GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sólidos III © antónio de campos, 2010

Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano Oblíquo São dados dois pontos, A (4; 0) e B (0; 3), contidos num plano oblíquo α. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, enquanto o traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Os pontos A e B são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD] e a base de uma pirâmide quadrangular regular, com 7 cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide. Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção, com hα como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através de rectas frontais. Localizar o ponto O. fα f2 f’2 p2 ≡ fδ V2 C2 C1 B2 B1 O2 O1 D2 D1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano α, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de topo δ) que contém a recta p, com hδ como charneira, rebatendo a própria recta p. (e’2) ≡ H’’2 A2 A1 H2 Hr≡ H1 x ≡ e2 ≡ fδr H’2 H’r ≡ H’1 H’’r≡ H’’1 f1 Or Br ≡ Ar Vr V1 pr f’1 Cr Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. p1 Dr fr hδ ≡ e’1 ≡ hδr fαr f’r hα ≡ e1 ≡ hαr Desenho à escala de 1:2.

São dados dois pontos, A (-1; 0; 3) e B (1; 3; 0), contidos num plano oblíquo δ, são vértices de um triângulo equilátero [ABC], situado no 1.º diedro, é a base de uma pirâmide triangular regular, situada também no 1.º diedro. O triângulo [ABC] tem 8 cm de altura. O plano δ intersecta o eixo x num ponto K, com –3 cm de abcissa. Desenha as projecções da pirâmide. f’2 fδ f2 fθ ≡ e’2 ≡ fθr Determinar as projecções do triângulo, recorrendo do rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção, com hα como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através de rectas frontais. Localizar o ponto O. y ≡ z Vr V2 p2 pr C2 C1 A2 A1 O2 O1 Or1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano δ, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano vertical θ) que contém a recta p, com fθ como charneira, rebatendo a própria recta p. Fr≡ F1 (e’1) ≡ F1 H2 Hr≡ H1 H’2 H’r≡ H’1 x ≡ e2 ≡ hθr B2 B1 K1 ≡ K2 f’1 f1 Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. ≡ Br Ar Or hδ ≡ e1 ≡ hδr fδr p1 ≡ hθ f’r Cr V1 fr

Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano de Rampa São dados dois pontos, A (1; 3) e C (5; 0), contidos num plano de rampa ρ, sendo A0C0 = 3 cm (situando-se A à esquerda de C). Os pontos A e C são dois vértices opostos de um quadrado [ABCD] e a base de uma pirâmide quadrangular regular, com 8 cm de altura. Desenha as projecções da pirâmide. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr V2 Vr pr r2 fρ F2 F1 F’2 ≡ F’r s2 F’’1 F’’r F’’2 Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, com hρ como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através da recta s. A2 A1 B2 B1 O2 O1 Or1 ir Fr1 D2 D1 C2 C1 x ≡ e2 ≡ hπr H2 Hr ≡ H1 H’2 ≡ F’1 ≡ (e’1) H’r Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano ρ, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta p, com fπ como charneira, rebatendo a própria recta p. s1 ≡ Cr hρ ≡ e1 ≡ hρr H’1 r1 Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. Dr Or V1 rr Br sr Ar fρr Fr

São dados dois pontos, A (-1; 5; 0) e B (-2; 0; 3), vértices de um triângulo equilátero [ABC], que é a base de uma pirâmide triangular regular, com 8 cm de altura, situada no 1.º diedro e contida num plano de rampa ρ. O vértice C do triângulo está à esquerda do vértice A. Desenha as projecções da pirâmide. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr V2 Vr y ≡ z pr Determinar as projecções do triângulo, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, com hρ como charneira, utilizando o ponto B, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através da recta s. r2 s2 fρ B2 B1 ≡ F2 F’1 F’r F’2 F’’2 ≡ F’’r C2 C1 O2 O1 Or1 ir Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano ρ, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta p, com fπ como charneira, rebatendo a própria recta p. A2 A1 Br1 x ≡ e2 ≡ hπr H’2 H’r ≡ H’1 H2 Hr ≡ H1 H’’2 ≡ F’’1 ≡ (e’1) ≡ F1 H’’r s1 r1 hρ ≡ e1 ≡ hρr H’’1 ≡ Ar Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. V1 Cr Or rr sr fρr Br ≡ Fr

Projecção de um Cubo com Base Contida em Plano Passante É dado um plano passante ρ, definido pelo eixo x e por um ponto A (3; 2). Um cubo com 5 cm de aresta, situado no 1.º diedro, tem o quadrado [ABCD], uma das faces do sólido, contido no plano ρ. O lado [AB] do quadrado faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Desenha as projecções do cubo. a1 ≡ a2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr C’2 D’2 B’2 s2 A’r A’2 C2 C1 r2 D2 D1 ar Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, com hρ como charneira, para obter a V.G., via triângulo de rebatimento para o ponto A. ir B2 B1 Ar2 A2 A1 Construir o cubo, com uma recta ortogonal a ao plano ρ, passando pelo ponto A. Para obter a V.G. do segmento de recta [AA’], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta a, com fπ como charneira, para o Plano Frontal de Projecção, rebatendo a própria recta a. x ≡ fρ ≡ hρ ≡ e1 ≡ e2 ≡ fρr ≡ hρr ≡ hπr H1 ≡ H2 ≡ F1 ≡ F2 ≡ (e’1) ≡ Fr A’1 Ar1 B’1 D’1 Ar Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de A’, B’, C’ e D’, permitindo a construção do cubo. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. sr C’1 Br r1 Dr rr s1 Cr

É dado um plano passante ρ que contém o quadrado [ABCD], uma das faces de um cubo, situado no 1.º diedro, com 5 cm de aresta. O ponto A (4; 1) fica à esquerda de B e tem um afastamento inferior a B. O lado [AB] do quadrado faz um ângulo de 30º com o eixo x. Desenha as projecções do cubo. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr Cr rr Dr C’2 pr D’2 Br A’r B’2 A’2 sr s2 Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, com fρ como charneira, para obter a V.G., via triângulo de rebatimento para o ponto A. Ar r2 C2 C1 D2 D1 ir B2 B1 A2 A1 Ar1 Construir o cubo, com uma recta ortogonal a ao plano ρ, passando pelo ponto A. Para obter a V.G. do segmento de recta [AA’], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta p, com fπ como charneira, para o Plano Frontal de Projecção, rebatendo a própria recta p. x ≡ fρ ≡ hρ ≡ e1 ≡ e2 ≡ fρr ≡ hρr ≡ hπr H1 ≡ H2 ≡ F1 ≡ F2 ≡ (e’1) ≡ Fr A’1 Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de A’, B’, C’ e D’, permitindo a construção do cubo. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. B’1 r1 D’1 s1 C’1