Sistemas Não-lineares Prof. Daniel J. Pagano daniel@das.ufsc.br Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Departamento de Automação e Sistemas- DAS 2006

Objetivos do curso Introduzir os conceitos básicos dos sistemas não lineares. Apresentar as principais técnicas de análise e projeto de controladores para sistemas não lineares. Colocar ao aluno frente à problemática de controle considerando as não linearidades presentes nas aplicações práticas. Introduzir os princípios básicos relacionados com o controle Não Linear de processos assim como as principais ferramentas de análise e projeto.

Programação do curso Análise de Sistemas Não-lineares Sistemas dinâmicos não-lineares. Modelagem matemática e principais não linearidades em sistemas de controle (saturação, zona morta, histerese, etc). Representação por variáveis de estado. Espaço de estados (plano de fase). Análise qualitativa de sistemas dinâmicos. Atratores: equilíbrios, ciclos limites e comportamento aperiódico. Teorema da linearização. Noção de Bifurcações. Sistemas lineares com restrições na ação de controle. Anti-windup. Métodos aproximados de análise: método da função descritiva.

Programação do curso (cont.) Controle de Sistemas Não-lineares Métodos de síntese de controladores de sistemas não lineares: linearização por realimentação, estrutura variável (modos deslizantes). Aplicações em eletrônica de potência. Exemplos.

Avaliação lista de exercícios trabalho Prova

Bibliografia [1] L.H.A Monteiro. Sistemas Dinâmicos Não lineares. Ed. Livraria da Física. 2da Edição. 2006. * [2] Nonlinear Systems, Khalil, Prentice-Hall, 3rd edition. 2002.** [3] Castrucci, P. e R. Curti. Sistemas Não Lineares. Vol. 2. Editora Edgard Blucher, 1981. [4] Slotine, J.J. and W. Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, 1991. [5] Ogata, K. “Engenharia de Controle Moderno”, Capítulo 8, 2nd Edition, Prentice-Hall, 1995. *, ** livros recomendados.

Revisão Sistemas Lineares Definição: um sistema é linear se S u(t) y(t)=S(u) Principio de superposição Representação por equações diferenciais ordinárias (EDO) Ex. equação de 2da ordem

Revisão Sistemas Lineares Representação por Função de Transferência(FT) Trans. de Laplace Representação por Variáveis de estado Definindo

Revisão Sistemas Lineares Representação por Variáveis de estado onde Forma geral:

Revisão Sistemas Lineares Diagrama de Espaço de Estados

Revisão Sistemas Lineares Conceito de Pólos / Autovalores Pólos = raízes da equação característica Polinômio Denominador de G(s) zeros = raízes do Polinômio numerador de G(s) ESTABILIDADE Pólos de G(s) jω Plano complexo S σ Estabilidade

Revisão Sistemas Lineares Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A a-valores de A definem a estabilidade do sistema Determinação dos a-valores de A Exemplo: onde

Revisão Sistemas Lineares a-valores de A σ jω Estabilidade Implica que Sistema instável Sistema estável Caso especial a ser estudado

Revisão Sistemas Lineares Noção de Equilíbrio Derivadas iguais a zero 1 único equilíbrio global estável ou instável Não Existe outro comportamento dinâmico Sistemas Lineares

Revisão Sistemas Lineares Seja o sistema onde A matriz de dimensão nxn 1 único equilíbrio Estabilidade do equilíbrio Solução da equação Exemplo: caso unidimensional

Revisão Sistemas Lineares Exemplo: caso bidimensional (plano) A de dimensão 2x2 1 único equilíbrio Solução da equação Estabilidade do equilíbrio Se então é Estável

Revisão Sistemas Lineares a-valores complexos conjugados Foco instável Foco estável a-valores reais - mesmo sinal Nó estável Nó instável

Revisão Sistemas Lineares a-valores reais - sinais opostos a-valores imaginários puros Ponto de sela (instável) Observação: Sistemas lineares não podem apresentar oscilações isoladas, comportamentos periódicos assinto-ticamente estáveis Centro

1. Sistemas Não-Lineares Sistema não linear Condição inicial Sistema Autônomo f(x) não depende de t explicitamente Exemplo: Solução: x(t) que satisfaz à Equação diferencial e à condição inicial x0 Ideal: obter expressões analíticas da solução - informação quantitativa Realidade: na maioria dos casos não é possível conformarmos com obter uma informação qualitativa

1. Sistemas Não-Lineares 1 único Equilíbrio (estável ou instável) Sistemas Lineares Sistemas Não Lineares - Múltiplos Equilíbrios - Oscilações periódicas (ciclos limites) - Atratores estranhos (“caóticos”)

1. Sistemas Não-Lineares Pendulo simples L Diagrama de Espaço de Estados θ equilíbrios

1. Sistemas Não-Lineares Oscilador de Van der Pol Equilíbrio (foco instável) Ciclo limite Estável

1. Sistemas Não-Lineares Atrator de Rossler

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Exemplo: Equação logística 1) Equilíbrios 2) Estabilidade dos equilíbrios (classificação) Para X(t) 1 t

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Linearização: se df(x)/dx ≠0 então as soluções do sistema não linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se como as do sistema Linear Desenvolvimento serie de Taylor Desprezar termos de ordem superior Aproximação linear Aproximação linear válida

