Modelos Econômicos de Leontief Álgebra Linear Modelos Econômicos de Leontief

Sistemas Econômicos Serão discutidos modelos simples baseados nas idéias do economista Wassily Leontief, prêmio nobel de economia em 1973. Nós examinamos dois modelos diferentes , porém relacionados: O modelo Fechado, ou Input-Output O modelo Aberto, ou de Produção Serão usadas teoria de matrizes para os cálculos adicionais.

O modelo Fechado Prevê o efeito de mudanças de um setor da economia em relação aos outros Um sistema é denominado fechado quando ele satisfaz todas suas demandas, ou seja, nenhuma produção entra ou sai do sistema Na matriz utilizada pelo modelo, cada linha descreve a proporção da produção que aquele setor da economia consome e cada coluna representa o quanto de sua produção é direcionado a cada um dos outros setores Este modelo propõe uma maneira de encontrar quais devem ser os fluxos totais de entrada em cada setor para que o sistema fique em equilíbrio. Assuma que o sistema econômico é constituído de n setores independentes, cada setor consome bens produzidos pelos outros setores e por si próprio(Ex.: o setor de produção de energia consome energia para se manter ativo). (i) pi é o nível de produção do setor si. P é a matriz coluna contendo p1..pn esta matriz é chamada de vetor de produção. (ii)A é a matriz de input-ouput (iii) AP = P é o sistema que garante que a economia esteja equilibrada

Exemplos Um exemplo que demonstra o uso desse modelo para três setores da economia: Agricultura, Manufatura e Serviços. Seja a Matriz A= e P = Sendo p1,p2 e p3 o fluxo de capital recebido por cada setor através de vendas e A a matriz input-output. Qual devem ser os valores de p1,p2 e p3 para que o sistema esteja em equilíbrio, ou seja, que os gastos sejam iguais à receita. Consumo  A M S Produção A M S

Interpretando o sistema Como o sistema é fechado, a soma das colunas deve ser 1 (tudo que é produzido deve ser consumido internamente) Solução: AP = P AP-P = 0 (A-I)P = 0 A solução é [ p1; p2; p3 ] = [ 1; 3/4; 1]*s. Ela é dada em função de um parâmetro s. Por exemplo: se p1 produzir $1000, p2 deve produzir $750 e p3 $1000 para manter o sistema em equilíbrio.

O modelo aberto O modelo fechado descreve o caso em que nenhum capital deixa o sistema, porém, muitas vezes um sistema econômico tem que satisfazer uma demanda externa, por isso recorremos ao modelo aberto Neste caso, seja bi a demanda de um i-ésimo setor externo, o sistema anterior pode ser escrito como: P = AP + B onde A e P são as mesmas matrizes do sistema fechado e B é a matriz contendo b1, b2 , ... , bn Se o sistema não tiver solução ele é dito improdutivo

Exemplo Considere três setores abertos em uma empresa: Fundição, Ferramentaria e Montagem. Cada um dos setores consome um determinado valor em manutenção, equipamento e matéria prima, providos por outras empresas, sendo esses valores respectivamente 8000, 2000 e 850 reais. A matriz de input-output é: [ 1/10 0 1/3; 6/10 2/10 3/4; 0 7/10 0] Qual deve ser o vetor de produção da empresa?

Análise da soloção Como o sistema não é fechado, a soma das colunas pode ser diferente de 1. Se ela é menor que 1, o setor é dito lucrativo (produz mais que consome). P=AP+B P-AP = B (I-A)P = B P = inv(I-A)B Resolvendo leva ao seguinte vetor produção: [ 67969/8; 309407/11; 308093/15 ] = [R$8496; R$28128; R$20540]