Noções de Geodésia E Projeção UTM Prof. Geraldo Passos Amorim

Forma Física da Terra GeóideElipsóide Sistema de Referência

A Terra, ao longo da história já foi concebida sob diversas formas, entre elas: uma superfície totalmente plana um disco plano circundado por água etc. Forma Física da Terra uma esfera é a que mais se aproxima da realidade Pitágoras, p or ser um matemático acreditava que os deuses criou a Terra esférica, por ser esse sólido uma superfície matematicamente perfeita.

A Terra plana ou esférica oferecem aproximações aceitáveis para determinados fins. Para a Topografia, a Terra é considerada plana; Para cálculos astronômicos e de navegação, a Terra é considerada uma esfera. Forma Física da Terra Para a Geodésia, Terra é considerada sob sua forma real; A forma real é uma superfície não matematizável; O que consideramos Forma Física da Terra é a figura irregular representada por sua real superfície topográfica

A teoria de Aristóteles preconizava a total imobilidade da Terra; A teoria de Copérnico previa o movimento de rotação e translação da Terra, a partir dessa teoria Newton concebeu uma nova forma para o planeta. Conforme a teoria de Newton, o giro em torno de um eixo polar acarretaria um achatamento nos pólos e um alongamento na região equatorial da esfera. Elipse

Em 1718, o francês Cassini supôs ser mais provável um achatamento equatorial e um alongamento nos pólos, idéia frontalmente antagônica à teoria de Newton. Elipse Em 1735, os franceses fizeram medições de arcos de meridiano nas proximidades do equador e do circulo ártico: A primeira encontrou o valor de ,00m para o arco de 1 o (um grau) próximo ao Equador A segunda encontrou o valor de ,00m para o mesmo arco próximo ao circulo ártico

Arcos de meridianos nas proximidades do equador e no círculo ártico

A forma geométrica que mais se aproxima da forma real da Terra é o elipsóide de revolução; Elipsóide de revolução é um sólido gerado pela revolução de uma elipse em torno do seu eixo menor; A Geodésia se encarrega de referir os pontos da superfície física da Terra à superfície do elipsóide, assim os pontos poderiam ser relacionados matematicamente. Elipsóide de Revolução

Duas seções normais principais são definidas a partir de um ponto qualquer do elipsóide. Considerada a reta normal ao elipsóide passante, a primeira seção é aquela obtida por um plano contendo esta reta e perpendicular ao plano YZ (figura ), chamada seção primeiro vertical, cujo raio de curvatura é representado pela letra N, como visto na figura. A Segunda é aquela obtida por um plano contendo esta reta e o semi-eixo menor do elipsóide, chamada seção meridiana, cujo raio de curvatura é representado pela letra M, e que seria o raio de circunferência que se aproximasse da seção (no caso uma elipse) nas proximidades do ponto considerado. Seções Normais do Elipsóide

Elementos do elipsóide

Elementos da elipse a = semi-eixo maior b = semi-eixo menora = semi-eixo maior b = semi-eixo menor f = achatamento = (a-b)/af = achatamento = (a-b)/a Parâmetros mais freqüentes: a e 1/fParâmetros mais freqüentes: a e 1/f Semi- eixo menor Semi- eixo maior

Elipse 3D: um Elipsóide Semi-eixo menor E Elipse rotacionada em torno do semi-eixo menor (polar) para obter um elipsóide 3D S Semi-eixo maior: eixo equatorial

Diversos elipsóides usualmente têm sido empregados em Geodésia para representar geometricamente a forma aproximada da Terra. Seus achatamentos são da ordem de 1/300. Um elipsóide com esse achatamento traria dificuldades para ser desenhado entre a esfera, que tem achatamento zero, e aquele de achatamento 1/50. A figura 3 ilustra o quão próximos da esfera são os elipsóides usados em geodésia. Achatamento dos Elipsóides

