Movimento em I dimensão Prof. Hebert Monteiro

Introdução Iniciaremos o nosso curso estudando a mecânica como ciência que estuda o movimento. A mecânica é dividida em duas partes: Cinemática: que é o estudo do movimento sem referência às suas causas. Na cinemática definimos grandezas utilizadas na mecânica tais como: velocidade e aceleração. Dinâmica: é o estudo que engloba as leis do movimento, permite-nos prever o movimento de um objeto com base em informações sobre o mesmo e seu ambiente. Além das grandezas acima citadas a dinâmica aborda conceitos como força e massa.

Para descrevermos o movimento de um objeto em I dimensão, o primeiro passo é fixarmos um sistema de coordenadas, ou sistema de referência. Para o movimento ao longo de uma reta, isto exige primeiro a escolha de uma origem em algum ponto da reta e, em seguida, de uma direção positiva.

Verifiquem então o movimento realizado pelo carro de fórmula 1 do slide anterior. Estipulamos como origem o ponto “início” (correspondente à origem do plano cartesiano) e a direção positiva como a direita ou leste (direção positiva do eixo x do plano cartesiano). Na cena em questão analisada o carro realiza um movimento que vai de sua posição inicial x1 até a sua posição final x2. A sua posição inicial corresponde ao seu tempo inicial, assim como a sua posição final corresponde ao seu tempo final. Determinadas essas grandezas, já podemos calcular o deslocamento do carro que é medido em metros, através da fórmula: Δx = x2 – x1

Como nosso objeto se moveu na direção positiva, tanto seu deslocamento quanto as outras grandezas que serão medidas são positivas. Da mesma forma que calculamos o seu deslocamento através das suas posições iniciais e finais, também podemos calcular o tempo gasto para realizar o movimento através da equação que representa a variação de tempo do movimento: Δt = t2 – t1 A unidade de tempo utilizada nesse tipo de movimento é o segundo, portanto a nossa variação de tempo tem como unidade de medida o segundo.

Exercício: 1) Uma pessoa sai de sua casa e caminha em linha reta pela calçada no sentido oeste-leste, passa então por um ponto de ônibus e caminha 15 m até parar. Considerando sua casa como posição inicial e sabendo que ela está a 30 m a Oeste do ponto de ônibus. Determine o deslocamento total da pessoa e o seu sentido.

Velocidade Vetorial e Velocidade Média A velocidade de um objeto nos diz quão rapidamente ele caminha e a direção que ele segue em determinado instante. A melhor maneira de entender o significado do vetor velocidade é definir e discutir primeiro a velocidade vetorial média e utilizá-la em seguida para definir velocidade vetorial. A velocidade média de um objeto que se deslocou do ponto x1 ao ponto x2 no intervalo de tempo de t1 a t2 é dada por: v = x2 – x1 = Δx t2 – t1 Δt Como a unidade do deslocamento é metros e a do tempo é segundos, sendo assim, a unidade de medida que representa a média de velocidade do objeto no S.I. é m/s.

De acordo com a explicação anterior, a velocidade média é a média de rapidez que o objeto executou o seu deslocamento, durante um intervalo de tempo, sendo assim, ela é constante. Quando pensamos em vetor velocidade ou velocidade propriamente dita, estamos falando em velocidade instantânea, ou seja, a velocidade em um determinado instante e não uma média que se encontra dentro de um tempo. Para encontramos a velocidade o intervalo de tempo necessariamente tenderá a zero, ou seja: v = lim v = lim Δx Δt 0 Δt

Exercício: 1) Um carro sai de um posto de combustível e movimenta-se em uma auto-estrada no sentido leste-oeste. Depois de 15 s vê a sua frente uma placa de trânsito que está a exatamente 81 m de distância. O carro continua o seu movimento e para 13 metros após a placa de trânsito decorridos 22 segundos após a sua partida. Calcule: a) O seu deslocamento e a sua velocidade média. b) Caso o carro estivesse no sentido oeste-leste, como ficariam os resultados da pergunta a)?

Aceleração e aceleração média Assim como a velocidade indica uma taxa da variação da posição com o tempo, a aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com o tempo. Como a velocidade, a aceleração também é uma grandeza vetorial. Imaginem uma partícula em movimento ao longo do eixo x. Suponha que em um dato instante t1 a partícula esteja no ponto x1 e possua uma velocidade instantânea de Vx1. Em outro instante chamado de t2 a partícula está no ponto x2 e possui velocidade instantânea de Vx2. Definimos aceleração média como uma grandeza vetorial que é dada pela razão da variação da componente x da velocidade e o intervalo de tempo Δt. a = v2 – v1 = Δv t2 – t1 Δt

Como a unidade de medida da velocidade é m/s e da variação de tempo é dada em segundos, a unidade de medida que representa a aceleração ou a aceleração média de um objeto é m/s2. Podemos agora definir aceleração ou aceleração instantânea seguindo o mesmo procedimento adotado quando definimos velocidade instantânea. Imaginem que um piloto de um carro de corridas acaba de entrar na reta final do Grand Prix como ilustra a figura a seguir:

Para definir a aceleração instantânea no ponto P1, imaginamos que o ponto P2 da figura se aproxima continuamente do ponto P1, de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de tempos cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero. a = lim Δv Δt 0 Δt

Exercícios 1) A velocidade de um carro aumenta de 18 para 23 m/s em um intervalo de tempo de 5,8 s. a) Tomando a direção +x segundo a direção do percurso do carro, determine a aceleração média. b) Supondo a direção +x oposta a direção do percurso, determine a aceleração média. 2) Em um teste para um novo modelo de automóveis da empresa Motores Incríveis, o velocímetro é calibrado para ler em m/s ao invés de Km/h. A série de medidas a seguir foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada retilínea muito longa. tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22 Calcule e a aceleração média durante cada intervalo de 2 s. A aceleração é constante? Ela é constante em algum trecho do teste?

