TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS DE DIVERSAS CIVILIZAÇÕES Arequipa - Perú 02/04/2017 TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS DE DIVERSAS CIVILIZAÇÕES Egito Índia China Rússia Prática Pedagógica e Didática da Matemática – prof. Ilydio P. de Sá Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 02/04/2017 INTRODUÇÃO Nessa apresentação iremos mostrar algumas curiosas técnicas para a multiplicação de dois números naturais, colhidas ao longo da história da matemática. Essas técnicas poderão ser muito interessantes para uso em classe, como alternativas aos algoritmos tradicionais para alunos que tenham alguma dificuldade ou mesmo como motivação ou curiosidade para uma aula de matemática. Algumas vezes essas técnicas aparecem em livros ou na internet. O que não tem sido comum é o estudo detalhado da matemática envolvida nesses métodos, justificando a que foi feito. Nesse nosso estudo, procuraremos justificar cada um dos métodos apresentados. Mg Jaime Bravo Febres

1) Multiplicação no Egito Uma das fontes históricos mais antigos da matemática, o papiro de Rhind (ou Ahmés), datado de cerca de 1650 a.C, descreve, entre outras coisas, os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, assim como muitas aplicações da matemática a problemas práticos. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Os egípcios usavam uma técnica bem simples baseada na duplicação de números naturais (achar o dobro). O método funcionava da seguinte forma: Escrevemos duas colunas de números sendo que a primeira começa por 1 e a segunda por um dos fatores da multiplicação desejada. Vamos duplicando os números dessas duas colunas, até que a soma dos números da coluna começada pelo 1 dê um resultado maior ou igual ao outro fator. Escolhemos, na coluna começada pelo 1, os valores que somados dêem resultado igual ao outro fator. Somamos os números da outra coluna, correspondentes aos valores que foram escolhidos na etapa anterior. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Vejamos dois exemplos: 1) 21 x 43 Primeiro vamos começar as duas colunas. A primeira com o número 1 e a segunda com um dos fatores. Vamos escolher o menor (21). 1 21 Agora vamos dobrar os valores dessas duas colunas, até que a soma dos valores da primeira coluna seja igual ou maior a 43. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) 1 21 2 42 4 84 8 168 16 336 32 672 Agora vamos escolher, na primeira coluna, os valores que somados dão exatamente 43, que é o outro fator dessa multiplicação. 32 + 8 + 2 + 1 = 43 Finalmente, basta somarmos os números da outra coluna, correspondentes aos que foram destacados anteriormente. 21 42 168 672 Logo, 21 x 43 = 21 x 43 = 903 + 903 Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) 1) 12 x 51 Primeiro vamos começar as duas colunas. A primeira com o número 1 e a segunda com o fator 12. 1 12 Agora vamos dobrar os valores dessas duas colunas, até que a soma dos valores da primeira coluna seja igual ou maior a 51. 1 12 2 24 4 48 8 96 16 192 32 384 Agora vamos escolher, na primeira coluna, os valores que somados dão exatamente 51. 32 + 16 + 2 + 1 = 51 Somarmos os números da outra coluna, correspondentes aos que foram destacados anteriormente. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) 12 24 192 384 Logo, 12 x 51 = 12 x 51 = 612 + 612 A justificativa desse método é muito simples e está baseada em duas propriedades: Na decomposição de um número natural em uma soma de potências de base dois (propriedade do sistema binário) e na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. No exemplo anterior, 12 x 51, o que fizemos foi descobrir quais as potências de 2 que somadas geravam o número 51. No caso, obtivemos os números 32, 16, 2 e 1. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) No passo seguinte, o que fizemos foi substituir o número 51 por essa soma de potências de 2, ou seja, a multiplicação foi transformada em: 12 x 51 = 12 x (32 + 16 + 2 + 1) Aplicando agora a propriedade distributiva da multiplicação, em relação à adição, teremos: 12 x 51 = 12 x 32 + 12 x 16 + 12 x 2 + 12 x 1 = 384 + 192 + 24 + 12, que são exatamente os números selecionados na segunda coluna do método. Assim, dessa forma bastante criativa e interessante, os antigos Egípcios transformavam uma multiplicação de números naturais em cálculo de dobros (que é simples mentalmente) e em adições. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

2) A multiplicação na Índia Historicamente se considera indiscutível a procedência hindu para o sistema de numeração decimal e alguns algoritmos para operações.

Genericamente, em contraste com o severo racionalismo grego, a matemática hindu era considerada intuitiva e prática. Os matemáticos hindus eram interessados em questões numéricas relacionadas a equações determinadas e indeterminadas. Os matemáticos hindus desenvolveram um método de multiplicação através de tábuas quadriculadas. Mais tarde os árabes o levaram para a Europa e ficou conhecido como Método da Gelosia.

Exemplo 1: Multiplicar 6 538 por 547 Inicialmente eles construíam uma tabela com 4 colunas e 3 linhas, por conta da quantidade de algarismos dos números envolvidos na operação. Vejamos como ficava essa tabela.

6 538 x 547 6 5 3 8 5 4 7

Traçamos as diagonais desses quadradinhos, como mostramos abaixo: 6 5 3 8 5 4 7

Dentro de cada quadradinho colocamos os resultados das multiplicações dos algarismos correspondentes da coluna e da linha. Se o resultado for de apenas um dígito deve ser escrito precedido de zero. 5 4 7 6 3 8 3 5 2 5 1 4 4 2 2 2 1 2 3 2 4 5 3 1 2 6 5

Em seguida somamos os algarismos que estão nas mesmas diagonais Em seguida somamos os algarismos que estão nas mesmas diagonais. Usamos a mesma técnica do “vai um “ que usamos no algoritmo tradicional. Vejamos: 5 4 7 6 3 8 2 1 1 1 1 3 5 7 6 2 8 6

Mas por que será que funciona? Podemos então concluir que o resultado da multiplicação proposta é: 6 538 x 547 = 3 576 286 Mas por que será que funciona?

Antes de tentarmos justificar o método, vamos fazer um outro exemplo: Multiplicar 537 por 24 Vamos construir a tabela correspondente (Método da Gelosia).

5 3 7 2 4

5 3 7 1 1 2 4 6 2 2 1 4 2 8

5 3 7 1 1 1 2 4 6 2 2 1 2 4 2 8 8 8 8

5 3 7 1 1 1 2 4 6 2 2 1 2 4 2 8 8 8 8 Logo, 537 x 24 = 12 888

Para justificarmos o método, devemos lembrar que, na multiplicação 537 x 24, temos na realidade (500 + 30 + 7) x (20 + 4). Se aplicarmos a propriedade distributiva, teremos: 500 x 20 = 10 0 0 0 30 x 20 = 6 0 0 7 x 20 = 1 4 0 500 x 4 = 2 0 0 0 30 x 4 = 1 2 0 7 x 4 = 2 8 1 2 8 8 8 Verifique que as somas que obtivemos em cada coluna são exatamente iguais às somas das diagonais do método da Gelosia. Isso nos mostra que os antigos hindus já conheciam o valor posicional dos algarismos no sistema de numeração decimal.

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) 3) Multiplicação Chinesa Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Os chineses usavam um método prático com varetas de bambu Os chineses usavam um método prático com varetas de bambu. De uma certa forma é uma variante do método da Gelosia dos Hindus. As varetas ficavam dispostas na horizontal e na vertical, representando o multiplicador e o multiplicando. Os pontos de interseção das varetas são contados e representam as multiplicações que achamos na Gelosia. Exemplo: Multiplicar 342 por 25

