EBI / JI de Santa Catarina Ano lectivo 2010/2011 7º ano Semelhanças

Noção de semelhança Diz-se que duas figuras F1 e F2 têm a mesma forma, ou que são semelhantes, se são geometricamente iguais (congruentes) ou se uma delas é uma ampliação da outra. redução original Ampliação 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Por exemplo de I para VII existe uma redução e a razão é 0,5 pois: Ampliação e redução de um polígono Página 95 – ex. 2 Numa ampliação ou numa redução há uma razão entre os comprimentos dos lados correspondentes. Por exemplo de I para VII existe uma redução e a razão é 0,5 pois: I e VII IV e V VIII e XI VIII e X e X e XI 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 95 – Tarefa 1 1. 2. A, B e E 3. 4.1. 50 x 1,5 = 75cm 4.2. 4.3. 5. 6. A, B e E 50 x 1,5 = 75cm Não, porque de A para C a altura não aumenta à mesma proporção que o comprimento. Não, porque a razão entre comprimentos é diferente da razão entre alturas. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

comprimento respectivo da figura original. Síntese: Numa ampliação ou numa redução há proporcionalidade directa entre os comprimentos dos lados correspondentes. À constante de proporcionalidade dá-se o nome de razão de semelhança. Esta obtém-se tomando a razão entre um comprimento da nova figura e o comprimento respectivo da figura original. • Numa ampliação, a razão de semelhança é maior que 1. r > 1 • Numa redução, a razão de semelhança é menor que 1. r < 1 • Se os polígonos são geometricamente iguais, a razão de r = 1 semelhança é igual a 1. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Construção de uma ampliação a partir de grelhas quadriculadas 2 Como desenhar uma figura semelhante a A, de razão de semelhança 2? 1 6 2 4 3 1 2 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 99 – Tarefa 2 1.2. Exercício 1 1.1. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 99 – Tarefa 2 Exercício 2 2.1. 2.2. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Construção de ampliações e reduções a partir de um ponto Para construir uma ampliação de razão 2, da figura apresentada, a partir de um ponto, são necessários os seguintes procedimentos: 1 2 3 4 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 97 – ex. 5 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 99 – ex. 7 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 100 – Tarefa 3 – ex.1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. R: As dimensões da cozinha são: 1,6cm de largura e 2cm de comprimento. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 100 – Tarefa 3 – ex.2 2.1. 2.2. 200 200 200 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Polígonos semelhantes Dois polígonos P1 e P2 são semelhantes se e só se: os comprimentos dos lados são, dois a dois, directamente proporcionais; os ângulos correspondentes são iguais. Os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes? Sim, os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes porque têm: comprimentos dos lados correspondentes directamente proporcionais ângulos correspondentes iguais 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 101 – exercício 10 10.1 10.2 Resposta – A constante de proporcionalidade é 1,5. Resposta – O perímetro do polígono EFGH é 27 cm. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 102– tarefa 4 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Observa os seguintes rectângulos semelhantes: A razão de semelhança do 1º para o 2º rectângulo é 2 ( 4  2 = 2 ). O perímetro do 1º rectângulo é 6 cm ( 2 + 1 + 2 + 1 = 6 cm ). O perímetro do 2º rectângulo é 12 cm ( 4 + 2 + 4 + 2 = 12 cm ). A razão de perímetros do 1º para o 2º rectângulo é 2 ( 12  6 = 2 ). A razão de perímetros é igual à razão de semelhança. ( rp = r ) A área do 1º rectângulo é 2 cm ² ( 2  1 = 2 cm ²). A área do 2º rectângulo é 8 cm ² ( 4  2 = 8 cm ²). A razão de áreas do 1º para o 2º rectângulo é 4 ( 8  2 = 4 ). A razão de áreas é igual à razão de semelhança ao quadrado. ( ra = r²) 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 103 – exercício 15 No caso geral: Dados dois polígonos semelhantes P1 e P2 , em que P2 é uma ampliação de P1 de razão r, em relação aos perímetros e às áreas destes dois polígonos tem-se: - O perímetro de P2 é r vezes o perímetro de P1; - A área de P2 é r² vezes a área de P1. Página 103 – exercício 15 15.1 15.2 15.3 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Semelhança de triângulos No caso dos triângulos, são apresentadas a seguir critérios mais simples para que se possa concluir que são semelhantes. Esses critérios são conhecidos por critérios de semelhança de triângulos. Critério AA Dois triângulos são semelhantes se e só se, de um para o outro, tiverem dois ângulos congruentes. Critério LAL Dois triângulos são semelhantes se e só se de um para o outro, tiverem um ângulo igual e os lados que o formam directamente proporcionais. Notação - Se dois triângulos ABC e DEF são semelhantes, escreve-se: 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 106 – exercício 17 Página 106 – exercício 18 17.1 17.2 Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm dois ângulos iguais: Página 106 – exercício 18 18.1 18.2 18.2.1 18.2.2 Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm um ângulo igual e os lados que o formam proporcionais. 8,1 cm 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 107 – exercício 19 Critério LLL Dois triângulos são semelhantes se e só se, de um para o outro, tiverem os três lados directamente proporcionais. Página 107 – exercício 19 Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm os três lados directamente proporcionais. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 107 – exercício 20 Logo, Porque de um para o outro têm dois ângulos congruentes. Porque de um para o outro têm os três lados directamente proporcionais. 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 109 – exercício 23 Página 110 – exercício 24 Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, logo: Altura do poste: Página 110 – exercício 24 Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, logo: Altura da torre: 7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Página 111 – tarefa 13 – ex.1 Página 112 – tarefa 14 – ex.1 Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, logo: Altura da casa: Página 112 – tarefa 14 – ex.1 Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, logo: Altura do prédio: 6 + 2 = 8 m 7º ano Unidade 7 - Semelhanças