BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo

Demonstração de Teoremas – Ex1 Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 O que queremos provar é: ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2 Para provar ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2 devemos provar 0≤a<b ➝ a2<b2, para a e b números reais arbitrários Para provar 0≤a<b ➝ a2<b2, basta provar a2<b2, supondo 0≤a<b

Receita de bolo Para demonstrar um teorema: Entenda o enunciado, identifique as hipóteses e a conclusão Expresse o teorema como uma fórmula da Lógica de Predicados Construa a prova passo a passo, tendo como base as regras de Dedução Natural que vimos anteriormente.

Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 Prova: Sejam a e b números reais arbitrários e suponha 0≤a<b. Então a2 = a . a < b . a {porque 0≤a<b} < b . b {porque 0≤a<b} = b2 c.q.d.

OBSERVAÇÃO Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 Note que 0 ≤ 5 < 7 ➝ 52 < 72 é uma instância do teorema acima. Provar que uma ou várias instâncias são verdadeiras não significa ter provado o teorema!

Exercício Teorema: Sejam x,y∈R tais que x>3 e y<2. Então x2 – 2y > 5. Quais são as hipóteses e a conclusão do teorema? Apresente algumas instâncias do terorema Construa uma prova para esse teorema.

Conjectura – Verdadeira ou Falsa? Conjectura: Sejam x,y∈R tais que x>3. Então x2 – 2y > 5. A conjectura é falsa ou verdadeira? Apresente um contra-exemplo que mostra que essa conjectura é falsa. x = 4, y = 6 pois então temos 42 – 2.6 = 2 < 5

Não se esqueça Para mostrar que uma conjectura é verdadeira (é um teorema) devemos construir uma prova da mesma. Para mostrar que uma conjectura é falsa, basta apresentar um contra-exemplo para a mesma.

Estratégias de Prova - Direta A estratégia de prova usada no exemplo anterior é: Prova Direta: Para provar uma asserção da forma x ➝ y, suponha x e prove y [x] ⊢ y {→I} x → y

Exercícios Prove que, para todo n∈N, se n é impar então 3n+9 é par. Prove que se a e b são números racionais, então a-b é racional Prove que se n é par então n2 é par

Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Queremos provar: ∀n∈Z. par(n2) ➝ par(n) Mais precisamente: ∀n∈Z.(∃k∈Z.n2=2k)➝(∃k∈Z.n=2k) Infelizmente, a estratégia de prova direta não nos ajuda neste caso…

Prova por Contrapositivo Para provar uma asserção x ➝ y, podemos provar a asserção equivalente ¬y ➝ ¬x, ou seja, supomos ¬y e provamos ¬x Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Ao invés de provar par(n2) ➝ par(n), vamos provar o contrapositivo ¬par(n) ➝ ¬par(n2), isto é, impar(n) ➝ impar(n2), ou seja: (∃k∈Z.n=2k+1)➝(∃k∈Z.n2=2k+1)

Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Prova: Por contrapositivo. Seja n∈Z arbitrário e suponha n impar, isto é, n=2k+1, para algum k∈Z. Então n2 = (2k+1) (2k+1) = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1 ou seja, n2 é impar Portanto, se n2 é par, então n é par

Exercícios Sejam a,b,c ∈ R e a > b. Prove que, se ac ≤ bc, então c ≤ 0. Prove que se m e n são inteiros e mn=1, então ou m=1 e n=1, ou m=−1 e n=−1. Prove que, se x é um número irracional, então √x é um número irracional.