debmatematica@gmail.com (41) 3340 1714 Lucimar Donizete Gusmão Renata Cristina Lopes Equipe de Matemática DEB/SEED/PR debmatematica@gmail.com (41) 3340 1714 1 1

MINICURSO Folhas/Ensino Médio: Vivemos em um planeta semelhante a uma esfera!!! Conteúdo Estruturante: Geometrias Conteúdo Básico: Geometria Espacial Conteúdo específico: Esfera Relação interdisciplinar: Geografia 2 2

Seria possível definir qual o formato do nosso planeta Terra??? Se tivermos a curiosidade de observar melhor o nosso planeta, talvez tenhamos uma possibilidade de perceber o seu formato e ao que ele mais se assemelha. Desde a Grécia Antiga, no tempo de Pitágoras (582-500 a.C.) começou-se a considerar que a forma do planeta Terra poderia ser esférica, por se assemelhar aos corpos celestes e mais perceptível aos olhos de quem os observa. 3 3

Nesse sentido, o Planeta Terra que é representado por um modelo, o “globo terrestre” poderia ser considerado então uma esfera? 4 4

Encaminhamentos... - Considerando o globo terrestre como um objeto de aprendizagem, levantar questões que façam os alunos refletirem sobre a representação do planeta Terra, por esse modelo, e expressarem as características que eles recordam sobre a esfera. 5 5

Observe o globo terrestre... Quais características você percebe neste modelo??? Localize e caracterize o Equador??? 6 6

especialmente sobre o estudo da esfera, que possui como uma de suas A “esfera” é um sólido geométrico estudado desde a antiguidade, como fez Arquimedes, filho de um astrônomo, que nasceu por volta de 287 a.C. e morreu por volta de 212 a.C. Arquimedes dedicou parte de seus estudos a geometria e especialmente sobre o estudo da esfera, que possui como uma de suas características, a forma arredondada, lhe permitindo rolar, e ser considerada desta forma um corpo redondo. 7 7

A intencionalidade da utilização do globo terrestre é para evidenciar que, historicamente, a humanidade sempre procurou esclarecer os mistérios do meio em que vive, seja pelas suas observações, pelas conjecturas que faz a partir dessas observações, formalizando conceitos e modelos matemáticos. 8 8

Observe a imagem... 9 9

Considerando que... Centro: é o ponto O; Diâmetro: cordas que passam pelo ponto O; Raio: são segmentos de reta com um extremo em O (centro) e outro na superfície da esfera. Obs. Em uma superfície esférica, uma corda que não passa pelo ponto O, tem medida menor que o diâmetro. 10 10

Não devemos confundir ESFERA com SUPERFÍCIE ESFÉRICA... - Um exemplo de Esfera ??? - E de Superfície Esférica ??? 11 11

Meridianos, Paralelos e Pólos Considerando o modelo de globo terrestre que representa o planeta Terra, outros elementos estão presentes no estudo da esfera: Meridianos, Paralelos e Pólos – Termos utilizado pela disciplina de Geografia. Para a localização de um determinado ponto na superfície terrestre utilizamos as “coordenadas geográficas” achando o valor do Meridiano e Paralelo, que passa sobre o ponto, ou seja, sua Latitude e Longitude. 12 12

Convencionou-se a divisão da Terra em hemisférios – Norte/Sul, a partir da Linha do Equador - Latitude e Leste/Oeste, a partir do Meridiano de Greenwich - Longitude. 13 13

Analisando... Utilizando o globo terrestre analise e responda... a) Qual a variação da latitude terrestre, que é uma medida angular entre a Linha do Equador e qualquer ponto situado na superfície da Terra? b) Qual a variação angular entre o Meridiano de Greenwich e qualquer ponto na superfície terrestre? 14 14

Informações Adicionais: Video: Informações Adicionais: Um jovem náufrago recorre a conceitos geométricos simples para determinar sua latitude e longitude e assim mandar o sinal de socorro. Este vídeo tem por objetivos: revisar o conceito de ângulos e suas subdivisões; revisar o conceito de retas paralelas e ângulos alternos internos; trabalhar a trigonometria do triângulo retângulo e; iniciar o conceito de inversas das funções trigonométricas. http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/deb aser/singlefile.php?id=22599 15