Uma terceira superfície é definida a partir do conceito de campo gravitacional da Terra, considerada esta como uma concentração de massas. Em torno desta concentração de massas existem infinitas superfícies equipotenciais. Cada superfície eqüipotencial por definição, é representada por pontos que têm o mesmo potencial gravitacional. Devido à distribuição não homogênea de massas, essas superfícies são irregulares e, segundo a Teoria do Potencial, são perpendiculares, em todos os seus pontos, às linhas de força do campo, denominadas genericamente de verticais. Uma particular superfície entre essas é aquela cujo potencial é o mesmo de um ponto situado na posição média do nível dos mares. Superfície Eqiipotencial

A superfície eqüipotenciall assim definida é denominada Geóide e utilizada como referência para levantamentos altimétricos, influindo, portanto, nas reduções das medições executadas diretamente sobre o terreno. De modo não preciso, pode-se dizer que o geóide é representado pelo nível médio dos oceanos, considerados hipoteticamente em repouso, e um imaginário prolongamento dos mesmos através dos continentes. Geóide - Nível Médio dos Mares

Desvios que ocorrem entre as normais, ao elipsóide e o geóide, num mesmo ponto. Desvio das Normais

Os efeitos das anomalias de massa sobre o geóide

As altitudes com as quais trabalhamos são referenciadas ao geóide (altura ortométrica).Mas, como o geóide não é uma superfície geométrica, não se presta à condução de cálculo, como transporte de coordenadas de um ponto a outro, a partir de observações (ângulo e distâncias). Por isso os geodesistas adotaram um modelo geométrico da Terra – modelo da Terra normal – um elipsóide de revolução. Muitas das observações que se realiza em geodésia, estão ligadas ao geóide, como ocorre medidas de ângulos horizontais, verticais. Importância das três Superfícies

O geodesista trabalha sempre com três superfícies diferentes, de relacionamento conhecido ou determinado : A superfície da Terra – sobre a qual realizam-se as observações geodésicas e que deseja-se mapear; O geóide - Referencial de altitudes O elipsóide – Superfície que permite conduzir cálculos necessários para chegar ao mapas e por isso referencial para posicionamento geodésico. Importância das três Superfícies

Se imaginarmos a superfície da Terra e um determinado elipsóide de revolução, definido por a e f ( ou a e b, ou a e e) o que se chama Datum Geodésico fica definido pela colocação deste elipsóide numa posição rígida em relação à superfície física da Terra e, consequentemente, em relação ao geóide. Diferentes elipsóides, em diferentes posições, têm sido utilizados por geodesistas nos diferentes países e / ou continentes. Há o interesse, na definição do Datum a ser adotado por um país ou continente, em que haja uma boa adaptação entre o elipsóide e o geóide ao longo da área sobre a qual se estenderá a rede geodésica. Datum

. Esta boa adaptação, ou seja, a melhor aproximação entre o elipsóide e o geóide, é importante para que sejam possíveis as reduções inerentes aos cálculos geodésicos na distribuição da rede. Assim, um Datum definido para a rede geodésica, por exemplo dos Estados Unidos, provavelmente não proporcionará um bom Datum para o Brasil, ou seja, ao se afastar da área de adaptação, o elipsóide e geóide podem perder a acomodação, o que tornará impraticáveis as reduções geodésicas. Datum

. Ilustração, de maneira exagerada, de dois data distintos

A partir da definição do Datum Geodésico é que se pode, então, imaginar a atribuição de coordenadas a pontos da superfície física da Terra, ou seja, as coordenadas dependem da posição em que está colocado o elipsóide. Desde já pode-se também notar que, numa região abrangida por dois data distintos, deve-se ter, para um mesmo ponto, coordenadas incompatíveis, referidas aos dois diferentes data. No caso brasileiro, é atribuição do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) implantar e manter esta rede de pontos, bem como adensá-la, sendo responsável pela determinação das coordenadas de todos os seus pontos. Isto é feito através de métodos geodésicos de alta precisão. Cabe também a este órgão estudar e arbitrar sobre o datum a ser adotado oficialmente no país. Definição Datum

Atualmente, o datum ao qual está referida a rede geodésica fundamental brasileira é o South American Datum of 1969 – SAD-69, o qual é admitido como sendo a melhor adaptação para o continente sul americano. Este datum passou a ser adotado oficialmente pelo Brasil em Imediatamente antes do SAD-69, o datum oficial brasileiro era o Datum Córrego Alegre, o qual estavam referidas as coordenadas dos pontos da rede fundamental do IBGE. SAD-69

