Geometria no Espaço II (11º ano)

Modos de definir um plano Um plano fica definido por: Um vector normal ao plano n (n1, n2, n3) e Um ponto do plano dado A (a1, a2, a3) Sendo P (x, y, z) um ponto qualquer do plano

Equação do plano n1x + n2y + n3z + d = 0 Sendo o vector normal ao plano: n = (n1, n2, n3)

Equação do plano Resultante de: = 0 n1(x-a1)+ n2(y-a2)+ n3(z-a3) = 0 (vectores perpendiculares, produto escalar nulo) n1(x-a1)+ n2(y-a2)+ n3(z-a3) = 0 n1x - n1a1 + n2y - n2a2 + n3z -n3a2= 0 n1x + n2y + n3z + (- n1a1 - n2a2 -n3a3 ) = 0 d (- n1a1 - n2a2 -n3a3 )

Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos Sistema impossível: 2 planos estritamente paralelos 2 vectores colineares 2 equações não equivalentes entre si

Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos Sistema impossível: (2 planos estritamente paralelos)   vectores normais e

Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos Sistema possível e indeterminado: 2 planos paralelos coincidentes 2 vectores colineares 2 equações equivalentes entre si

Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos Sistema indeterminado: (2 planos paralelos coincidentes) vectores normais e

Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos Sistema indeterminado: (2 planos intersectam-se numa recta) vectores normais e OBS: Neste caso é necessário determinar a equação da recta de intersecção

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Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema impossível 3 planos estritamente paralelos 3 vectores normais colineares 3 equações não equivalentes entre si

Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema impossível 2 planos coincidentes e paralelos ao terceiro 3 vectores normais colineares só 2 equações equivalentes

Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema impossível 2 planos estritamente paralelos e o terceiro secante aos dois só 2 vectores normais colineares e as 2 equações não equivalentes

Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema impossível nenhum plano paralelo nem coincidente nenhum vector normal colinear entre si

Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema possível e indeterminado 3 planos coincidentes 3 vectores normais colineares 3 equações equivalentes

Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema possível e indeterminado: 2 planos coincidentes e 1 secante aos dois só 2 vectores colineares só 2 equações equivalentes

3 planos secantes segundo a mesma recta não há vectores colineares Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema possível e indeterminado: 3 planos secantes segundo a mesma recta não há vectores colineares nem equações equivalentes

Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos Sistema possível e determinado: 3 planos secantes (intersectam-se num ponto) nenhum vector colinear nenhuma equação equivalente

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