Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 1 Métodos Iterativos A = M – N e M facilmente invertível A x = b  (M – N) x = b  x =M –1 (N x + b)  M x = N x + b d =M –1 bC=M –1 N

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 2 Teorema do ponto fixo Para sistemas  (x) = M –1 (N x + b) Cálculo do erro = ║ M -1 N ║ e 0 < < 1 ( - constante de Lipschitz)

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 3 Método de Jacobi M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência || M -1 N || = || D -1  (L+U) || < 1 Fórmula de recorrência C=-D -1 (L+U) d=D -1 b Resolver cada equação i em ordem a x i

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 4 k c.d c.d c.d c.d c.d c.d c.d c.d c.d c.d c.d c.d Método de Jacobi TP7

Estimativa do erro Método de 1ª ordem Método de 1º ordem ( nas proximidades da raiz) Como então e Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 5

6 Exercício TP7 Método de Jacobi Critério de paragem x (1) x (2) … x (4) … x (7) … x (11) … x (14) … … … … … … … …   (solução exacta x T =(1,-3,4))

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 7 Método de Gauss-Seidel M = L+D N = - U Condição suficiente de convergência || M -1 N || = || (L+D) -1  U || < 1 Fórmula de recorrência Só inverte D. Em vez de inverter L, resolve o sistema por substituição. Usa a matriz de Jacobi

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 8 Método de Gauss-Seidel TP7 k c.d.c quase 1 c.d.c c.d.c quase 2 c.d.c c.d.c quase 3 c.d.c c.d.c

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 9 Exercício TP7 Método de Gauss-Seidel Critério de paragem x (1) x (2) … x (4) … x (6) … x (8) … x (10) … … … … … … … …   (solução exacta x T =(1,-3,4))

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 10 Condições suficientes de convergência Definições Uma matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (colunas) se Uma matriz A é Positiva Definida (PD) se x T Ax >0  x  0. Matriz estritamente dominante Matriz PD Jacobi convergente Gauss-Seidel convergente

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 11 Transformar o sistema Ax=b ( A não singular) Determinar um sistema equivalente cuja matriz tenha diagonal estritamente dominante. Multiplicar o sistema por A T A*=A T A é uma matriz PD Demonstração: x T A*x = x T A T Ax A não singular A T Ax=A T b =( Ax ) T ( Ax )=|| Ax || 2 Ax=0 sse x =0

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 12 Eficiência dos métodos directos versus iterativos Métodos iterativos: Por iteração Em k iterações Métodos directos n 2 -n produtos k(n 2 -n) ≲ k n 2 Os métodos iterativos são mais eficientes