Um Datum é definido através de 8 elementos: Posição da rede (3 elementos)Posição da rede (3 elementos) Orientação da rede (3 elementos)Orientação da rede (3 elementos) Parâmetros do elipsóide (2 elementos)Parâmetros do elipsóide (2 elementos) Superfícies de trabalho Na definição de Datums (Data) locais é mais desejável um encaixe regional que um global Elipsóide Norte- americano Elipsóide Sul- americano Geóide América do Sul América do Norte

Datum (WGS 84)

Datum (SAD-69)

Datum Um ponto pode ter diferentes coordenadas, dependendo do Datum usado x

Alguns Data usados WGS-84 SAD-69 Córrego Alegre ElipsóideWGS-84 UGGI-67 Internacional Elipsóide WGS-84 UGGI-67 Internacional a , , ,00 a , , ,00 b , , ,95 b , , ,95 1/f 298, ,25 297,00 1/f 298, ,25 297,00

Data usados em Geodésia

Geóide X ElipsóideElipsóide Geóide

Geóide Se aproxima do NMMSe aproxima do NMM É função da densidade da TerraÉ função da densidade da Terra É uma superfície onduladaÉ uma superfície ondulada Nivelamento geométrico é referenciado ao GeóideNivelamento geométrico é referenciado ao Geóide

Superfícies geodésicas

Referência das Altitudes ElipsóideElipsóide Modelo matemático que define a superfície da TerraModelo matemático que define a superfície da Terra GeóideGeóide Superfície de mesmo potencial gravitacional (eqüipotencial) melhor adaptada ao nível médio do mar global.Superfície de mesmo potencial gravitacional (eqüipotencial) melhor adaptada ao nível médio do mar global. Geóide Elipsóide Altitude Elipsoidal h Altitude Ortométrica H Superfície Terrestre Ondulação geoidal - N

Coordenadas Cartesianas

CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Coordenadas Astronômica Coordenadas Geodésicas Coordenadas Geocêntricas Planas

A Latitude Astronômica de um ponto é definida pelo ângulo entre a vertical deste ponto e o plano equatorial. Chama-se meridiano astronômico de um ponto ao plano que contém a vertical e uma paralela ao eixo de rotação da Terra. A Segunda coordenada, a Longitude Astronômica, é definida pelo ângulo diedro entre o meridiano do ponto e um meridiano arbitrário, o de Greenwich, considerado com zero das longitudes. Coordenadas Astronômicas

Os pólos mudam de posição ao longo do tempo devido à rotação irregular da Terra e o conseqüente movimento de seu eixo de rotação em relação à própria Terra. As coordenadas astronômicas referem-se a uma determinada posição instantânea neste eixo, isto é, elas variam com o tempo. Existem, portanto, correções a que devem ser submetidas as coordenadas astronômicas, para que sejam reduzidas a uma posição média do eixo de rotação terrestre. Deficiências Coorden. Astronômicas

Devido às influências diversas sobre a vertical do ponto, não se pode relacionar coordenadas astronômicas de diferentes pontos, ou seja, as coordenadas astronômicas não se referem a nenhum datum. As coordenadas astronômicas são definidas por ângulos, contados a partir da vertical do ponto, não estando, portanto, referidas a nenhum elipsóide. Coordenadas Astronômicas

Uma vez estabelecido o datum geodésico, qualquer ponto da superfície física da Terra pode ser definido por um par de coordenadas curvilíneas, contadas angularmente a partir de dois planos de origem até a projeção do ponto sobre o elipsóide, segundo a normal do mesmo. Este par de coordenadas curvilíneas são latitude e longitude geodésicas, conhecidas também como coordenadas geográficas do ponto. Coordenadas Geodésicas

A latitude geodésica A latitude geodésica é o ângulo, contado positivamente para o norte e negativamente para o sul, entre a normal ao elipsóide passante pelo ponto, e o plano equatorial, considerado como zero das latitudes. A longitude geodésica A longitude geodésica é o ângulo, contado negativamente para oeste e positivamente para leste, entre o meridiano que contém a projeção do ponto sobre o elipsóide e um meridiano arbitrário, Greenwich, considerado com zero das longitudes. Coordenadas Geodésicas