Movimento com Aceleração Constante O tipo de movimento acelerado mais simples é o movimento retilíneo com aceleração constante. Neste caso a velocidade dele varia com a mesma taxa durante todo o movimento. É um caso especial embora ocorra freqüentemente na Natureza. Por exemplo, um corpo em queda livre, que possui aceleração constante quando os efeitos da resistência do ar são desprezados. Quando a aceleração é constante a aceleração média para qualquer intervalo de tempo é a mesma que a aceleração instantânea. Logo: a = a. Assim é fácil deduzirmos equações para a posição de X e a velocidade Vx em função do tempo.

Para a aceleração média temos: a = v2 – v1 t2 – t1 Se chamarmos v2 de Vx, v1 de V0x e t2 de t e fizermos o tempo t1 = 0, teremos que: a = Vx – V0x => Vx = V0x + a.t t - 0 Da mesma forma, através de múltiplas combinações de equações, encontramos outras fórmulas que representam o movimento retilíneo com aceleração constante em função das outras grandezas como posição, velocidade e tempo.

V = Vo + (Vox + a.t) >> Sabendo-se que V = x2 – x1 t2 – t1 Se chamarmos x2 de x, x1 de xo, t1 = 0 s e t2 = t, então teremos: V = x – xo t Sabendo-se que quando a aceleração é constante, a velocidade média pode ser dada pela simples média aritmética: V = Vo + V 2 Para movimento com a aceleração constante, a velocidade pode ser encontrada a qualquer instante através da equação: V = Vox + a.t , então: V = Vo + (Vox + a.t) >>

V = Vox + ½ a.t Se V = V, então: X – Xo = Vox + 1 a.t t 2 X – Xo = (Vox + ½ a.t) . t X = Xo + Vox.t + ½ a.t2

Se isolarmos o tempo na primeira equação do movimento com aceleração constante, teremos: t = V – Vox a Substituindo essa equação na anterior que encontramos, teremos: X = Xo + Vox. (V – Vox) + ½ a . (V – Vox)2 >> a a Finalmente chegaremos a: V2 = Vox2 + 2.a.(X-Xo)

A utilização de uma ou de outra equação dependerá da necessidade apresentada na questão que estamos estudando, assim como das grandezas apresentadas.

Exercícios O movimento de um corredor pode ser aproximado por uma aceleração constante de módulo 3,4 m/s2 para os primeiros 40 m a contar da linha de partida. Qual a velocidade do corredor após percorrer? a) 20 m b) 40 m ? O motorista de um carro que percorre uma estrada retilínea a uma velocidade de 18 m/s, vê um sinal que indica o limite da velocidade de 25 m/s. O sinal está a 85 m adiante, no momento em que o motorista começa a acelerar o carro. Determine o módulo da aceleração constante que fará com que o carro passe no sinal à velocidade limite indicada.

3) Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma cidade do Estado de São Paulo e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade. Sua aceleração é constante e igual a 4 m/s2. No instante t = 0 ele está a 5,0 m a leste do sinal, movendo-se para leste a 15 m/s. a) Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s. b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s? 4) Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um porta aviões, um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de 270 km/h em uma distância aproximada de 90 m. Suponha a aceleração constante. a) Calcule a aceleração do caça em m/s2. b) Calcule o tempo necessário par ao caça atingir essa velocidade de decolagem. 5) Um antílope que se move com aceleração constante leva 7,0 s para percorrer uma distância de 70,0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segundo ponto, sua velocidade é de 15 m/s. a) Qual era a sua velocidade quando passava pelo primeiro ponto? b) Qual era a sua aceleração?

Movimento de Queda Livre Todos nós estamos familiarizados com objetos em queda, como por exemplo um peso de papel caindo de cima da mesa. Quase sempre quando descrevemos o movimento de tais objetos, podemos desprezar a resistência do ar, pelo seu valor ínfimo. Se a resistência do ar é desprezada é válido dizer então que a aceleração do objeto é única e exclusivamente por causa da gravidade. Neste caso o movimento é chamado de queda livre. Os objetos em queda livre tem uma aceleração constante para baixo. A aceleração é a mesma em qualquer ponto da queda, além disso é a mesma para qualquer tipo de objeto. O Módulo da aceleração devida a gravidade é representado pelo símbolo “g”, que na superfície da terra é: G = 9,8 m/s2

No estudo da queda livre utilizamos o eixo y ao longo da direção do movimento, com o vetor unitário j apontando para cima. A aceleração de um objeto em queda livre será: a = - g Como o movimento de queda livre é um movimento com aceleração constante, podemos utilizar as fórmulas da aceleração, fazendo a = -g e mudando a coordenada x para y:

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Quando lançamos um objeto como uma bola de beisebol para cima na vertical, com velocidade inicial V0, pode-se determinar logo duas quantidades: Tempo médio: Tempo (Tm) necessário para que a bola atinja altura máxima. Altura máxima (Hm) atingida pela bola.

Exercícios Um vaso de flores cai da janela de um segundo andar. Qual a sua velocidade quando tocar o solo 3,0 metros abaixo? Despreze a resistência do ar. Uma moeda de 1 euro é laçada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se move em queda livre. Calcular a sua posição e a sua velocidade nos instantes 1,0 s, 2,0 s, e 3,0 s.