Progressões aritméticas e geométricas Prof. Jorge

Quem levou vantagem? Denise e Pedro são colegas. No ano passado, cada um recebia 200,00 reais de mesada. Este ano, eles fizeram aos pais propostas diferentes. A mesada começaria pequena e aumentava mês a mês. Prof. Jorge

Quem levou vantagem? Denise queria receber 10,00 reais em janeiro e, a cada um dos meses seguintes, 30,00 reais a mais que no mês anterior. Já a proposta de Pedro era receber só 1 real em janeiro e, em cada um dos meses seguintes, o dobro do mês anterior. Prof. Jorge

Quem levou vantagem? Os pais acharam as propostas interessantes e toparam. No acumulado do ano, Denise e Pedro levaram vantagem? A resposta a essa pergunta você vai encontrar no estudo das progressões. Prof. Jorge

Sucessão ou seqüência Prof. Jorge

Sucessão ou seqüência (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista dos seis primeiros classificados no campeonato brasileiro de futebol, edição 2007. Classificação Time 1 Primeiro lugar São Paulo (SP) 2 Segundo lugar Cruzeiro(CZ) 3 Terceiro lugar Grêmio (GE) 4 Quarto lugar Palmeiras (PA) 5 Quinto lugar Fluminense (FL) 6 Sexto lugar Santos (SN) (CZ, FL, GE, PA, SN, SP) (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) Prof. Jorge

Sucessão ou seqüência (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) Veja os elementos da sucessão ou seqüência. (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) Cada time é um termo da seqüência; O critério ordem de classificação identifica qual é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o sexto; Na representação de uma sucessão, os termos aparecem entre parênteses, ordenados e separados por vírgulas. Prof. Jorge

Sucessão ou seqüência Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número de alunos do 1º. Ano que perderam média em Matemática, em cada uma das três etapas de 2007. 1 2 3 Etapa 1.ª 2.ª 3.ª No. de alunos 18 15 11 Os números da última linha formam a seqüência ou sucessão (18, 15, 11) O critério ordem cronológica identifica qual é o primeiro, o segundo e o terceiro termo; Prof. Jorge

Definição Sucessão ou seqüência é toda lista de termos em que se distinguem, a partir de um determinado critério bem definido, o primeiro, o segundo, o terceiro, etc. Numa seqüência, duas coisas são importantes: Os termos que a compõem; A ordem em que eles aparecem, a partir de um critério pré-estabelecido; Prof. Jorge

Seqüências numéricas Vamos dar ênfase às seqüências numéricas. São aquelas cujos termos são números reais. Uma seqüência pode ser finita e infinita. A seqüência (18, 15, 11) é uma seqüência numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro). A seqüência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números naturais pares é uma seqüência infinita. Não existe o maior número natural par. Prof. Jorge

Seqüências numéricas - representação De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. a1 → primeiro termo a2 → segundo termo O índice indica a posição do elemento na seqüência. a3 → terceiro termo a4 → quarto termo ........................................ an → enésimo termo ou termo geral Prof. Jorge

Seqüências numéricas - representação De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. (a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma secessão finita (a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma secessão infinita Prof. Jorge

Exemplo Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: a1 = 1 a3 = 5 a6 = 11 Prof. Jorge

Sucessão definida pelo seu termo geral Prof. Jorge

Definição Uma sucessão numérica é uma função de variável natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos números reais. O domínio da variável n é O conjunto N*, se a sucessão é infinita; O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é finita, com n termos. Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an. Prof. Jorge

Exemplo Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a1 = 1 n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a2 = 3 n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a3 = 5 n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a4 = 7 n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a5 = 9 .................................................. Prof. Jorge

Termo geral Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu termo geral an. No caso, o enésimo termo é expressão em função da variável natural n ≠ 0. Prof. Jorge

Exemplo O termo geral de uma sucessão é an = n2 + 2n. Obter os termos a2 e a7. Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição. Em an = n2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7. n = 2 ⇒ a2 = 22 + 2.2 ⇒ a2 = 4 + 4 = 8 n = 7 ⇒ a2 = 72 + 2.7 ⇒ a2 = 49 + 14 = 63 Fazendo an = 48, n2 + 2n = 48 ⇒ n2 + 2n – 48 = 0 ⇒ n’ = –8 (F) ⇒ n” = 6 ⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a6 = 48. Prof. Jorge