Considerando-se o centro do elipsóide do datum adotado, pode-se definir, com origem no mesmo centro, um sistema cartesiano de mão direita, cujo eixo dos X é a interseção entre o plano meridiano de Greenwich e o plano equatorial, e cujo eixo dos Z coincide com o eixo menor do elipsóide. É fácil notar que se um ponto qualquer da superfície física da Terra pode ser definido por coordenadas cartesianas ou curvilíneas (geodésicas), estes dois sistemas devem relacionar-se matematicamente. Coordenadas Geocêntricas

Coordenadas Geocêntricas X Coordenadas Geodésicas

Coordenadas Cartesianas e Geodésicas X Y Z Ponto P X, Y, Z ou Lat, Long, Alt Elip Meridiano de Greenwich Meridiano em P Elipsóide de Referencia y x z h

Cálculo das coordenadas cartesiana em função das coordenadas geodésicas

Cálculo das coordenadas geodésicas em função das coordenadas cartesiana N - grande normal normal ao elipsóide passando pelo ponto P - é o raio de curvatura da seção normal no primeiro vertical. N - Pequena normal normal ao elipsóide passando pelo ponto P, que vai do ponto até o plano do equador

CAPÍTULO 3 Métodos de Posicionamento do Datum Geodésico Posicionamento Astronômico Posicionamento Astro-Geodésico Posicionamento Gravimétrico

Diz-se que um datum geodésico é estabelecido por posicionamento astronômico quando se define astronomicamente, para um determinado ponto da superfície física da Terra, chamado ponto de origem, as coordenadas e o azimute para um outro ponto do terreno, e as coordenadas astronômicas deste ponto são sumariamente consideradas como geodésicas, ou seja, referidas ao elipsóide. Neste ponto considera-se, ainda, sumariamente nulos o ângulo de desvio entre a vertical do ponto e a normal ao elipsóide. Em outras palavras, é forçada a condição de tangência entre o geóide e elipsóide, neste ponto. Posicionamento Astronômico

O método astro-geodésico, são observados os desvios da vertical, de modo a permitir posterior ajustamento pelo método dos mínimos quadrados. Dessa forma, ficam definidos os desvios da vertical ajustados, inclusive para o ponto inicial do datum, não sendo forçada nenhuma condição ideal neste ponto. Em vários pontos da rede é observada a condição de Laplace, que permite a reorientação da mesma através de observações astronômicas de precisão reduzidas ao eixo médio de rotação da Terra Assim sendo, em lugar de um desvio da vertical nulo na origem, como é o caso do posicionamento puramente astronômico, há um desvio ajustado, bem como um desnível, também ajustado, entre o geóide e o elipsóide. Posicionamento Astro-geodésico

O Datum SAD-69 foi determinado pelo método de posicionamento astro-geodésico.

Este método baseia-se em estudos das anomalias da gravidade sobre extensas áreas, com objetivo de bem identificar as ondulações do geóide em relação a um elipsóide de referência escolhido, cujo centro é posicionado coincidentemente com o centro de massa da Terra. Devem ser considerados os valores absolutos dos desvios da vertical e dos desníveis geodais. A utilização eficaz deste método depende da disponibilidade de dados gravimétricos na área de adaptação, bem como de um conhecimento geral das anomalias da Terra inteira. Posicionamento Gravimétrico

O datum WGS-84, utilizado no posicionamento dos satélites de GPS, foi estabelecido pela aplicação dos métodos gravimétrico e astro-geodésico.

CAPÍTULO 4 Mudança de Datum

SAD-69 X Córr. Alegre X (SAD)) Y (SAD) Z (SAD) Y (CA) X (CA) Z (CA) SAD-69 --> Córr. Alegre (IBGE) TX= 138,70 m TY= - 164,40 m TZ= - 34,40 m

SAD-69 X WGS-84 X (SAD)) Y (SAD) Z (SAD) Y (WGS) X (WGS) Z (WGS) SAD-69 --> WGS-84 (IBGE): TX= -66,87 m TY= 4,37 m TZ= -38,52 m

