Fluxo Máximo e Empalhemento Algoritmos 2 – IF775 Diêgo João Costa Santiago Hallan Cosmo dos Santos {djcs, hcs}@cin.ufpe.br

O Problema Fluxo Máximo O que é o problema de encontrar fluxo máximo? Uma empresa possui uma fábrica localizada na cidade X onde são fabricados produtos que necessitam ser transportados para o centro de distribuição na cidade Y. Dados as estradas direcionadas que ligam os pares de cidades do país, bem como o número máximo de caminhões que pode se conduzir ao longo de cada estrada. Qual é o número máximo de caminhões que a empresa pode enviar para o centro de distribuição?

O Problema Fluxo Máximo De acordo com a Teoria dos Grafos: Dado uma rede – um grafo direcionado, em que cada aresta tem uma capacidade c associada a ele, um vértice de partida (source) e um vértice de chegada (sink). Devemos associar um valor não-negativo f , com f <= c para cada aresta, onde para cada vértice, exceto o source e o sink, a soma dos valores associados às arestas que entram deve ser igual a soma dos valores associados às arestas que o deixam. Nós chamaremos f de o fluxo ao longo da aresta. Devemos maximizar a soma dos valores associados às arestas que deixam o source, o fluxo total da rede.

O Problema Fluxo Máximo A Imagem abaixo mostra uma solução ótima para uma instância deste problema. Cada aresta apresentada com f/c .

Como resolver o problema Precisamos de duas definições básicas para entender como resolver fluxo em redes: A rede residual Tem o mesmo número vértices da rede original e uma ou duas arestas para cada aresta na rede original. Se o fluxo ao longo da aresta a-b é menor do que a capacidade, existe uma aresta a-b com uma capacidade igual à diferença entre a capacidade e o fluxo (capacidade residual), e se o fluxo é positivo há uma aresta b-a com a capacidade igual ao fluxo de a-b. O caminho de aumento

Como resolver o problema

Como resolver o problema

Como resolver o problema

Como resolver o problema

Problema Resolvido! O exemplo sugeriu o seguinte algoritmo: Inicie com nenhum fluxo em todas as arestas e aumente o fluxo total na rede enquanto há um aumento caminho desde o source até o sink - um caminho de aumento na rede residual. O algoritmo (conhecido como o método Ford-Fulkerson) sempre termina: devido às capacidades e fluxos inteiros não-negativos, a cada passo obtemos um novo fluxo que está mais próximo do máximo.

Problema Resolvido! A função max_flow será similar a esta, independente do método que utilizamos para encontrar caminhos de aumento:

Algoritmos para Caminho de Aumento O algoritmo Ford-Fulkerson descrito obtém o resultado correto, não importa como resolvermos o sub-problema de encontrar um caminho de aumento. No entanto, a cada novo caminho podemos aumentar o fluxo total muito pouco, daí o número de iterações do algoritmo pode ser muito grande se nos descuidarmos ao escolher qual caminho de aumento o algoritmo deve usar.

Algoritmos para Caminho de Aumento Agora é necessário uma implementação para a função find_path. A primeira abordagem que me vem à mente é a de usar uma busca em profundidade, pois ela é provavelmente a mais fácil de implementar. Infelizmente, seu desempenho é muito ruim em algumas redes, e normalmente é menos preferida em relação à que vamos mostrar a seguir.

Algoritmos para Caminho de Aumento A próxima idéia na simplicidade é uma usar uma busca em largura. Sabemos que esta pesquisa normalmente retorna o caminho mais curto em um grafo não-ponderado. Essa era a base da idéia de Edmonds-Karp. No psedo-código a seguir, nós iremos basicamente: Encontrar o menor caminho do source ao sink e determinar a capacidade da aresta de menor capacidade desse caminho. Então, para cada aresta, ao longo do caminho, reduzimos a capacidade dela e aumentarmos a capacidade da aresta oposta.

Algoritmos para Caminho de Aumento

Algoritmos para Caminho de Aumento

Algoritmos para Caminho de Aumento Como podemos ver, isto é muito fácil de implementar. Devido ao O(E) da execução da Busca em Largura (implementada com listas de adjacência), o pior caso do algoritmo é O (V*E²), mas, geralmente, o algoritmo roda num tempo muito melhor.

Problemas Relacionados Como reconhecer problemas de fluxo máximo? Muitas vezes eles são difíceis de detectar. Geralmente, precisamos prestar muita atenção nas restrições quando achamos que temos uma solução baseada em fluxo máximo - que deve, pelo menos, sugerir uma solução O(N³). Se o número de vértices é grande, um outro algoritmo (como a programação dinâmica ou o guloso), pode ser mais adequado.

Problemas Relacionados A descrição do problema poder sugerir múltiplos sources e/ou múltiplos sinks.

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Problemas Relacionados E se também fosse dado o número máximo de caminhões que podem passar através de cada uma das cidades do país (exceto as cidades onde a fábrica e o centro de distribuição estão localizados)? Em outras palavras, se tivermos de lidar com a capacidade dos vértices também.

Problemas Relacionados E se também fosse dado o número máximo de caminhões que podem passar através de cada uma das cidades do país (exceto as cidades onde a fábrica e o centro de distribuição estão localizados)? Em outras palavras, se tivermos de lidar com a capacidade dos vértices também.

Problemas Relacionados E se, além das capacidades nas cidades, as estradas se tornarem não-direcionadas?

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Emparelhamento Máximo em Grafos Bipartidos Esta é uma das mais importantes aplicações de fluxo máximo, e muitos problemas podem ser reduzidos a ela. O emparelhamento em um grafo bipartido é um conjunto de arestas tal que nenhum vértice é tocado por mais de uma aresta. Obviamente, um emparelhamento com máxima cardinalidade é um emparelhamento máximo. Para um grafo geral, este é um problema bem mais difícil de resolver.

Emparelhamento Máximo em Grafos Bipartidos A redução para fluxo máximo é bem simples, vamos a um exemplo: Seja o grafo bipartido: o primeiro conjunto de vértices de empregados, enquanto o segundo contém um conjunto de trabalhos a ser feito. Existe uma aresta de um empregado para cada um dos trabalhos que podem ser atribuídos a ele.

Emparelhamento Máximo em Grafos Bipartidos Ao ver o grafo, percebemos que este problema é semelhante a encontrar o fluxo máximo num grafo de múltiplos sources e multiplos sinks, que já resolvemos.

Algoritmo de Hopcroft-Karp Agora descreveremos um algoritmo mais rápido. A sua complexidade é . Dado um grafo bipartido não-direcionado G(X,Y), seja M um emparelhamento em G. Dizemos que um caminho simples P em G é um caminho de aumento com respeito a M se ele começa em um vértice não emparelhado em X, termina em um vértice não emparelhado em Y e suas arestas pertencem alternadamente a M e a M.

Algoritmo de Hopcroft-Karp Aqui está ele:

Algoritmo de Hopcroft-Karp Problema 1: Precisamos de um algoritmo O(E) para encontrar um conjunto máximo de caminhos disjuntos de aumento, P1, P2, P3,... Problema 2: Mostrar que o número máximo de iterações do algoritmo é 2 . E concluir que o tempo de execução total do Hopcroft-karp é

Referências Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). Introduction to Algorithms, second edition, MIT Press and McGraw-Hill. www.wikipedia.com www.topcoder.com/tc