Análise Exploratória de Dados - 2006 R - LIG-05

Objetivos da aula Definir e calcular medidas de dispersão: amplitude amostral, distância entre quartis, desvio-médio, variância e desvio-padrão. Definir e calcular o coeficiente de variação amostral. Definir e calcular quantis de uma distribuição de freqüências.

Exemplo 1 Suponha que um grupo de 120 estudantes foi aleatoriamente distribuído em 6 grupos de 20. Cada grupo recebeu um tipo de treinamento e depois todos foram submetidos a um mesmo teste. Ao teste é atribuída uma nota de zero a 10.

Exemplo 1 (continuação) Os dados (fictícios) com as notas dos testes para os seis grupos estão no arquivo notas.txt. notas=read.table(“http://www.im.ufrj/~flavia/aed06/notas.txt”) names(notas)=c(“G1”,”G2”,”G3”,”G4”,”G5”,”G6”)

Exemplo 1 (continuação) Calcule a média e a mediana das notas para cada grupo. É possível ver que todos os grupos apresentam a mesma média 5 e a mesma mediana 5. Será que podemos afirmar que as performances foram iguais para os diferentes grupos?

> mean(notas) G1 G2 G3 G4 G5 G6 5 5 5 5 5 5 medianaNotas<-matrix(0,1,6) # cria o vetor medianaNotas com todas as entradas nulas # de dimensão 1 por 6 for (i in 1:6) {medianaNotas[1,i]=median(notas[,i])} # para i variando de 1 a 6 atribui a medianaNotas da #coluna i a mediana das notas do i-ésimo grupo. > medianaNotas [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 5 5 5 5 5 5

Ramo e folhas das notas Para responder a pergunta anterior, podemos construir os ramo-e-folhas das notas para observar a variação das mesmas nos diferentes grupos.

Ramo e folhas das notas > stem(notas$G4,scale=2) 1 | 0000 2 | 00 3 | 00 4 | 0 5 | 00 6 | 0 7 | 00 8 | 00 9 | 0000 > stem(notas$G6,scale=2) 1 | 000000 2 | 0000 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 0000 9 | 000000 > stem(notas$G1) 5 | 00000000000000000000 > stem(notas$G2) 0 | 00 2 | 00000 4 | 000000 6 | 00000 8 | 00 > stem(notas$G3) 4 | 000000 4 | 5 | 00000000 5 | 6 | 000000 > stem(notas$G5) 3 | 56789 4 | 0248 5 | 00268 6 | 012345

Comparação Pelos ramos-e-folhas de cada grupo podemos ver que há diferenças entre as respectivas performances. Por exemplo, no grupo 1 não houve variação: todos os 20 estudantes obtiveram nota 5. Já no grupo 6, nenhum estudante obteve nota 5: ou as notas foram 1 e 2 ou 8 e 9. Enfim, a partir deste exemplo, percebe-se a necessidade de outras medidas para caracterizar um conjunto de dados além de medidas tais como média e mediana.

Medidas de Dispersão É necessário caracterizar o conjunto também usando medidas que avaliam a variabilidade dos dados no conjunto. A seguir, apresentaremos algumas medidas de dispersão comuns.

Amplitude Amostral R A amplitude amostral é uma das medidas de dispersão mais simples. É dada pela diferença entre os valores máximo e mínimo observados na amostra. Se x é o vetor que contém os dados, podemos calcular a amplitude amostral como amplitude<-max(x)-min(x).

Amplitude amostral (continuação) Obtenha a amplitude amostral dos diferentes grupos. É claro que no grupo 1 a amplitude amostral é zero. Vemos que nos grupos 2, 4 e 6, a amplitude é 8; e nos grupos 3 e 5 são respectivamente 2 e 3.

Amplitude amostral nos grupos amplitudeNotas<-matrix(0,1,6) # cria o vetor amplitudeNotas com entradas nulas de dimensão # 1 por 6 for (i in 1:6) {amplitudeNotas[1,i]=max(notas[,i])-min(notas[,i])} # atribui a cada entrada do vetor amplitudeNotas a diferença entre a # nota máxima e mínima do respectivo grupo > amplitudeNotas [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 0 8 2 8 3 8

Desvantagens da amplitude amostral A grande desvantagem da amplitude amostral como medida para caracterizar a dispersão num conjunto de dados é que ela só leva em conta o mínimo e o máximo dos dados, ignorando todo o resto. Observe que há diferenças nos grupos 2, 4 e 6. Porém, todos eles têm a mesma amplitude amostral.

Ramo e folhas dos grupos 2, 4 e 6 > stem(notas$G2,scale=2) 1 | 00 2 | 3 | 00000 4 | 5 | 000000 6 | 7 | 00000 8 | 9 | 00 > stem(notas$G4,scale=2) 1 | 0000 2 | 00 3 | 00 4 | 0 5 | 00 6 | 0 7 | 00 8 | 00 9 | 0000 > stem(notas$G6,scale=2) 1 | 000000 2 | 0000 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 0000 9 | 000000

Função range() Se x é um vetor numérico, a função range(x) retorna o valor mínimo e o valor máximo em x. Assim, range(x)[2]-range(x)[1] é equivalente à max(x)-min(x).

Amplitude interquartílica ou Distância entre quartis (DEQ) Uma medida de dispersão um pouco mais refinada que a amplitude amostral é a distância entre quartis (DEQ). Depois de ordenada a amostra, divide-se ela em quatro partes de freqüência relativa ¼. Tomam-se então os valores que correspondem à freqüência relativa acumulada de ¼ e ¾, que são chamados respectivamente de primeiro e terceiro quartis (Q1 e Q3).

Distância entre quartis DEQ=Q3-Q1 No R podemos calcular a distância entre quartis para um vetor de dados x da seguinte forma deq<-IQR(x) Para as notas do exemplo temos os valores 0.00 4.00 2.00 6.00 2.05 8.00 para as distâncias entre quartis dos grupos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, respectivamente.

Valores observados de DEQ para os diferentes grupos DEQNotas<-matrix(0,1,6) # cria o vetor amplitudeNotas com entradas nulas de dimensão # 1 por 6 for (i in 1:6) {DEQNotas[1,i]=IQR(notas[,i])} # atribui a cada entrada do vetor DEQNotas a distância entre # quartis do respectivo grupo > DEQNotas [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 0 4 2 6 2.05 8

Distância entre quartis (continuação) Podemos ver que a distância entre quartis apresenta diferenças que não foram detectadas pela amplitude amostral entre os diferentes grupos. Mas, esta medida, ainda tem a desvantagem de só levar em conta dois valores do conjunto, ignorando os extremos e o meio.

Função quantile(x,p) A função quantile(x,p) retorna o quantil de ordem p, q(p), considerando a distribuição de freqüências dos valores no vetor x, 0<p<1. Assim, pedir IQR(x) é equivalente à pedir quantile(x,0.75)-quantile(x,0.25) que retornará Q3-Q1.

Desvio médio É uma medida de dispersão que leva em conta todos os valores no conjunto de dados. Primeiro vamos definir desvio absoluto da média. Se x1,x2,...,xn são os valores observados e é a correspondente média aritmética, então um desvio absoluto da média é dado por:

Desvio médio O desvio médio absoluto (DMA) é definido como a média aritmética dos desvios absolutos da média no vetor x, isto é,

Desvio médio absoluto dma<-c(0,0,0,0,0,0) #atribui à dma um vetor nulo de dimensão 6 for (i in 1:6){for (j in 1:20){dma[i]<-dma[i]+abs(notas[j,i]-mean(notas[,i]))}} #acumula em cada grupo (i variando de 1 a 6) os desvios absolutos da média #(j variando de 1 a 20) dma<-dma/20 #calcula a média, dividindo por 20 que é o número de notas em cada #grupo

Desvios médios no exemplo Para as notas nos seis grupos podemos ver que os desvios médios são, respectivamente, 0.00 1.80 0.60 2.70 0.91 3.60

Variância amostral É a média dos desvios da média tomados ao quadrado. Veremos na disciplina Introdução à Estatística, que no caso particular da variância, é comum adotar o denominador da média em n-1. O R possui uma função própria para calcular a variância com denominador n-1 dada por var(x), se x é o vetor contendo os valores cuja variância está para ser calculada.

Variância amostral

Variância de notas Neste exemplo, temos para os grupos, respectivamente, as variâncias (arredondadas para duas casas decimais): 0.00 5.47 0.63 9.58 1.11 13.89

>vetVar<-c(0,0,0,0,0,0) #vetVar é criado como um vetor #nulo de dimensão 6 >for (i in 1:6){vetVar[i]<-var(notas[,i])} #cada entrada de vetVar recebe a variãncia amostral do #grupo correspondente > vetVar [1] 0 5.473684 0.631579 9.578947 1.114737 13.894737

Desvio-padrão É a raiz quadrada positiva da variância: sqrt(var(x)) ou sd(x). Neste exemplo temos os seguintes desvios-padrão (arredondados para duas casas decimais): 0.00 2.34 0.79 3.09 1.06 3.73 > sqrt(vetVar) [1] 0 2.3395906 0.7947194 3.0949875 1.0558110 3.7275645

Resumo Grupo R DEQ DMA s2 s 1 2 8 4.00 1.80 5.47 2.34 3 2.00 0.60 0.63 2 8 4.00 1.80 5.47 2.34 3 2.00 0.60 0.63 0.79 4 6.00 2.70 9.58 3.09 5 2.05 0.91 1.11 1.06 6 8.00 3.60 13.89 3.73

Histogramas na escala das freqüências

Histogramas com as escalas uniformizadas

Coeficiente de Variação Amostral É uma medida da variação relativa em um conjunto de valores numéricos. Costuma ser expresso em termos percentuais. Mede a dispersão dos dados em relação à média aritmética. É definido por CV=(DP/média)x100%, onde DP é o desvio-padrão dos dados, média é a média aritmética dos dados.

Exemplo 2: Considere os três conjuntos de dados abaixo:

Exemplo 2: (cont.) Os comandos estão em exemplo2.txt Calcule a variância de cada um dos três conjuntos de dados. dadosA<-c(12,15,23,22,23,16) dadosB<-c(0.65,3.65,11.65,10.65,11.65,4.65) dadosC<-c(551,554,555,562,562,561) var(dadosA) 22.7 var(dadosB) var(dadosC) mean(dadosA) 18.5 mean(dadosB) 7.15 mean(dadosC) 557.5

Exemplo 2: (cont.) dotchart(dadosA,main="A") dotchart(dadosB,main="B") dotchart(dadosC,main="C")

Exemplo 2: coeficiente de variação CV para o conjunto A: sqrt(var(dadosA))*100/mean(dadosA) 25.75% CV para o conjunto B: sqrt(var(dadosB))*100/mean(dadosB) 66.66% CV para o conjunto C: sqrt(var(dadosC))*100/mean(dadosC) 0.85% Conclusão: O conjunto C é o que apresenta menor variabilidade relativa à média.

Quantis de uma distribuição de freqüências Tanto a média como o desvio-padrão podem não ser medidas adequadas para representar um conjunto de dados, pois: (i) são afetados, de forma exagerada por valores extremos; (ii) apenas com estes dois valores não temos idéia da simetria ou assimetria da distribuição dos dados.

Quantis de uma distribuição de freqüências (2) Por exemplo, vimos que a mediana é o valor que deixa 50% dos dados (depois de ordenados) abaixo dela e 50%, acima dela. Analogamente, podemos definir outras medidas, variando o percentual 50% (abaixo e acima de), para um percentual qualquer.

Quantis de uma distribuição de freqüências (3) De um modo geral, podemos definir uma medida chamada QUANTIL de ordem p, com p representando uma proporção qualquer, 0<p<1, tal que 100p% das observações sejam menores do que o quantil de ordem p. NOTAÇÃO: q(p)

Quantis Especiais: QUARTIS São três medidas (Q1, Q2 e Q3) que repartem a distribuição em quatro intervalos de freqüência relativa ¼: q(0,25),q(0,50) e q(0,75) q(0,25): primeiro quartil (Q1) ou vigésimo-quinto percentil; q(0,50): segundo quartil (Q2), ou mediana ou qüinquagésimo percentil; q(0,75): terceiro quartil (Q3) ou septuagésimo-quinto percentil.

Quantis Especiais: DECIS São 9 medidas que repartem a distribuição em 10 intervalos de freqüência relativa 1/10: q(0,1),q(0,2),q(0,3),...,q(0,9) q(0,1): primeiro decil (D1) ou décimo percentil; q(0,2): segundo decil (D2), ou vigésimo percentil; q(0,3): terceiro decil (D3), ou trigésimo percentil; etc.

Quantis Especiais: PERCENTIS q(0,01),q(0,02),q(0,03),...,q(0,99) q(0,01): primeiro percentil; q(0,02): segundo percentil; q(0,03): terceiro percentil; etc.

Determinação dos quantis usando o R A função apropriada do R para obter os quantis de um vetor numérico x é a função quantile. Se x é o vetor contendo os dados, e desejamos determinar os três quartis, pedimos quantile(x,c(0.25,0.5,0.75)). Se desejamos o quinto e o nonagésimo-quinto percentis, pedimos quantile(x,c(0.05,0.95)), etc.

Exemplo 3: Emissão de Dióxido de Carbono Os dados no arquivo dados13bm.txt fornecem emissões de dióxido de carbono "per capita", para uma amostra de 72 países. Os dados são do ano de 1995. Fonte: Stabilizing The Atmosphere: Population, Consumption and Greenhouse Gases.

Exemplo 3: Emissão de Dióxido de Carbono (cont.) Determine os três quartis, os decis, a média e o desvio-padrão das emissões registradas para os 72 países em 1995.

Exemplo 3: Emissão de Dióxido de Carbono (cont.) dados=read.table(”http://www.im.ufrj/~flavia/aed06/dados13bm.txt",header=T) names(dados) [1] "pais" "emissao" quantile(dados$emissao,c(0.25,0.5,0.75)) 25% 50% 75% 0.0675 0.4150 1.4725 quantile(dados$emissao,c(0.1,0.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,0.9)) 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 0.02 0.05 0.14 0.28 0.42 0.87 1.26 1.99 3.02

Exemplo 3: Emissão de Dióxido de Carbono (cont.) > mean(dados$emissao) [1] 1.174167 > sqrt(var(dados$emissao)) [1] 1.689093

Histograma das emissões

Quantis para dados agrupados Uma aproximação para obter o quantil de ordem p quando os dados estão agrupados em classes é a seguinte. Passo 1: Encontre a classe que contém o p-quantil. Seja [ap,ap+1[ esse intervalo e Fp a freqüência relativa acumulada desta classe. Passo 2: Encontre o comprimento desse intervalo (cp), a freqüência relativa dessa classe (fp) e a freqüência relativa acumulada da classe anterior (Fp-1). Passo 3: Calcule q(p) como

Quantis para dados agrupados (ap,ap+1) - classe que contém q(p); Fp - freqüência relativa acumulada da classe (ap,ap+1) cp – a amplitude da classe fp – a freqüência relativa da classe e FP-1- freqüência relativa acumulada da classe imediatamente anterior

Atividade Trabalhe com os dados sobre temperaturas médias mensais de Cananéia e Ubatuba no estado de São Paulo. Selecione as temperaturas de janeiro, para as duas cidades, ao longo dos anos estudados. Determine os quartis das temperaturas médias de janeiro para as duas cidades

Atividade (continuação) Repita a atividade anterior para os outros meses do ano. Faça um resumo dos resultados obtidos numa tabela e num gráfico.