WGS-84 X SAD-69

CAPÍTULO 5 Sistema de Representação Plana do Elipsóide Projeção Plana Projeção Cônica Projeção Cilíndrica Sistema UTM

Para representar a superfície terrestre, o ideal seria a adoção de um sólido semelhante, guardando apenas proporção correspondente à escala. Considerando uma escala de 1: , este sólido teria um raio equatorial aproximado de 6.4 m, o que torna impraticável esse tipo de representação. As considerações de natureza prática e econômica impõe a necessidade da representação plana do elipsóide terrestre. Com este objetivo é que foram desenvolvidos diversos sistemas de projeção, conhecidos por projeções cartográficas. Projeções Cartográficas

Projeções Planas Projeção Plana polar Projeção plana Equatorial Projeção plana Horizontal

Projeções Cônicas Projeção Cônica Normal Projeção Cônica Transversa Projeção Cônica Oblíqua

Projeções Cilindríca Projeção Cilíndrica Equatorial Projeção Cilíndrica Transversa Projeção Cilíndrica Oblíqua

Deformações das projeções É fácil notar que, quando se procura representar sobre o plano uma superfície não desenvolvível (como o elipsóide ou esfera), ocorrem deformações. É simples constatar, por exemplo, que para tornar-se a superfície de uma bola oca de plástico aderente a uma mesa plana, tem que se tracionar certas partes da bola, comprimir outras e até seccionar sua superfície em alguns pontos. Os resultados são as deformações que se está tratando, inerentes a qualquer sistema de projeção. Há que se mencionar, no entanto, que é possível, através de técnicas especiais, evitar-se parcialmente os exageros decorrentes da projeção.

Deformações das Projeções equivalente. Assim, quando uma projeção não acarreta deformação de áreas, isto é, as áreas representadas mantêm com suas equivalentes física uma relação constante, ela é dita equivalente. eqüidistante. Por outro lado a projeção que não apresenta deformações lineares, ou seja, os comprimentos são representados em escala uniforme, é chamada eqüidistante. conforme Da mesma forma a projeção conforme é aquela que mantém inalteradas as grandezas angulares, desde que a superfície a representar seja suficientemente pequena, de modo que possa ser considerada plana.

Sistema UTM O sistema de projeção UTM foi recomendado pela União Geodésica e Geofísica Internacional (UGGI) na IX Assembléia de Bruxelas, Trata-se de um sistema conforme, ou seja, que conserva a forma ou ângulos, e as deformações lineares são pequenas. Esta foi a principal razão de sua rápida adoção por quase todos os países do mundo. No Brasil este sistema vem sendo aplicado pelos órgãos oficiais do IBGE e SGE desde 1955 para o mapeamento sistemático do país. A projeção UTM baseia-se no cilindro transverso secante ao elipsóide terrestre. Os paralelos e meridianos são representados ortogonalmente segundo linhas retas..

Sistema UTM As linhas de contacto do cilindro com o elipsóide são paralelas ao meridiano central e ao longo das quais a projeção é eqüidistante, sendo que no meridiano central esta propriedade não é válida. Considerando uma região compreendida entre os meridianos extremos que dão origem a (6 o ), ocorrerá que entre as linhas de secância, haverá redução e entre as linhas de secância e os limites extremos ter-se-á uma ampliação. No sistema UTM o elipsóide é dividido em 60 fusos de 6º cada, ficando assim a representação constituída de diversos sistemas parciais.

Cilindro Transverso Secante cilindro transverso secante A projeção UTM baseia-se no cilindro transverso secante ao elipsóide terrestre. Os paralelos e meridianos são representados ortogonalmente segundo linhas retas.. Cada fuso terá um meridiano central que na interseção com o Equador será a origem do sistema. Os fusos são limitados por duas longitudes múltiplas de 6º e os limites da latitude vão de 80º N a 80ºS.

Projeção Cilíndrica Transversa Secante

Zonas de Ampliação e de Redução

Fusos do Sistma UTM Os fusos do sistema de projeção UTM são numerados de 1 a 60 (6 o em longitude) contados a partir do antemeridiano de Greenwich no sentido anti-horário. Os fuso que abrangem o Brasil são de 18 a 25.