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Exemplo Para Solução Como x t Equilíbrio t0=1/x0 Não podemos estudar o equilíbrio a partir do sistema linearizado

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Exemplo Equilíbrios Matriz da linearização (Jacobiano) Não posso concluir nada Nó assintoticamente estável Ponto de sela (instável)

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Caso Geral Sistema linearizado Jacobiano

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Tarefa 1: determinar os equilíbrios dos seguintes sistemas e classificá-los segundo a sua estabilidade 1. Sistema Pendulo simples 2. Sistema Oscilador 3. Sistema (pag. 267 do livro do Monteiro) com

3. Método da Função Descritiva Necessidade de ter um método prático embora aproximado para a detecção de ciclos limites Principais funções (estáticas) não lineares na engenharia Saturação Relê Quantizador Histerese Zona morta

3. Método da Função Descritiva Φ u(t) y(t)=Φ(u) Serie de Fourier Coeficientes de Fourier

Se consideramos somente a aproximação de 1ra ordem (componente fundamental) da serie de Fourier k=1 Se Φ(u) é uma função impar  Φ(-u) = -Φ(u) Ak=0 Ou na aprox. de 1ra ordem Em geral C0=0

Ganho Não Linear equivalente Qual é a relação entre os sinais u(t) e y(t) ? A relação de amplitudes dos sinais de entrada e de saída é denominada de função descritiva de Φ(u) Ganho Não Linear equivalente

Exemplo 1: Determinar a função descritiva da não linearidade liga-desliga (relê) y a N(a)

Exemplo 2: Determinar a função descritiva da Saturação y M/h a N(a) h

Detecção de ciclos limites y(t) r(t) e(t) ua(t) + P(s) N(a) Φ u(t) C(s)

Detecção de ciclos limites A interseção entre -1/N(a) ωoo G(0) ω=0 -1 permite obter G(jω) de um possível ciclo limite Condição

Exemplos Umax=1 Umin= -1 Exemplo 1: Sistema com saturação

Exemplo 2: Sistema com saturação Umax=0.4 Umin= -0.4

Exemplo 3: Sistema com saturação Umax=1 Umin= -1

Exemplo 2: Sistema com saturação

Exemplo 4: Sistema com saturação Umax=0.1 Umin= -0.1

Exemplo 4: Sistema com saturação

Exemplo 4: Sistema com Filtro

Exemplo 5: Sistema com servo válvula u(t) X3 (X3) 2 e(t) + y(t) r(t) 1/s Φ G(s) C(s) X3 (X3) 2 Característica válvula

Equilíbrios

Espaço de estados Ciclo limite estável Ramo equilíbrios estáveis Ramo equilíbrios instáveis Colapso do Ciclo limite estável com o equilíbrio instável

4. Método de Lyapunov

Métodos de síntese de controladores de sistemas não lineares: 5. Controle de Sistemas Não Lineares Métodos de síntese de controladores de sistemas não lineares: - linearização por realimentação - estrutura variável (modos deslizantes)

8. Aplicações em eletrônica de potência Circuitos de Eletrônica de potencia são sistemas não lineares Interruptores (Mosfet, IGBT, tiristores, etc.) Diodos Topologia do circuito Cargas Devem ser modelados por equações de estado Controle não linear + apropriado

Fluxograma de modelagem e projeto

Modelagem do conversor Boost

Definindo Modelo por variáveis de estado Boost Modelo Instantâneo Boost com

Equilíbrios 150 100 50 2 4 6 8 10 X2 X1 E = cte  para R=200 E = cte B A  para R=200  para R=40 X2A=X2B X1B X1A

A curva de equilíbrios do sistema (Boost) depende de R, E Todos os possíveis pontos de equilíbrio estão sobre essa curva Dinâmica para q=0 e q=1

MODELO PELA MÉDIA (“AVERAGED”) DO BOOST Razão cíclica média onde q(t) é periódica de período T Valor médio da tensão de saída Valor médio da corrente no indutor

Modelo por valores médios Sob certas condições: V0(t) e iL(t) (valores instantâneos) não se desviem significativamente dos valores médio no intervalo [ t - T, T ]

Modelo por valores médios

Equilíbrios para o Modelo por valores médios Razão cíclica média Observação 0 < d(t) < 1 Limitação (restrição) sobre a ação de controle

Controle do Boost Diretrizes para o projeto de controladores em Eletrônica de Potência Funcionamento do dispositivo Considerações sobre o modo de condução Considerações sobre ruído audível Condições de operação Flutuações nas fontes de alimentação Perturbações de carga Especificações de desempenho Regime permanente / Regime transitório / Robustez Limitações sobre as variáveis de controle Saturação / Limitação de taxa / Natureza das variáveis

b) Características intrínsecas que influenciam o controle Controle do Boost b) Características intrínsecas que influenciam o controle Natureza discreta das variáveis de controle q 1 Saturação do controle

Variação de R Variação de E Controle do Boost c) O problema da rejeição de perturbação Variação de R Variação de E Objetivos de controle: Manter tensão regulada – ação integral Reduzir comportamento transitório

Controle do boost

Controle do Boost

Controle do Boost

Controle do Boost