Exercícios de Algoritmos Aleatorizados Eduardo Laber

Exercício 1 Sortear as cores aleatoreamente e derandomizar

Exercício 2 E[X]=E[X1]+E[X2]+…+[X100000] E[Xi]= 0.99, para i=1,…,80000  E[X]=79400

Exercício 4 A) 1/j + 1/ (j+1) + … + 1/ (n-1) =H(n-1)-H(j-1) B) Xi = 1 se o nó vi não recebe arco e 0 caso contrário. Probabilidade de vi terminar vazio é (i-1)/i . (i)/(i+1) … x (n-2)/(n-1) = (i-1)/(n-1) Somando para todo i, temos n /2

Exercício 6 Sorteie uma ordem aleatórea. A probabilidade de uma dada restrição ser satisfeita é 1/3. Portanto, o número esperado de restrições satisfeitas é k/3

Exercício7 A) xi e not xi B) Se existe a claúsula xi então sorteie xi=1 com probabilidade 0.6. Se existe a claúsula not xi sorteie xi=0 com probabilidade 0.6. As demais váriáveis sorteie com prob 0.5. Probabilidade de uma clausula falhar é maior ou igual a 1- (0.6)2

Exercício 9 Estratégia. Observe os n/2 primeiros bids e memorize o maior deles, b*. Ao examinar os n/2 últimos bids pare se encontrar um bid maior que b*. Caso contrário pare no último bid. Análise A probabilidade do segundo maior bid ser um dos n/2 primeiros e o maior bid ser um dos n/2 últimos é (n/2)2/n(n-1) > ¼. Caso isso aconteça o algoritmo retorna o maior bid.

Exercício 10 X =X1+…Xn Xi = 1 se o i-ésimo bid apresentado é atualizado e 0, caso contrario Probabilidade de Xi ser atualizado é a probabilidade de Xi ser maior que todos os anteriores, ou seja, 1/i. Somando a série temos ln(n)

E[X] =E[X1]+…+E[Xn]=n/e Exercício 11 A) Xi=1 if the machine i does not receive any job. E[Xi]=Pr[Xi=1]=[(n-1)/n]n=1/e E[X] =E[X1]+…+E[Xn]=n/e E[X]/n=1/e B) Xi=número de jobs rejeitados na máquina i Yij=1 se o job j é rejeitado na máquina i. E[Xi] =E[Yi1]+…E[Yin] Pr[Yij=1] é a probabilidade do job j ser atribuído a máquina i e algum job com índice menor que j também ser atribuído a máquina i. Pr[Yij=1]=1/n ( 1 – [(n-1)/n] j-1) => E[Yij=1]=1/n ( 1 – [(n-1)/n] j-1)

Exercício 11 B) O número de jobs rejeitados é igual ao número de máquinas que não recebem jobs

Exercício 12 Probabilidade de não ser o corte mínimo é a probabilidade sortear a,d ou d,a =1/6 Fazendo n cópias, a probabilidade de obter o corte mínimo é a probabilidade conseguir em todos = (5/6)n b d s a t c

Exercício 12 Caso multigrafos não sejam desejados considere a estrutura acima s t

Exercício 13 Pr[X1-X2> c n1/2 ]= Pr[X1> n+(c n1/2)/2] X1=X1,1+X1,2+…+X1,2n X1,i = 1 se a i-ésima bola cai no balde 1 e X1,i = 0, caso contrário Usando o bound de Chernof …