Aula V – Técnicas de Solução da equação de Laplace Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace nos casos unidimensional e bidimensional Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando o método das imagens. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Funções ortogonais Seja um intervalo (a,b) e um conjunto de funções {Un (x)} definidas neste intervalo. As funções são ditas ortogonais se: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Funções ortonormais Delta de Kronecker Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Expansões No intervalo (a,b) uma função qualquer f() pode ser expandida em termos destas funções: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Conjunto completo É aquele conjunto de funções para o qual existe um número N0 tal que o erro cometido, ao aproximarmos a função f por N0 termos da expansão, é arbitrariamente pequeno. Se o intervalo no qual as funções U são definidas é infinito, então a soma se transforma em uma integral. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Exemplo de conjunto completo Transformada de Fourier (funções periódicas) Estas funções satisfazem à condição de ortogonalidade: Delta de Dirac E completeza: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

A, b são constantes a serem determinadas das condições de contorno. Solução da equação de Laplace em uma dimensão A equação de Laplace em uma dimensão é dada por: A, b são constantes a serem determinadas das condições de contorno. Algumas características da solução que são também válidas em duas e três dimensões: O potencial em uma dada posição é a média em duas posições simétricas: As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Solução da equação de Laplace em duas dimensões O potencial em uma dada posição é a média da posições em torno do ponto. Em particular, se tomarmos um circulo de raio R em torno do ponto: As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais. Os extremos acontecem no contorno. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Teoremas de unicidade A solução da equação de Laplace em um volume V é unicamente determinada se o potencial  for especificado na superfície de contorno da região V . Em um volume V cercado por condutores e contendo uma densidade de carga dada  o campo elétrico é unicamente determinado se a carga total em cada um dos condutores for especificada. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Método das imagens I Ideia central: usar simetrias e os teoremas de unicidade para obter o potencial. x y z q  = 0 d Terra Qual o potencial na região acima do plano? Observe que existe, além da carga q, uma carga induzida no plano (desconhecida). O potencial no plano é mantido constante. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Expressão válida na região z > 0. Método das imagens II Neste problema temos as seguintes condições de contorno:  = 0 quando z = 0;   0 quando r  . Vamos “trocar” nosso problema real por um outro: imagine que temos outra carga, -q, colocada na posição –d e esqueçamos o plano! x y z q  = 0 d -d -q Expressão válida na região z > 0. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Método das imagens III A carga induzida no plano condutor será dada por: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Método das imagens IV A carga total induzida no plano, será dada por: Observe que a carga q será atraída em direção ao plano pela presença da carga induzida –q. Qual a força de atração? A energia pode ser calculada a partir do trabalho para trazer a carga q do infinito até a posição d: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Fim da Aula V Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa