ÁLGEBRA – AULA 2 Equações

DEFINIÇÕES Expressão matemática é uma combinação de números, operadores e incógnitas ou variáveis, além de símbolos gráficos, agrupados de forma significativa para permitir a verificação de valores, formas, meios ou fins. Equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas. Resolver uma equação é encontrar valores numéricos que, ao serem substituídos nas incógnitas da equação, tornam verdadeira a sentença matemática. Os valores numéricos que tornam a equação válida são chamados raízes ou zeros da equação.

Equação polinomial do nº grau EXEMPLOS 2𝑥+3=0 Equação do 1º grau 𝑥 2 +3𝑥+1=0 Equação do 2º grau 𝑥 5 +3𝑥+7= 𝑥 3 +2 𝑥 2 Equação do 5º grau 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +…+ 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 0 Equação polinomial do nº grau

Equação trigonométrica EXEMPLOS 3 𝑥 =81 Equação exponencial 𝑥+3 =2 Equação modular log 10 3𝑥+1 =2 Equação logarítmica 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =𝜋 Equação trigonométrica

Equação linear com duas variáveis EXEMPLOS 3𝑥+2𝑦=2 Equação linear com duas variáveis 𝑥 2 +1 =3 Equação irracional 2𝑥 3 𝑦 0 = 7 𝑧 −1 𝑤 Equação matricial

IMPORTANTE Se a e b são números reais, 𝑎.𝑏=0 𝑎=0 𝑜𝑢 𝑏=0 EXEMPLO Analise 𝑥+3 2𝑥+1 𝑥−5 =0.

OBSERVAÇÕES 1) Depois de determinar as raízes de uma equação, você deve apresentá-la na forma de conjunto: o chamado conjunto solução, denotado por S. 2) Equações equivalentes são aquelas que possuem o mesmo conjunto solução.

EQUAÇÃO DO 1º GRAU Equações do 1º grau são equações do tipo 𝑎𝑥+𝑏=0 𝑐𝑜𝑚 𝑎≠0 Os valores a e b são chamados coeficientes da equação. Toda equação da forma acima admite uma única solução da forma − 𝑏 𝑎 Exemplos...

LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa: Em Português Em Matematiquês (dado) um número 𝑥 A sexta parte desse número 𝑥 6 O dobro desse número 2𝑥 A metade desse número “mais” sua terça parte 𝑥 2 + 𝑥 3

LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa: Em Português Em Matematiquês Esse número acrescido de 5 unidades 𝑥+5 Esse número acrescido de 20% 𝑥+ 20 100 𝑥 O quadrado desse número acrescido de seu dobro mais uma unidade 𝑥 2 +2𝑥+1

EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma torneira A enche um tanque em 3 horas; uma torneira B enche esse mesmo tanque em 4 horas; e uma ralo esvazia esse tanque em 6 horas. O tanque inicialmente está vazio. As duas torneiras são abertas, e o ralo, destampado. Quanto tempo demorará para que esse tanque fique cheio?

SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS (Método da substituição) Se você tiver duas equações lineares com duas incógnitas, pode-se achar uma solução para o sistema isolando uma das variáveis em uma das equações e substituindo na outra equação. Exemplo: resolva 2𝑥+3𝑦=10 𝑥−2𝑦=7

EXERCÍCIO RESOLVIDO Há três anos, a idade de Pedro era o triplo da idade de Maria. No próximo ano, Pedro terá o dobro da idade de Maria. Qual a idade de Pedro e de Maria hoje?

EQUAÇÃO DO 2º GRAU Equações do 2º grau são equações do tipo 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑐𝑜𝑚 𝑎≠0 Os valores a, b e c são chamados coeficientes da equação.

Verifique se a equação dada é ou não uma equação do 2º grau: EXEMPLOS Verifique se a equação dada é ou não uma equação do 2º grau: 3 𝑥 2 +2𝑥+ 1 2 =0 SIM 3𝑥+4=0 NÃO 4 𝑥 2 +5𝑥=0 SIM 𝑡 2 +3=0 SIM 𝑥 3 + 𝑥 2 +2𝑥+5=0 NÃO 𝑛 2 =0 SIM

OBSERVAÇÃO Uma equação do 2º grau pode ou não ter solução. Tendo solução, existe apenas uma ou, no máximo, duas soluções. FÓRMULA DE BHASKARA 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑐𝑜𝑚 𝑎≠0 As soluções da equação acima são dadas por 𝑥= −𝑏± Δ 2𝑎 onde Δ= 𝑏 2 −4𝑎𝑐

EXEMPLOS (1) 3 𝑥 2 −7𝑥+2=0 (2) 4 𝑥 2 +4𝑥+1=0 (3) 2 𝑥 2 −5𝑥+6=0

DISCUSSÃO SOBRE AS RAÍZES Δ>0 2 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 Δ=0 1 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 Δ<0 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

EXEMPLOS (1) Determine 𝛼 tal que 𝛼 𝑥 2 +𝛼𝑥+1=0 admita uma única raiz real. (2) Determine 𝑚 real tal que 𝑥 2 −3𝑥+𝑚=0 não admita raízes reais. MAIS EXEMPLOS: resolva as equações incompletas: (1) 𝑥 2 −10𝑥=0 (2) 𝑥 2 −36=0

SOMA E PRODUTO DE RAÍZES Sejam 𝑥 1 e 𝑥 2 raízes de uma equação do 2º grau 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑐𝑜𝑚 𝑎≠0 Então 𝑥 1 + 𝑥 2 =− 𝑏 𝑎 𝑥 1 . 𝑥 2 = 𝑐 𝑎

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (1) A soma S e o produto P das raízes de 2 𝑥 2 −3𝑥−2=0 são... (2) Sabendo que as raízes de 2 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 são 3 e -5, determine b e c. (3) (a) Determine m tal que as raízes de 𝑥 2 − 𝑚+3 𝑥+𝑘=0 são números simétricos. (b) No caso acima, determine 𝑘 e 𝛼.

-S= =P OBSERVAÇÃO Sejam 𝑥 1 e 𝑥 2 raízes de uma equação do 2º grau 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑐𝑜𝑚 𝑎≠0 -S= =P 𝑥 2 + 𝑏 𝑎 𝑥+ 𝑐 𝑎 =0 𝑥 2 −𝑆𝑥+𝑃=0 em que S e P são a soma e o produto de 𝑥 1 e 𝑥 2 , respectivamente.

TENTE FAZER Construa uma equação de 2º grau que tenha 3 e 5 como raízes. EXTRA Demonstre a fórmula de Bhaskara. EXERCÍCIO Demonstre que “Mulher é igual problema”

Robson Ricardo de Araujo A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimento naturalmente desenvolvido por pessoas durante um período de 5000 anos. Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo robcardo@ig.com.br