Sucessão definida por uma lei de recorrência Prof. Jorge

Lei de recorrência Seqüências numéricas costumam ser definidas, às vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são dados. Um dos termos (em geral, o primeiro); Uma lei que permita obter cada um dos demais termos, recorrendo-se a termos anteriormente calculados. Prof. Jorge

Exemplos Obter os cinco primeiros termos da sucessão numérica infinita, definida pela lei de recorrência. a1 = 3 an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1 n = 1 ⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = 2.3 + 1 ⇒ a2 = 7 n = 2 ⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = 2.7 + 1 ⇒ a3 = 15 n = 3 ⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = 2.15 + 1 ⇒ a4 = 31 n = 4 ⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = 2.31 + 1 ⇒ a5 = 63 (3, 7, 15, 31, 63) Prof. Jorge

Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. a) (2, 7, 12, 17, ...) 22 e 27. b) (1, 8, 27, 64, ...) 125 e 216. c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...) 1 e 162. d) (3, 6, 12, 24, ...) 48 e 96. e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 21 e 34. f) (0, 3, 8, 15, 24, ...) 35 e 48. Prof. Jorge

Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. g) 1 2 3 4 5 6 , , , , ... , 4 9 16 25 36 49 1 4 11 29 76 199 h) , , , , ... , 3 7 18 47 123 322 i) (Ana, Gustavo, Bárbara, Hugo, Bruna, ...) João, Camila Prof. Jorge

Progressões aritméticas Prof. Jorge

Progressão aritmética Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção. 15 19 23 27 31 35 ... +4 +4 +4 +4 +4 +4 (15, 19, 23, 27, 31, 35, ...) A constante 4 é a razão da seqüência. Prof. Jorge

Definição an = an - 1 + r ⇒ an – an - 1 = r Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica em que cada termo (a partir do segundo) é a soma do antecessor com uma constante r, chamada razão da P.A. Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência an = an - 1 + r ⇒ an – an - 1 = r Portanto, a razão r é a diferença entre um termo qualquer e o anterior. r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... Prof. Jorge

Exemplos (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3 Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente. Prof. Jorge

Exemplos (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita. Ela é decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: r = 5,5 – 6 = 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5 = –0,5 Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente. Prof. Jorge

Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: r = 3 – 3 = 0 Em geral, se r = 0 a P.A. é constante. Prof. Jorge

Exemplos Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m e a razão da P.A. Na sucessão, a1 = 2, a2 = m + 1 e a3 = 3m – 4 Se ela é uma P.A., deve ser: a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1) ⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4 ⇒ m = 4 Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3. Prof. Jorge

Observação Da definição de P.A. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media aritmética dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3, a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ 2a2 = a1 + a3 a1 + a3 a2 = 2 Prof. Jorge

Termo geral de uma P.A. Prof. Jorge

Termo geral da P.A. Numa progressão aritmética o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeiro termo e da razão. Prof. Jorge

Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo. a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... +r +r +r +r +r +r Note que “saltar” de um termo para o seguinte signifi-ca somar a razão. De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1 + r De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1 + 2r De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1 + 3r E assim por diante. Prof. Jorge

Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo. a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... +r +r +r +r +r +r De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, são (n – 1) saltos. an é o enésimo termo an = a1 + (n – 1)r n é a posição do termo Prof. Jorge

Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r Saltar para o termo seguinte é somar a razão; saltar para o termo anterior é subtrair a razão. Prof. Jorge

Exemplos –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r De a1 para a15 são 15 – 1 = 14 saltos a15 = a1 + 14r ou a1 = a15 – 14r De a8 para a12 são 12 – 8 = 4 saltos a12 = a8 + 4r ou a8 = a12 – 4r Prof. Jorge

Exemplos –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r De a10 para a13 são 13 – 10 = 3 saltos a13 = a10 + 3r ou a10 = a13 – 3r De a23 para a37 são 37 – 23 = 14 saltos a37 = a23 + 14r ou a23 = a37 – 14r Prof. Jorge

Exemplos Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo e o termo geral an. Na sucessão, a1 = –2 e r = 4 – 1 = 3 a15 = a1 + 14r = –2 + 14.3 = –2 + 42 ⇒ a15 = 40 an = a1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3 ⇒ an = –2 + 3n – 3 ⇒ an = –5 + 3n Prof. Jorge

