Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009 Dualidade Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009

O problema Dual Certas vezes estamos interessados em encontrar uma estimativa da solução ótima em vez de encontrá-la, utilizando o método Simplex. Isto pode ser obtido através da procura de valores limites inferiores (para maximização) ou superiores (para minimização).

O problema Dual Por exemplo: Por tentativa podemos estabelecer soluções viáveis para os problemas a seguir:

O problema Dual Min Z = 5x1 - 2x2 Sujeito a: x1 ≤ 3 solução (2,2) Z* ≤ 6 x2 ≤ 4 solução (1,3) Z* ≤ -1 x1 + 2x2 ≤ 9 solução (3,2) Z* ≤ 11 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Max Z = 5x1 + 2x2 x1 ≤ 3 solução (2,2) Z* ≥ 14 x2 ≤ 4 solução (1,3) Z* ≥ 11 x1 + 2x2 ≤ 9 solução (3,2) Z* ≥ 19

O problema Dual No caso maximização, quando consideramos x1 = 2 e x2=2, o valor do limite inferior, Z = 14, fica automaticamente estabelecido, já que, como desejamos maximizar a função objetivo, podemos garantir que a função objetivo não ficará abaixo deste valor. Não podemos garantir se existe uma solução com um valor maior, porém menor não será.

O problema Dual No caso da minimização, quando x1 = 2 e x2 = 2, o valor do limite superior, Z = 6, fica estabelecido. Não podemos garantir que existe uma solução onde o valor de Z seja menor, porém maior não será.

O problema Dual O ideal seria estabelecer um intervalo onde podéssemos garantir que o nosso valor ótimo estivesse. Então vamos através do problema de maximização tentar estabelecer um limite superior para a nossa solução.

O problema Dual Max Z = 5x1 + 2x2 Sujeito a: x1 ≤ 3 x2 ≤ 4 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Se multiplicarmos por 5 todos os valores da 3ª restrição, não alteraríamos a sua identidade e teriamos:

O problema Dual 5x1 + 10x2 ≤ 45 Como os coeficiente da restrição acima são maiores que os coeficientes da função objetivo então 5x1 + 2x2 ≤ 5x1 + 10x2 ≤ 45 Logo a função objetivo não poderá alcançar nenhum valor superior a 45

O problema Dual Conclusão 1: a multiplicação de uma restrição por um valor positivo pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema

O problema Dual Agora multiplicando a primeira restrição por 6 e a segunda por 3, e somando os resultados. 6x1 ≤ 18 + 3x2 ≤ 12 6x1 + 3x2 ≤ 30 Novamente os coeficiente da restrição acima são maiores que os coeficientes da função objetivo então 5x1 + 2x2 ≤ 6x1 + 3x2 ≤ 30 Logo a função objetivo não poderá alcançar nenhum valor superior a 30 (novo limite superior)

O problema Dual Conclusão 2: Multiplicar cada restrição por uma constante inteira positiva e somar as novas restrições pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema

O problema Dual Generalizando temos: Max Z = 5x1 + 2x2 Sujeito a: x1 ≤ 3 x (y1)  y1x1≤ 3y1 x2 ≤ 4 x (y2)  y2x2≤ 4y2 x1 + 2x2 ≤ 9 x (y3)  y3x1 + 2y3x2 ≤ 9y3 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Após multiplicarmos cada restrição por uma constante positiva, somamos as restrições:

O problema Dual y1x1 +y2x2 + y3x1 + 2y3x2 ≤ 3y1 +4y2 + 9y3 (y1 + y3)x1 +(y2 + 2y3)x2 ≤ 3y1 +4y2 + 9y3 Como devemos garantir que os coeficientes da restrição acima são maiores que o coeficientes da função objetivo, então temos: Z = 5x1 + 2x2 Logo: y1 + y3 ≥ 5 y2 + 2y3 ≥ 2

O problema Dual Portanto, se encontrarmos um conjunto de valores {y1, y2, y3} (constantes não negativos) que satisfaçam o conjunto de inequações acima, poderíamos substituir estes valores no lado esquerdo da inequação e estabelecer um limite superior para o nosso problema. O que desejamos na realidade é estabelecer o menor valor possível para o nosso limite superior. Isto matematicamente pode ser representado por:

O problema Dual Min 3y1 +4y2 + 9y3 S.a: y1 + y3 ≥ 5 y2 + 2y3 ≥ 2

O problema Dual De modo geral, podemos dizer que a todo problema de maximização de programação linear na forma padrão corresponde um problema de minimização denominado Problema Dual PRIMAL DUAL Min 3y1 +4y2 + 9y3 S.a: y1 + y3 ≥ 5 y2 + 2y3 ≥ 2 y1, y2 , y3 ≥ 0 Max Z = 5x1 + 2x2 Sujeito a: x1 ≤ 3 x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 9 x1≥ 0 e x2 ≥ 0

O problema Dual De uma forma geral: Primal Dual Max Min

O problema Dual Existe uma série de relações entre o Primal e o Dual, entre as quais podemos citar: Os termos constantes da restrições do Dual são os coeficientes das variáveis da função objetivo do Primal; Os coeficientes das variáveis da função objetivo do Dual são os termos constantes das restrições do Primal; As restrições do Dual são do tipo maior ou igual, ao passo que as do Primal são do tipo menor ou igual (na forma padrão); O número de variáveis do Dual é igual ao número de restrições do Primal; O número de restrições do Dual é igual ao número de variáveis do Primal A matriz dos coeficientes do Dual é a transposta da matriz dos coeficientes do Primal

O problema Dual Existem algumas razões parra o estudo dos problemas duais. A primeira e mais importante são as interpretações econômicas que podemos obter dos valores das varáveis do Dual na solução ótima, tais como variações marginais. A segunda está ligada ao número de restrições. Computacionalmente falando é, algumas vezes, mais eficiente resolver o problema Dual.

O problema Dual Teorema I O dual do dual é o primal. Teorema II Se a k-ésima restrição do primal é uma igualdade, então a k-ésima variável do dual (yk) é sem restrição de sinal, isto é, pode ter valor positivo, zero ou negativo. Teorema III Se a p-ésima variável do primal é sem restrição de sinal, então a p-ésima restrição do dual é uma igualdade.

O problema Dual Propriedade Fraca da Dualidade Se o problema Primal e o Dual tiverem soluções compatíveis finitas, então Z ≤ D para qualquer solução compatível do Primal e qualquer solução compatível do Dual. Matematicamente

O problema Dual Propriedade Forte da Dualidade Se tanto o Primal quanto o Dual tiverem soluções compatíveis finitas, então existe uma solução ótima finita para cada um dos problemas, tal que Z* = D* Matematicamente

O problema Dual Teorema da Dualidade Dual Primal Tem Soluções Viáveis Sem Soluções Viáveis Ótima Ilimitada Inviável Possível Impossível

Exercício Dado o problema abaixo, ache o seu dual e resolva o dual através do método tablau-simplex (use o método da função objetivo artificial). Max Z = 5x1 + 6x2 sa: x1 + 2x2 ≤ 14 x1 + x2 ≤ 9 7x1 + 4x2 ≤ 56 x1 e x2 ≥ 0

Referências LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. São Paulo: Campus, 2006.