3 4 2 2 5

3 4 2 2 6 5 23 24 10

3 4 2 2 6 5 23 24 10 8 8 550 5 5

Logo: 342 x 25 = 8 550

Vejamos um outro exemplo: 42 x 24 = 1008 2 4 8 20 8 10 8

4) O Método dos Camponeses Russos Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Certa vez, li num artigo da Internet, que um professor havia encontrado um aluno que só sabia multiplicar e dividir por 2 e que, mesmo assim, conseguia resolver (e até com certa rapidez) todas as multiplicações envolvendo dois números naturais, até mesmo com números bem grandes. No artigo mostrava que ele procedia da seguinte maneira. Por exemplo, se ele queria multiplicar 85 por 42, ele fazia da seguinte maneira: Montava uma tabela, com duas colunas, iniciando uma delas pelo 85 e a outra pelo 42. Enquanto ia dividindo os números da coluna da esquerda por dois, abandonando os “quebrados”, se fosse o caso, ia multiplicando os números da coluna da direita por 2. Em seguida, abandonava todas as linhas da tabela, cujos números da esquerda eram PARES. Finalmente, somava todos os números da segunda coluna que haviam sobrado. Era o resultado da multiplicação. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Veja como ele fazia: 85 42 84 21 168 10 336 5 672 2 1344 1 2688 85 42 21 168 5 672 1 2688 “ABANDONA” Então, para obter o resultado de 85 x 42 ele agora somava 42 + 168 + 672 + 2688 = 3570 (verifique !). Faça outros exemplos e veja que SEMPRE vai dar certo. Verifiquei, através de pesquisas, que o processo usado por esse aluno, tratava-se de uma técnica usada pelos antigos camponeses Russos. Um método muito eficiente e que facilita bastante o cálculo mental, já que só lida com dobros, metades e somas. Mas qual será a justificativa desse método??? Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Vamos supor que você tenha 8 notas de 5 reais... É fácil perceber que teríamos a mesma quantia com metade das notas, mas do dobro do valor, ou seja: 8 x 5 reais ou 4 x 10 reais Ou ainda 2 notas de 20 reais. Portanto... 8 x 5 4 x 10 2 x 20 : 2 x 2 : 2 x 2 Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Então, se desejarmos multiplicar 32 x 17, poderemos imaginar que são 32 grupos de 17 objetos cada um. GRUPOS OBJETOS 32 17 16 34 8 68 4 136 2 272 1 544 Então 32 x 17 = 544 Nesse caso foi bem fácil, pois 32 é uma potência de 2 e, dessa forma, será sempre possível as sucessivas divisões por 2. Vejamos então um caso em que isso não acontece... Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Vejamos então o produto de 42 por 17. Vamos imaginar 42 grupos, de 17 objetos cada um. GRUPOS OBJETOS 42 17 Como 21 não é divisível por 2, vamos considerar 20 grupos de 34 objetos e guardar 1 grupo de 34 objetos 21 34 10 68 5 136 Novamente, como 5 não é divisível por 2, consideramos 4 grupos de 136 objetos e guardamos 1 grupo de 136 objetos. 2 272 1 544 Logo, o resultado de 42 x 17 será igual a 544 mais os dois grupos que havíamos guardado antes, ou seja, 544 + 34 + 136, o que é igual a 714. (confira!) Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Vamos fazer mais um exemplo e resumir a regra da multiplicação russa. Vamos multiplicar 71 por 43. 1) Vamos dividindo por dois os números da esquerda. Quando a divisão não for exata, consideramos apenas a parte inteira. Pararemos sempre no número 1. 71 43 35 86 17 172 2) Ao mesmo tempo, vamos multiplicando por 2 os números da direita. 8 344 4 688 3) Somamos todos os números da direita, que tenham à esquerda um número ímpar. Vamos completar agora o exemplo, seguindo a regra. 2 1376 1 2752 Logo, 71 x 43 = 43 + 86 + 172 + 2752 = 3053 Os livros de História da Matemática contam que tal método já era usado no antigo Egito. Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Métodos como esse, da multiplicação feita pelos camponeses Russos, assim como as demais técnicas que mostramos, é que mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação Matemática – a Etnomatemática. A Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento matemático existente em distintos grupos sociais e etnias, tem como um de seus maiores estudiosos o emérito professor brasileiro Dr. Ubiratan D’Ambrósio Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)

Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS) Temas interessantes para a sala de aula, com todas as justificativas matemáticas, você vai encontrar no nosso livro: “ A Magia da Matemática”, da Editora Ciência Moderna. VENDAS: www.lcm.com.br www.submarino.com.br www.saraiva.com.br Nas boas livrarias Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)