Exemplos A sucessão infinita de termo geral an = 7 – 5n é uma P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir deles, a razão da P.A. Em an = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10. a3 = 7 – 5.3 = 7 – 15 ⇒ a3 = –8 a10 = 7 – 5.10 = 7 – 50 ⇒ a10 = –43 a10 = a3 + 7.r ⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43 ⇒ –7r = + 35 ⇒ r = –5 Prof. Jorge

Exemplos Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos? O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99) Na sucessão, a1 = 12, r = 3 e an = 99. an = a1 + (n – 1)r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3 ⇒ 99 = 12 + 3n – 3 ⇒ 99 = 9 + 3n ⇒ 90 = 3n ⇒ n = 30 Prof. Jorge

Soma dos termos na P.A. Prof. Jorge

Soma dos termos na P.A. O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes contribuições ao desenvolvimento das idéias matemáticas. Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de dez anos de idade. Certo dia, numa aula de matemática, o professor pediu que seus alunos obtivessem a soma dos números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava Gauss. Prof. Jorge

Soma dos termos na P.A. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100? 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 101 101 101 101 S = 101 . 50 = 5 050 Observe que as parcelas da soma de Gauss formam uma P.A. (Nela a1 = 1, a100 = 100 e r = 1). Prof. Jorge

Soma dos termos na P.A. Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n termos, (a1 a2 a3 a4 ... an-3 an-2 an-1 an) n termos a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = a4 + an–3 = ... a1 + an Sn = (a1 + an). n Sn = .n 2 2 Prof. Jorge

Exemplos Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares, sem adicioná-los um a um. Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (1, 3, 5, 7, 9, ...) a30 = a1 + 29r ⇒ a30 = 1 + 29.2 ⇒ a30 = 59 a1 + a30 1 + 59 ⇒ S30 = 900 S30 = .n = . 30 2 2 Prof. Jorge

Exemplos Calcular a soma 2 + 5 + 8 + ... + 62, sabendo-se que as parcelas formam uma P.A. Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A. an = a1 + (n – 1).r ⇒ 62 = 2 + (n – 1).3 ⇒ 62 = 2 + 3n – 3 ⇒ 63 = 3n ⇒ n = 21 a1 + a21 2 + 62 ⇒ S21 = 672 S21 = .n = . 21 2 2 Prof. Jorge

Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). an = a1 + (n – 1).r ⇒ x = 3 + (n – 1).1 ⇒ x = 3 + n – 1 ⇒ x = n + 2 Prof. Jorge

Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). a1 + an 3 + x Sn = .n ⇒ . n = 150 2 2 3 + n + 2 ⇒ . n = 150 ⇒ n = 15 e x = 17 2 Prof. Jorge

Progressões geométricas Prof. Jorge

Progressão aritmética Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias, em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a quantidade delas dobrava. 05 10 20 40 80 160 ... .2 .2 .2 .2 .2 .2 (5, 10, 20, 40, 80, 160, ...) A constante 2 é a razão da seqüência. Prof. Jorge

Definição an = an - 1 . q ⇒ an/an - 1 = q Progressão geométrica (PG) é toda sucessão numérica de termos não-nulos em que cada termo (a partir do segundo) é produto do seu antecessor com uma constante q, chamada razão da P.G. Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência an = an - 1 . q ⇒ an/an - 1 = q Portanto, a razão q é o quociente entre um termo qualquer e o anterior. q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... Prof. Jorge

Exemplos (2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3 Em geral, se a1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente. Em geral, se a1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente. Prof. Jorge

Exemplos (40, 20; 10, 5, ...) É uma P.G. infinita e decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: q = 20/40 = 10/20 = 5/10 = 0,5 Em geral, se a1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é decrescente. Em geral, se a1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente. Prof. Jorge

Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.G. infinita e constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: q = 3/3 = 1 Em geral, se q = 1 a P.G. é constante. Prof. Jorge

Exemplos (3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante, porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua razão é: q = –6/3 = 12/–6 = –24/12 = 48/–24 = –2 Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante. Prof. Jorge

Exemplos Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x. Na sucessão, a1 = x, a2 = x + 3 e a3 = 2x + 14 Se ela é uma P.G., deve ser: a2/a1 = a3/a2 x + 3 2x + 14 = ⇒ (x + 3)2 = x(2x + 14) x x + 3 ⇒ x2 + 6x + 9 = 2x2 + 14x ⇒ x2 + 8x – 9 = 0 (1, 4, 16) q = 4 (–9, –6, –4) q = 2/3 ⇒ x’ = –9 ou x” = 1 Prof. Jorge

