Microeconomia Função Utilidade Multiplicadores de Lagrange Cobb Douglas Saurater Faraday Adaptação do vídeo Multiplicadores de Lagrange. Disponível em < http://www.wikifinancas.samfaraday.com/inde x.php/Multiplicadores_de_Lagrange >. Acesso em 18/mai/13.

Função Utilidade Cobb Douglas u(x, y) = xy Problema: Maximizar a Função Utilidade sujeito a uma certa restrição de igualdade. Técnica: Multiplicadores de Lagrange Restrição: Encontrar as condições que satisfaçam a otimização.

Suponhamos que a Função Utilidade seja u(x, y) = xy Nosso problema é escolher x e y que maximizem xy Sujeito x + y ≤ 12 Max xy s.a. x + y ≤ 12 Em outras palavras: f(x,y) = xy g(x,y) = 12

O Método dos Multiplicadores de Lagrange 1. Reescreva a restrição de igualdade, igualando a zero. Em nosso exemplo x + y – 12 = 0 2. Criemos uma nova função L(x, y, λ) a qual depende das variáveis originais , bem como da nova variável λ (lambda). Lambda é, aqui, chamada de Multiplicador de Lagrange. A Nova função é a soma dos dois temos: O Primeiro termo é a função original a ser maximizada (ou minimizada em um problema de minimização), em nosso exemplo, xy. O Segundo termo é o produto da nova variável λ e restrição Ficando: L(x,y, λ) = xy+ λ(x + y -12)

Sistema de Equações com 3 Variáveis Derivadas Parciais e Sistemas de Equações 3. Fazemos, então, as Derivadas Parciais de L com relação a cada uma das três variáveis: Em Seguida igualamos a zero Daí, criamos um sistema de equações com 3 variáveis: x, y, e λ. Derivadas Parciais L(x,y, λ) = xy+ λ(x + y -12) 𝜕𝐿 𝜕𝑥 = y + λ = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑦 = x + λ = 0 𝜕𝐿 𝜕λ = x + y - 12 Sistema de Equações com 3 Variáveis y + λ = 0 (1) x + λ = 0 (2) x + y – 12 = 0 (3)

Resolvendo as Equações Derivadas Parciais e Sistemas de Equações Resolvendo as Equações Primeiro, levamos os temos contendo λ para o outro lado das equações respectivas. y= -λ (1’) x= -λ (2’) Agora, substituímos x e y na 3ª. Equação: x + y – 12 = 0  -λ + -λ – 12 = 0  -2 λ – 12 = 0  -2 λ = 12 λ = -6 Agora que conhecemos λ, basta substituir nas equações 1 e 2 y = -(-6)  y = 6 x = -(-6)  x = 6

Interpretando Meu , o valor de lambda significa  o ”preço sombra”  ou a variação do valor objetivo da solução óptima de um problema de otimização obtido através do relaxamento da restrição por uma unidade - é a utilidade marginal de relaxar a restrição ou, de forma equivalentemente, o custo marginal  de reforçar a restrição. Nas palavras do Prof. Paulo Matos, seria uma o resultado de uma pequena “porrada” no preço, o que aumentaria em 6 vezes.

Referências A Langrange Multiplier. Disponível em < http://www.youtube.com/watch?v=H4HN4ZrVm0w> Acesso em 18/mai/13. ALBOUY, David; Constrained Optimization, Shadow Prices, Inefficient Markets, and Government Projects. Disponível em http://emlab.berkeley.edu/users/webfac/saez/e131_s04/shado w.pdf Acesso em 18/mai/13. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995 Multiplicadores de Lagrange. Disponível em < http://www.wikifinancas.samfaraday.com/index.php/Multiplicad ores_de_Lagrange >. Acesso em 18/mai/13. Preço Sombra. Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Pre%C3%A7o_sombra >. Acesso em 18/mai/13. VARIAN, Hal R. Microeconomia: Princípios básicos. Uma abordagem moderna. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994.