recta horizontal h numa recta de topo. x plano 2 plano 1 4 1 plano 4 A2 h2 A1 A2 h2 A4 ≡ (h4) A h 2 1 x ≡ (h4) A4 h1 A1 h1 x’

É dado um segmento de recta oblíquo [AB], sendo A (1; 2; 4) e B (-3; 1; 2). Determina a V.G. do segmento de recta [AB], transformando-o num segmento de recta horizontal com 2 cm de cota. y ≡ z x’ A1 A2 B1 B2 A4 x 2 1 V.G. B4 2 4

É dado um segmento de recta oblíquo [AB], sendo A (1; 2; 4) e B (-3; 1; 2). Determina a V.G. do segmento de recta [AB], transformando-o num segmento de recta frontal com 3 cm de afastamento. y ≡ z A4 V.G. A1 A2 B4 4 1 B1 B2 x 2 1 x’

Transforma a recta f numa recta vertical. É dada uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (2; 3) e faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Transforma a recta f numa recta vertical. x’ f2 A1 A2 A4 x 2 1 ≡ (f4) f1 2 4

Transforma a recta h numa recta de topo. É dada uma recta horizontal h, com 3 cm de cota e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Transforma a recta h numa recta de topo. x’ h2 A1 A2 A4 ≡ (h4) x 2 1 4 1 h1

É dada uma recta oblíqua r, que passa pelo ponto R (2; 1). A projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 25º (a.d.) com o eixo x. A projecção frontal da recta r faz um ângulo de 35º (a.d.) com o eixo x. Desenha as projecções de um segmento de recta [RS], com 4 cm de comprimento, situado no 1.º diedro e contido na recta r. r2 P1 P2 S2 r4 P4 x’ S4 R1 R2 R4 x 2 1 S1 4 1 r1

TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO VERTICAL NUM PLANO FRONTAL Pretende-se determinar a V.G. de um triângulo contido num plano vertical α, via a transformação do plano α num plano frontal. x plano 2 plano 1 fα B1 B2 fα B2 plano 4 C2 B4 α C1 C2 x’ B4 B A2 A4 A4 C4 A1 A2 V.G. C A C4 2 1 x’ x A1 B1 C1 hα 4 1 hα

TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO DE TOPO NUM PLANO HORIZONTAL Pretende-se a transformação de um plano de topo γ num plano horizontal. fγ 2 4 x plano 2 plano 1 fγ plano 4 (h4γ) γ (h4γ) x’ 2 1 x x’ hγ hγ

Determina a V.G. do triângulo. É dado um triângulo [PQR], contido num plano de topo, sendo P (2; 3; 1), Q (-2; 4; 4) e R (1; 3). Determina a V.G. do triângulo. 2 4 y ≡ z fα Q1 Q2 R1 R2 R4 P1 P2 x 2 1 Q4 V.G. P4 x’ hα

O lado [AB] do polígono é vertical e o lado [BC] é horizontal. É dado um rectângulo [ABCD], contido num plano vertical γ. O plano γ faz um diedro de 60º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A diagonal [AC] está contida no β1,3, sendo que A tem 2 cm de cota e C tem 6 cm de afastamento. O lado [AB] do polígono é vertical e o lado [BC] é horizontal. Desenha as projecções do rectângulo e determina a sua V.G. fγ i2 C1 C2 B2 4 1 B4 D2 A1 A2 x 2 1 A4 V.G. ≡ B1 C4 D4 ≡ D1 x’ hγ ≡ i1

São dados dois pontos A (1; 4) e B (2; 0), pertencentes ao plano δ. É dado um plano vertical δ, que faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. São dados dois pontos A (1; 4) e B (2; 0), pertencentes ao plano δ. Os pontos A e B são vértices de um triângulo equilátero [ABC], contido no plano δ. Desenha as projecções do triângulo, construindo a figura em V.G., após transformar o plano δ num plano frontal com 2 cm de afastamento. fδ A1 A2 A4 C1 C2 x’ V.G. C4 x 2 1 B1 B2 B4 4 1 hδ

Transforma o plano θ num plano horizontal com 2,5 cm de cota. É dado um plano θ, definido por duas rectas, r e s, concorrentes no ponto P (1; 3). As projecções da recta r são paralelas entre si, e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. A recta s é passante, e a sua projecção frontal está coincidente com a projecção frontal de r. De que plano se trata? Transforma o plano θ num plano horizontal com 2,5 cm de cota. Trata-se de um plano de topo (um plano projectante frontal), pois as projecções frontais das duas rectas estão coincidentes. r2 ≡ s2 x’ F1 F2 P1 P2 F4 P4 x 2 1 R1 ≡ R2 R4 s1 s4 r4 r1 2 4