Observe o Mapa do Estado do Paraná. 16 16

Observe o mapa De acordo com as coordenadas geográficas determinadas no mapa do Paraná, temos a localização de um ponto central que representa o município de Pitanga. Fazendo uma leitura do mapa e observando as coordenadas geográficas de Latitude/Longitude referente ao município de Pitanga, você saberia dizer como foram determinadas essas coordenadas? 17 17

Primeiramente devemos determinar no mapa uma “quadrícula” Observando o mapa temos a quadrícula formada pelos Paralelos de 22º e 28º e os Meridianos de 45º e 57º. Exemplo: Para calcular a Latitude é preciso considerar a diferença entre as Latitudes, que será correspondente à medida entre os dois Paralelos. AB = 28º - 22º = 6º 18 18

É preciso entender que na superfície terrestre, esta medida, corresponde a um arco de circunferência. 19 19

Se temos: L = comprimento do arco α = a medida do ângulo central que determina o arco, que na situação apresentada mede 6º . R = medida do raio da esfera. Neste caso utilizamos a medida do raio do planeta Terra, que é aproximadamente 6.378 km. 20 20

Lembrando que... De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja: 360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785) 21 21

considerar uma regra de três simples. Precisamos determinar a medida do arco da circunferência. Para isso, basta considerar uma regra de três simples. 180º ↔ π R α ↔ x 22 22

No caso considerado, temos: 180º ↔ π 6378 6º ↔ xº X= ???? 23 23

Observando o mapa temos a Latitude para a localização 24° 41' 15'' Observando o mapa temos a Latitude para a localização 24° 41' 15''. A quadrícula na figura 6, se inicia com a Latitude de 22°. Para obtermos o valor do ângulo que determina a medida do arco AO , temos que considerar a diferença de Latitudes. Para a transformação das unidades em graus, utilizamos a base sexagesimal. Então...a diferença é de … 2,6875° 24 24

Logo a medida do arco será... 6º ↔ 667, 564 2,6875 ↔ x X = ???? 6º ↔ 667, 564 2,6875 ↔ x X = ???? Considerando que a medida do arco AB é aproximadamente 667,564 km e que a medida do arco AO é aproximadamente 299,013 km, podemos determinar a Latitude do município de Pitanga. 25 25

ATIVIDADE Agora você pode determinar pelo mesmo raciocínio a Longitude. Para saber mais: No município de Pitanga existe um marco Geodésico que representa o centro do Paraná. 26 26

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Um elemento importante de uma esfera são as circunferências máximas desse sólido geométrico. Relembrando o conceito de circunferência, esta pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um mesmo plano que equidistam de um ponto definido como o centro da circunferência. 28 28

Lugar geométrico??? Raio??? Circunferência??? p.9 29 29

Circunferências máximas de uma esfera - são circunferências que tem o mesmo centro de uma esfera e como medida de raio a mesma que a medida do raio da esfera. Círculo máximo: a região limitada pela circunferência máxima juntamente com a própria circunferência é chamada de círculo máximo. 30 30

Secção.. “Toda secção plana de uma esfera é um círculo.”(Dolce & Pompeu, 2005, p.251) “Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.”(idem) 31 31

Informações Adicionais: Área do Círculo Informações Adicionais: Neste vídeo o Professor pode, de forma dinâmica, mostrar aos estudantes a relação entre o raio do círculo e sua área. Vídeo http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/ debaser/singlefile.php?id=9596 32

Duas circunferências importantes do planeta Terra. Circunferência Polar 33 33

Circunferência Equatorial 34 34

Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/erath.html. A circunferência polar é igual a circunferência do meridiano e mede, aproximadamente 39 942 km. O seu diâmetro polar mede aproximadamente 12 714 km. A circunferência equatorial mede aproximadamente 40 074 km. E seu diâmetro equatorial mede aproximadamente 12 756 km. Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/erath.html. 35 35

propriedade, ou seja, a medida da área dessa superfície? A superfície terrestre é a parte do planeta que permite a existência de seres vivos. Imagine se você, que mora na superfície deste planeta correspondente à crosta terrestre, tivesse que adquirir uma parte da área dessa superfície. Qual seria o procedimento para determinar a área de um terreno ou de uma propriedade, ou seja, a medida da área dessa superfície? 36 36

