Métodos de prova com afirmações numéricas TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Métodos de prova com afirmações numéricas Métodos e regras básicas para quantificadores: suficientes Afirmações numéricas: pouco sugestivas em LPO Regras específicas clarificam significado Exemplo: Há exactamente 2 salas de aula, e cada uma tem exactamente 3 computadores. Todo o computador está numa sala de aula. Provar que existem exactamente 6 computadores Existem no máximo 6: Todo o computador tem de estar numa sala de aula Cada sala tem no máximo 3 Existem no máximo 6 nas duas salas Existem pelo menos 6: Cada sala tem pelo menos 3 (Suposição: nenhum computador pode estar em 2 salas) Há pelo menos 6 nas duas salas Existem exactamente 6 Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Provar $!n xP(x) Existem pelo menos n objectos que satisfazem P(x) Existem no máximo n objectos que satisfazem P(x) $!x[Par(x) Ù Primo(x)] Existência: 2 é par e é primo Por generalização existencial: $x[Par(x) Ù Primo(x)] Unicidade: Provar que para todo o x, se x é par e é primo então x=2 (Prova condicional geral) Supor que x é primo e par Como x é par, é divisível por 2 Como x é primo, só é divisível por si e pela unidade Então x =2 Cristina Ribeiro

F’: extensões para quantificações numéricas TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 F’: extensões para quantificações numéricas Introdução da unicidade Eliminação da unicidade P(c) P(d) M d=c $!x P(x) $!x P(x) M $x P(x)  d $!x P(x) M "y"z(P(y) Ù P(z) ® y=z)   d: não ocorre fora da prova onde foi introduzido y e z: variáveis arbitrárias que não ocorrem em P(x) Cristina Ribeiro

LPO: Limites da expressividade TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 LPO: Limites da expressividade Construções de LN que não se captam em LPO se… então tem usos que não são funcionais na verdade Quantificações diversas As expressáveis: requerem circunlóquios Não expressáveis: a maioria…, muitas…, poucos…, bastantes…, significado vago precisando o significado: ainda não é expressável Formas singulares e plurais Todos os alunos podem ter 18 a TC2 Qualquer aluno pode ter 18 a TC2 Uso do tempo verbal e da referência no espaço Em LPO: domínio intemporal de relações imutáveis Cristina Ribeiro

LPO: Limites da expressividade TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 LPO: Limites da expressividade Modalidades: pode ser…, deve ser…, poderia ter sido…, Extensões da LPO: têm soluções para as limitações Exemplo(7.29): Do facto Poucos cubos são grandes pode concluir-se Poucos cubos são cubos grandes? Exemplo(7.30): pode concluir-se Poucos objectos grandes são cubos? Exemplo(7.31): Serão equivalentes Sou capaz de comer cada uma das maçãs da taça e Sou capaz de comer todas as maçãs da taça? Cristina Ribeiro

Sintaxe versus semântica TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Sintaxe versus semântica Noções sintácticas símbolo de indivíduo predicado conectiva quantificador frase fórmula bem formada variável livre e ligada regra de inferência fórmula provável Noções semânticas indivíduo relação mundo, modelo, estrutura verdade satisfação consequência lógica fórmula válida Cristina Ribeiro