Lógica Proposicional Tableaux semânticos

Características do Método de Tableaux Semântico Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

Características do Método de Tableaux(cont.) Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

R1=H^G R2=HvG R3=HG H G H G H G R4=HG R5=H R6=(H^G) H^G H^G H G R7=(HvG) R8=(HG) R9=(HG) H H G G H^G H^G

Tipos de regras - tipo α Regras do tipo α não bifurcam H^G, ¬(H v G), ¬(HG) Se α=H^G, α1=H e α2=G então α . α1 α2

Tipos de regras - tipo β Regras do tipo β bifurcam HvG, ¬(H ^ G), HG, HG, ¬(HG) Se β=HvG, β1=H e β2=G então β Β1 β2

Construção de um Tableaux Tableaux semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} 1. AvB 2.A^ B 3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.

Construção do mesmo Tableaux mais curto Tableaux semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} 1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2. 5. A B R2, 1.

Heurística para aplicação de regras para tableaux Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

Construção de um Tableaux Semântico – Definição (recursiva) Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An} A seguinte árvore, com um ramo, é um tableaux associado a {A1,A2,...,An} 1. A1 2. A2, ... n. An Se Tree é um tableaux associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é

Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico {(AB)(AvB), (CA)} Tree1: 1. AB 2. (AvB) 3. (CA)

Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(AB)(AvB), (CA)} Tree2 (=R7 aplicada a Tree1): 1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.

Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(AB),(AvB), (CA)} Tree3 (=R3 aplicada a Tree2): 1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2. 6. A B R3, 1.

Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(AB),(AvB), (CA)} Tree4 R8 aplicada a Tree3 O ramo da esquerda contém B e B Como essa informação pode ser útil? 1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2. 6. A B R3, 1 7. C C R8, 3. 8. A A R8, 3.

Ramo aberto e fechado Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

Prova e Teorema em Tableaux Semânticos Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos Como provar H=((PQ)^¬(PQ)^(P))?? Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^¬(PQ)^(P)))

1. (((PQ)^¬(PQ)^(P))) 2. (PQ)^¬(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. ¬(PQ) R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5. 7. P Q R3, 3. fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. 9. P P R1, 8. 10. Q Q R1, 8. fechado fechado

1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P 4. P^Q P^Q 5. P P 6. Q Q aberto fechado

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

Solução Provar H H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT)) P Mostrando que H é absurdo  H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT)) H gera um tableau fechado?

Conjunto insatisfatível Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível? Por exemplo: b={AvB, (BvC), CD, (AvD)}

Conjunto insatisfatível (cont.) b é insatisfatível sse não existe I tal que I[AvB]=I[(BvC)]=I[CD]=I[(AvD)]=T I,I[(AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)]=F I,I[((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD))]=T Portanto para provar que b é insatisfatível Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia

Conjunto insatisfatível (cont.) b ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é insatisfatível? Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia Em tableaux semânticos Gerar um tableau fechado para (((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))

Tableaux Completamente Abertos E se eu construir um tableau direto a partir de H (e não de H)? Ex: H=(AvA)^(AB) Construir os tableaux de H e de H O que um tableau completamente aberto nos diz??

Tableaux Completamente Abertos (cont.) Nada!! Ex: G=(AvA)^(BB) Construir os tableaux de G e de G Conclusões?

Conclusões Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia D Tableau associado a H é fechado H é contraditória (insatisfatível) DH é tautologia D Tableau associado a H é fechado H é refutável D Tableau associado a H é aberto (não necessariamente aberto completamente)

Exercício Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.