TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES Resistências dos Materiais 1 TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES Introdução Geral Todas as fórmulas fundamentais para determinar das tensões em uma seção de um elemento estrutural já foram bem estabelecidas em capítulos anteriores: Fórmulas que permitem a determinação das tensões normais; Fórmulas que permitem a determinação das tensões de cisalhamento; Superposição ou composição de tensões.

tensões normais e tensões de cisalhamento 2 No entanto, em certos casos, tensões normais e de cisalhamento podem agir SIMULTANEAMENTE em um elemento de uma peça estrutural. EX.: eixo circular que transmite torção com uma força normal (todos os seus elementos com exceção dos situados no centro das seções) estão SIMULTANEAMENTE submetidos a tensões de cisalhamento devido a torção e a tensões normais, devido à força normal. tensões normais e tensões de cisalhamento ESTADO DE TENSÃO

3

4 O estado de tensão mais geral em um ponto qualquer (Q) pode ser representado por 6 componentes: O mesmo estado de tensão é representado por um conjunto de componentes diferentes se o sistema de eixos rotacionar.

5 Portanto, o principal objetivo dessa primeira parte dos estudo de transformação de tensões é determinar DE QUE MANEIRA SE TRANSFORMAM AS COMPONENTES DAS TENSÕES QUANDO OCORRE UMA ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS.

6 Estado Plano de Tensão Nossa dedução da lei de transformação das tensões se voltará principalmente para o ESTADO PLANO DE TENSÕES O ESTADO PLANO DE TENSÃO ocorre quando duas faces do elemento cúbico são livres de tensões. Para o exemplo ilustrado, se adotarmos o eixo z perpendicular a essas duas faces teremos:

7 O estado plano de tensões ocorre numa placa fina submetidas a forças atuando no ponto central. O estado plano de tensões também ocorrem nas três faces de um elemento estrutural ou componente de máquina, i.e., em algum ponto da superfície não submetido a força externa.

8 A ideia é determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento, referentes a rotação do cubo elementar, no plano.

As equações podem ser reescritas para o campo de tensões: 9 Considerar a condição para o equilíbrio de um elemento prismático com faces perpendiculares ao eixos x, y e x` As equações podem ser reescritas para o campo de tensões:

Direção e Intensidade da Máxima Tensão Normal 10 Direção e Intensidade da Máxima Tensão Normal O interesse é geralmente dirigido à determinação dos maiores valores possíveis das tensões normais (tensões principais) e os planos sobre os quais ocorrem essas tensões (planos principais). Estas equações se relacionam com as equações paramétricas de uma circunferência.

11 Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos o ponto M de abscissa x’ e ordenada x’y’, para qualquer valor do parâmetro , vamos sempre obter um ponto que se encontra em uma circuferência.

Ponto A = máximo valor da tensão normal. 12 Ponto A = máximo valor da tensão normal. Ponto B = mínimo valor da tensão normal. Para esses mesmos pontos, a tensão de cisalhamento é nula.

Direção e Intensidade da Máxima Tensão de Cisalhamento 13 Direção e Intensidade da Máxima Tensão de Cisalhamento Ponto D e E = corresponde ao máximo valor da tensão de cisalhamento. OBS: tg 2c é o inverso negativo de tg 2s Os planos de máxima tensão de cisalhamento formam ângulos de 45 com os planos principais.

Exemplo 01 SOLUÇÃO: Encontrar a orientação para as tensões principais: 14 Exemplo 01 SOLUÇÃO: Encontrar a orientação para as tensões principais: Determinar as tensões máxima e mínima: Para o estado de tensão mostrado, determine: a) o plano principal; b) a tensão principal; c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal. Calcular a tensão de cisalhamento máxima

Encontrar a orientação do elemento das tensões principal, 15 Solução: Encontrar a orientação do elemento das tensões principal, Determinar as tensões principais

Cálculo de tensão de cisalhamento máxima 16 Cálculo de tensão de cisalhamento máxima A correspondência tensão normal é,

17 Exemplo 02 Uma força horizontal P de 150lb é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine: (a) as tensões normal e de cisalhamento em um elemento no ponto H, possuindo lados paralelos aos eixos x e y; (b) os planos principais e as tensões principais no ponto H.

Tensões normais e de cisalhamento em H: 18 Solução: Determinar uma força equivalente no sistema no centro da seção transversal passando por H Tensões normais e de cisalhamento em H:

Determinação dos planos principais e das tensões principais. 19 Determinação dos planos principais e das tensões principais. Planos Principais: Tensões Principais

Ciclo de Mohr para o Estado Plano de Tensões 20 Ciclo de Mohr para o Estado Plano de Tensões O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser utilizado para determinar as tensões normais e de cisalhamento que atuam num plano genérico, cuja normal faz um ângulo θ com a direção X,

Define-se o elemento com as tensões ,x, y e xy ; 21 Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro básico: Define-se o elemento com as tensões ,x, y e xy ; Adota-se o sistema de eixos ( ;  ) paralelos aos eixos xy; Marcam-se no sistema os pontos X = (x ; - xy ) e Y = (y ; xy ) ; Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo σ no ponto C; Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY.   (x , -xy ) (y ; xy )   (x , -xy ) (y ; xy ) C   (x , -xy ) (y ; xy ) C

22 centro = ( méd ; 0)

Informações obtidas apartir do traçado do Círculo de Mohr 23 Informações obtidas apartir do traçado do Círculo de Mohr Planos Principais e Tensões Principais Normais: Cisalhamento:

As tensões normal e de cisalhamento são obtidas das coordenadas X’Y’. 24 Com o Círculo de Mohr definido, outros estados de tensões em outras orientações podem ser descrito. Para o estado de tensões um ângulo  com relação aos eixos xy, constrói-se um novo diâmetro x’y’ com ângulo de 2 com os eixos xy. As tensões normal e de cisalhamento são obtidas das coordenadas X’Y’.

Círculo de Mohr para carregamento concêntrico axial 25 Círculo de Mohr para carregamento concêntrico axial Círculo de Mohr para carregamento de torção

Exemplo 03 Para o estado de tensão mostrado, determine: 26 Exemplo 03 Para o estado de tensão mostrado, determine: a) o plano principal; b) a tensão principal; c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal.

Construção do círculo de Mohr 27 SOLUÇÃO: Construção do círculo de Mohr Tensões principais Planos principais

Tensão máxima de cisalhamento 28 Tensão máxima de cisalhamento

Exemplo 04 Determinar, para o estado plano de tensão indicado: 29 Exemplo 04 Determinar, para o estado plano de tensão indicado: a) os planos principais e as tensões principais; b) as componentes de tensões que se exercem no elemento obtido rodando-se o elemento dado de 30º, no sentido horário SOLUÇÃO: Construção do circulo de Mohr

Tensões e plano principais 30 Tensões e plano principais

Componentes de tensões após rotação de 30º 31 Componentes de tensões após rotação de 30º Os pontos X’e Y’, que correspondem as tensões no elemento girado de 30º, são obtido girando XY, no sentido anti-horário de 2=60o