Características do Sistema UTM Na realidade, o sistema de projeção UTM adota a projeção cilíndrica de Gauss, apenas com a modificação do módulo (ou coeficiente) de redução de escala para , no meridiano central (ao invés de 1.000), o que torna, analiticamente, o cilindro secante ao elipsóide e não mais tangente. Na construção das malhas, para evitar coordenadas negativas no sistema de projeção UTM, em cada zona é dado um translado falso ao leste de metros. Para valores norte, o Equador é usado como linha básica. Para fazer a grade das zonas no hemisfério norte ao equador é dado um valor norte de (zero) metros. Em resumo, as principais características do sistema UTM são as seguintes :

Características do Sistema UTM Projeção conforme, transversa de Gauss; Decomposição em sistemas parciais, correspondentes aos fusos de 6º de amplitude, limitados pelos meridianos múltiplos desse valor, ou seja, meridianos centrais múltiplos ímpares de 3º; Fusos numerados de 1 a 60, contados a partir do antemeridiano de Greenwich no sentido leste; Limitação do sistema até as latitudes de +/- 80º; Origem de coordenadas no cruzamento das transformadas do equador e meridiano central do fuso, acrescidos os valores de m no eixo norte-sul e m no eixo leste-oeste; Abcissas indicadas pela letra E (East) e ordenada indicadas pela letra N (north), ambas sem sinal algébrico; Coeficiente de redução de escala Ko= = (1/2500 ).

Convergência de Meridiana Enquanto as direções norte e sul geográficas convergem para os pólos, na carta UTM, as direções são representadas paralelamente ao meridiano central e representam as direções norte- sul da quadrícula. A diferença angular entre a direção norte-sul geográfica resultante da transformada, caracteriza a convergência meridiana. No meridiano central e no equador as duas direções coincidem, isto é, o norte da Quadrícula (Nq) é igual ao norte verdadeiro (Ng).

Convergência da Meridiana Fórmula Aproximada C =. Sen diferença meridiano do ponto e meridiano central do fuso em minutos; latitude do ponto.

Fator de Escala Comprimento da projeção K = Comprimento no elipsóide

Operações com Coordenadas UTM Transformação de coordenadas geográficas em coordenadas UTM; Transformação de coordenadas plana UTM em coordenadas geográficas; Transformação de distâncias geodésicas em planas no sistema UTM; Transformação de azimutes planos UTM em azimutes geodésicos; Transformação de coordenadas planas no sistema UTM em coordenadas locais XY; Transformação de coordenadas locais XY em coordenadas UTM. Transporte de coordenadas planas no sistema UTM

Sistematização de Cartas A sistemática para sua montagem, parte da carta Internacional do Mundo ao Milionésimo (CIM), confeccionada à escala de 1: , sendo subdividida até atingir escala 1: A utilização de escala maiores, como 1:10.000, 1:2.000 etc., não são sistematizadas, porém, nota-se que a maioria dos trabalhos de mapeamento atuais, procuram manter a mesma padronização. Cada CIM abrange uma área de 6 o em longitude por 4 o de latitude, e são representados por uma letra e um número, procedidos de N ou S, conforme situem-se no Hemisfério Norte ou Sul, respectivamente. As letras designam a faixa de 4 o em latitude, contados a partir do Equador e os números, as zonas em longitude, contados a partir do antemeridiano de GreenWich, por leste.

Sistematização de Cartas

Sistematização confeccionada a partir da escala de 1: , sendo subdividida até atingir escala 1: A utilização de escala maiores, como 1:10.000, 1:2.000 etc., não são sistematizadas, porém, nota-se que a maioria dos trabalhos de mapeamento atuais, procuram manter a mesma padronização.

Sistematização de Cartas

Exemplo de Sistematização ao CIM Exemplo : Dada as coordenadas : = 07 o S = 41 o W Número do fuso (N) = 30 - / 6 N = 30 – 41/6 30 –6 = 24 Letra da Zona (Z) = / 4 +1 Z = 7/4 +1 = 2 Sendo o hemisfério Sul resulta : SB- 24 Dadas as coordenadas geodésica de um determinado ponto P, podemos calcular em que carta do milionésimo ele pertence, isto é, qual o número do fuso e a zona onde ele se encontra.