Observação Da definição de P.G. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media geométrica dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3, a2 a3 = ⇒ (a2)2 = a1 . a3 a1 a2 Prof. Jorge

Termo geral de uma P.G. Prof. Jorge

Termo geral da P.G. Numa progressão geométrica o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão geométrica, a partir do primeiro termo e da razão. Prof. Jorge

Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo. a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... .q .q .q .q .q .q Agora “saltar” de um termo para o seguinte significa multiplicar pela razão. De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1.q De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1.q2 De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1.q3 E assim por diante. Prof. Jorge

Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo. a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... .q .q .q .q .q .q De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, são (n – 1) saltos. an é o enésimo termo an = a1.qn–1 n é a posição do termo Prof. Jorge

Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. :q :q :q :q :q :q a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... .q .q .q .q .q .q Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela razão; saltar para o termo anterior é dividir pela razão. Prof. Jorge

Exemplos :q :q :q :q :q :q a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... .q .q .q .q .q .q De a1 para a18 são 18 – 1 = 17 saltos a18 = a1.q17 ou a1 = a18:q17 De a5 para a11 são 11 – 5 = 6 saltos a11 = a5.q6 ou a5 = a11:q6 Prof. Jorge

Exemplos :q :q :q :q :q :q a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... .q .q .q .q .q .q De a13 para a16 são 16 – 13 = 3 saltos a16 = a13.q3 ou a13 = a16:q3 De a11 para a37 são 37 – 11 = 26 saltos a37 = a11.q26 ou a11 = a37:q26 Prof. Jorge

Exemplos Na P.G. (3, 6, 18, ...) achar o oitavo termo e o termo geral an. Na sucessão, a1 = 3 e q = 6/3 = 2 a8 = a1.q7 = 3.27 = 3 . 128 ⇒ a8 = 384 an = a1.qn–1 ⇒ an = 3.2n–1 Prof. Jorge

Exemplos Obter a razão q e o termo a12 da P.G. crescente na qual a6 = 12 e a10 = 48. De a6 até a10 são 10 – 6 = 4 saltos. ⇒ a10 = a6.q4 ⇒ 48 = 12.q4 ⇒ q4 = 4 ⇒ q = ± √2 para q = –√2, a P.G. seria oscilante, logo q = √2 ⇒ a12 = a10.q2 = 48.(√2 )2 ⇒ a12 = 96 Prof. Jorge

Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920 sócios? Veja o que ocorre, por exemplo, até março. mês antigos novos Total a1 1. Janeiro 20 – 20 a2 2. Fevereiro 20 60 80 a3 3. Março 80 240 320 Prof. Jorge

Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920 sócios? Os totais de sócios mês a mês formam a P.G. (20, 80, 240, ...), de razão q = 4. an = a1.qn–1 ⇒ 81 920 = 20.4n–1 ⇒ 4n–1 = 4 096 ⇒ 4n–1 = 46 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7 O clube terá 81 920 sócios em julho (mês 7). Prof. Jorge

Exemplos Numa P.G. oscilante, a4 + a6 = 40 e a2 + a4 = 10. Calcular o primeiro termo e a razão. Vamos escrever cada termo em função do primeiro termo a1 e da razão q. a4 + a6 = a1.q3 + a1.q5 = 40 ⇒ a1.q3(1 + q2) = 40 a2 + a4 = a1.q + a1.q3 = 10 ⇒ a1.q(1 + q2) = 10 a1.q3(1 + q2) = 40 ⇒ q2 = 4 ⇒ q = ±2 a1.q(1 + q2) = 10 P.G. oscilante q = –2, então a1 = –1. Prof. Jorge

Soma dos termos na P.G. Prof. Jorge

Soma finita dos termos de uma P.G. Podemos obter, também, a soma dos n termos de uma P.G. finita, de forma bem simples. Não precisamos para isso, conhecer os valores de todos os seus termos a serem somados. Prof. Jorge

Soma finita na P.G. constante (q = 1) Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a soma dos n primeiros termos. Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3, ...), a soma dos 8 primeiros termos é S8 = 8.3 = 24 A soma dos 20 primeiros termos é S20 = 20.3 = 60 Prof. Jorge

Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1) Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210. A expressão (21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210) representa a soma dos dez termos de uma P.G., onde a1 = 2 e q = 2. S = 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210 (A) 2.S = 2.21 + 2.22 + 2.23 + ... + 2.29 + 2.210 2.S = 22 + 23 + 24 + ... + 210 + 211 (B) Prof. Jorge

Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1) Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210. Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A). 2.S – S = 211 – 21 ⇒ S = 211 – 21 ⇒ S = 2048 – 2 = 2046 Prof. Jorge

Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1) De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de uma P. G., não-constante (q ≠ 1) é dado por Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (1) q.Sn = a1.q + a2.q+ a3.q+ ... + an–1.q + an.q q.Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an + 1 (2) q.Sn – Sn = an+1 – a1 ⇒ Sn.(q – 1) = a1.qn – a1 a1.(qn – 1) Sn = (q ≠ 1) q – 1 Prof. Jorge

Exemplos Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ...), sem adicioná-los um a um. Na P.G., temos a1 = 2 e q = 3. queremos S8. a1.(q8 – 1) 2.(38 – 1) S8 = = = 38 – 1 = 6 560 q – 1 3 – 1 Prof. Jorge

Exemplos Em janeiro, uma empresa fabricou 20 000 unidades de um certo produto. Nos meses seguintes, a produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção acumulada de janeiro a abril? A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%), logo forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a1 = 20 000. a1.(q4 – 1) 20 000.(1,14 – 1) S4 = = q – 1 1,1 – 1 20 000.(1,4641 – 1) = = 92 820 0,1 Prof. Jorge

Somas convergentes numa P.G. infinita Prof. Jorge

Somas convergentes na P.G. infinita Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços de 8 m cada um e colocou-os lado a lado. 8 m 8 m Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente, obtendo 3 partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado. 8 m 4 m 4 m Prof. Jorge

Somas convergentes na P.G. infinita Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio, mais uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m, uma de 4 m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas foram postas lado a lado. 8 m 4 m 2 m 2 m Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com ela por muito tempo. Sempre um dos pedaços menores era dividido ao meio. Prof. Jorge

Somas convergentes na P.G. infinita Continuando infinitamente esse processo, observa- mos: O total de pedaços obtidos é infinito; O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a metade do anterior). A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos termos de uma P.G. infinita: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... a1 = 8 e a q = 0,5. Quanto mais parcelas são somadas, cada vez mais a soma se aproxima de 16. Prof. Jorge

Somas convergentes na P.G. infinita Uma P.G. é convergente, se a soma dos seus infinitos termos tender para um determinado número. Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim Sn. 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... Lim Sn = 16 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... = 16 A soma dos termos de uma P.G. infinita é convergente ⇔ 0 < | q | < 1. Prof. Jorge

Exemplos A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... É convergente a razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1. A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0,125 + ... É convergente a razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1. A soma 1 + 3 + 9 + 27 + ... Não é convergente a razão da P.G. q = 3, q > 1. Prof. Jorge

Somas convergentes na P.G. infinita De maneira Geral. O limite da soma dos termos de uma P. G. infinita é dado por n qn a1.(qn – 1) Sn = q – 1 1 0,51 = 0,5 ⇒ 2 0,52 = 0,25 a1.(0 – 1) 3 0,53 = 0,125 Sn = q – 1 4 0,54 = 0,0625 ⇒ 5 0,55 = 0,03125 a1 ... .... Lim Sn = 1 – q n → ∞ qn → 0 Prof. Jorge

Exemplos Na soma infinita 18 – 12 + 8 – 16/3 + ..., as parcelas estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente e calcular seu valor. Na P.G. a razão q = –2/3. 0 < | q | < 1. A soma é convergente a1 18 18 Lim Sn = = = 1 – q 1 + 2/3 5/3 3 = 18 . = 10,8 5 Prof. Jorge

Exemplos Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a fração geratriz da dízima periódica 2,533333... A dízima é igual à seguinte soma infinita: 2,5 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ... P.G. infinita: a1 = 0,03 e q = 0,1. a1 0,03 0,03 Lim Sn = = = = 1/30 1 – q 1 – 0,1 0,9 2,53333... = 2,5 + 1/30 = 38/15 Prof. Jorge

Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser? Prof. Jorge

Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser? As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8, ...) convergente de a1 = 90 e q = 0,85. a1 90 90 Lim Sn = = = = 600 cm 1 – q 1 – 0,85 0,15 Prof. Jorge