LN: o que decorre de uma frase? TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 LN: o que decorre de uma frase? Ao traduzir LN para LPO: questão do que é ou não consequência da frase A Rita está na sala quando o Rui não está na sala ØNaSala(Rui) ® NaSala(Rita) ØNaSala(Rui) « NaSala(Rita) Na frase em LN: decorre de alguma maneira que se o Rui estiver na sala, então a Rita não estará Distinção a fazer: condições de verdade de uma afirmação outras coisas que decorrem da afirmação H.P. Grice: introduz noção de decorrência conversacional Cristina Ribeiro

Decorrência Conversacional TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Decorrência Conversacional Frase F, e conclusão C se C faz parte do significado de F: não pode ser cancelada por afirmações subsequentes û A Rita e o Rui estão na sala … mas o Rui não está na sala O Rui está na sala é parte do significado: não pode ser cancelado se C é mera decorrência de F: pode ser cancelada por afirmações subsequentes ü A Rita está na sala quando o Rui não está na sala … mas quando o Rui está na sala não sei onde está a Rita NaSala(Rita) ® ØNaSala(Rui) não faz parte do significado da afirmação: pode ser cancelado na afirmação seguinte sem contradição Cristina Ribeiro

Métodos de prova usando ® e « TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Métodos de prova usando ® e « Estritamente: podem usar-se só as regras para Ø, Ù e Ú Provas mais naturais: usam regras próprias para ® e « Passos de prova: Modus ponens ou eliminação do condicional tendo estabelecido P®Q e P pode inferir-se Q Eliminação do bicondicional tendo estabelecido Q«R ou R«Q, tendo Q pode inferir-se R Equivalências contrapositiva P®Q Û ØQ ® ØP P®Q Û ØP Ú Q Ø(P®Q) Û P Ù ØQ P«Q Û (P®Q) Ù (Q®P) P«Q Û (P Ù Q) Ú (ØP Ù ØQ) Cristina Ribeiro

Método de prova condicional TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Método de prova condicional Para provar P ® Q : Assumir P como premissa Provar Q Exemplo: A ® C é consequência de A ® B e B ® C Assumindo A: de A®B, por modus ponens infere-se B De B e B®C , por modus ponens infere-se C Provou-se C tendo assumido A, provou-se A®C Exemplo: Par(n2) ® Par(n) Assumindo Par(n2), e fazendo prova por contradição n é ímpar, n= 2m + 1 n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) +1 donde n2 é ímpar Contradiz a premissa, logo n é par Par(n2) ® Par(n) infere-se por prova condicional Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Provas com « Prova condicional: para provar P « Q Assumir P e provar Q Assumir Q e provar P Para provar Q1, Q2, Q3 todos equivalentes: Expressão em LPO: Q1 « Q2 Q2 « Q3 Q1 « Q3 Em vez de 6 provas condicionais: provar um ciclo Q1 ® Q2 Q2 ® Q3 Q3 ® Q1 Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Exemplo As condições seguintes nos números naturais são todas equivalentes: (1) n é par (2) n2 é par (3) n2 é divisível por 4 Provando (3) ® (2) ® (1) ® (3) Assumindo (3): se n2 é divisível por 4, é divisível por 2, logo (2) (2) ® (1) por contrapositiva: se n é ímpar, pode escrever-se n= 2m + 1 n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) +1 é ímpar (1) ® (3) é evidente Cristina Ribeiro

Regras de inferência para ® TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Regras de inferência para ® Eliminação do condicional (® Elim) Introdução do condicional (® Intro) P ® Q M P Q  P M Q P ® Q  Modus ponens Prova condicional Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 ® nas provas formais 1. (A Ú B) ® C 2. A 3. A Ú B Ú Intro: 2 4. C ® Elim: 1,3 5. A ® C ® Intro: 2-4 Construindo a partir da prova de ØØA a partir de A a prova do condicional A ® ØØA (sem premissas) 1. A 2. Ø A 3. A Ù ØA Ù Intro: 1,2 4. ØØA Ø Intro: 2,3 5. A ® ØØA ® Intro: 1-4 Cristina Ribeiro

Regras de inferência para « TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Regras de inferência para « Eliminação do bicondicional (« Elim) Introdução do bicondicional (« Intro) P « Q (ou Q « P ) M P Q  P M Q P « Q  Dupla prova condicional Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 « nas provas formais 1. Ø(P Ù Q) 2. ØP Ú ØQ Teor Prev(Teorema 2): 1 3. ØP Ú ØQ 4. Ø(P Ù Q) Teor Prev(Teorema 3): 3 5. Ø(P Ù Q) « (ØP Ú ØQ) « Intro: 1-2, 3-4 Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Sistema F’ Sistema F’ é equivalente a F mas permite provas mais curtas Substituição de fórmulas logicamente equivalentes em provas Substituição generalizada (Gen Sub) P « Q (ou Q « P ) M S(P) S(Q)  1. A « B 2. ØB Ú D 3. ØA Ú D Gen Sub: 1,2 1. Ø(ØP Ú ØQ) 2. Ø(P Ù Q) « (ØP Ú ØQ) Teor Prev(Teorema 2): 1 3. Ø Ø(P Ù Q) Gen Sub: 2, 1 4. P Ù Q Ø Elim:3 Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Negação generalizada P: obtido de P juntando ou apagando um número ímpar de Ø Eliminação da negação (Ø Elim) Introdução da negação (Ø Intro) Ø P M P  P M Q Ù Q  Generalização: podemos apagar negações em vez de as acrescentar, para encurtar as provas Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 ^ Contradição Introdução da contradição (^ Intro) Teorema 3 P M ^  1. ØP Ú ØQ 2. P Ù Q 3. ØP 4. P Ù Elim: 2 5. ^ ^ Intro: 4,3 6. ØQ 7. Q Ù Elim: 2 8. ^ ^ Intro: 7,6 9. ^ Ú Elim: 1, 3-5, 6-8 10. Ø(P Ù Q) Ø Intro: 2-9 Eliminação da contradição (^ Elim) ^ M P  Cristina Ribeiro