Para conjecturar... A superfície da Terra parece plana em áreas limitadas, com por exemplo no quintal da casa. Mas sabemos que ela possui uma curvatura. Podemos calcular a área de uma região delimitada que será uma área muito próxima à medida de uma área de superfície plana. 37 37

Calcular a área de uma superfície esférica é mais uma das necessidades humanas de sobrevivência neste planeta e foi um desafio para alguns matemáticos, entre eles, Arquimedes. 38 38

ATIVIDADE DE EXPERIMENTAÇAO Realize e reflita a respeito da atividade abaixo proposta. 39 39

Material: cartolina, tesoura, régua, compasso, cola, bola de isopor que tenha aproximadamente 30 cm como perímetro de sua circunferência máxima, barbante e Alfinetes. Procedimento: 1) Construa na cartolina um círculo que tenha a medida do raio igual ao da bola de isopor. Recorte. Cubra a superfície deste círculo com barbante desde o centro em forma de espiral. 40 40

enrole na superfície esférica da bola de isopor. 2) Desenrole o barbante do círculo, pegue mais uma medida desse barbante e os enrole na superfície esférica da bola de isopor. Compare os comprimentos e a superfície que foi coberta da bola de isopor. Qual a conclusão do grupo???? 41 41

Salientamos que esta é uma maneira de mostrar o valor da área de uma Sabendo que a área de um círculo é πR², logo, a área da superfície esférica é 4πR². Arquimedes repetiu várias vezes o procedimento para mostrar este cálculo. Salientamos que esta é uma maneira de mostrar o valor da área de uma superfície esférica, mas não é uma demonstração matemática do cálculo desta área. 42 42

Considerando a tabela a seguir do ATIVIDADE 2 Considerando a tabela a seguir do Inmetro, qual seria a economia em cm² de material para fabricar uma bola de futebol que estivesse 5% fora do padrão considerado máximo na medida da circunferência? 43 43

Medidas das bolas - Circunferência (cm) FONTE: http://www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/futebol.asp Descrição Valor Exigido Circunferência (cm) Max = 70 Min = 68 Peso (g) Max = 450 Min = 410 Pressão (kgf/cm2) Max = 1,1 Min = 0,6

ATIVIDADE 3: Observe a figura abaixo: 45 45

A secção plana da figura é o círculo máximo da esfera. Considerando que o diâmetro da secção maior do nosso planeta é igual ao diâmetro equatorial que mede aproximadamente 12 756 km. Com essas informações, qual é a medida da circunferência máxima dessa secção? E qual a medida da área da superfície esférica, da semi-esfera ou hemisfério norte? 46 46

É possível saber também o volume de uma esfera. Como determinar É possível saber também o volume de uma esfera? Como determinar? Observe as figuras - Semiesfera e Cone 47 47

Áreas e Volumes - 3, 2, 1 - Mistério Informações Adicionais: O programa aborda o Princípio de Cavaliere que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas.Este vídeo tem por objetivos: apresentar o Princípio de Cavalieri para figuras planas; apresentar o Princípio de Cavalieri para sólidos e; apresentar a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone. http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debase r/singlefile.php?id=22600 48

A circunferência da base do cone tem raios cuja medida é a mesma Observe as figuras: uma representa uma semi-esfera e a outra representa um cone. A circunferência da base do cone tem raios cuja medida é a mesma medida dos raios da semi-esfera. 49 49

Se enchermos com algum líquido o cone e despejarmos na semi-esfera, iremos precisar de duas medidas do cone para encher completamente a semi- esfera. Com este procedimento podemos verificar que a capacidade da esfera é de quatro vezes a capacidade do cone. 50 50

Portanto, para calcular o volume da esfera podemos deduzir a seguinte fórmula: Volume do cone: 1/3 π R² h Lembrando que o raio do cone tem a mesma medida da altura, logo, o volume da esfera é 4 .1/3 πR² h e (altura = raio) então 4/ 3 π R³ . 51 51

Atividades 4 e 5 Material Impresso 52 52

Discussão Observe a imagem como se fosse a representação do relevo de um Terreno. 53 53

Mas afinal, se uma pessoa comprasse uma propriedade rural, que tem o formato que revela na imagem a seguir, como ela poderia saber exatamente a medida da área adquirida? Qual seria a forma de ter um valor mais aproximado possível da medida da área da superfície? 54 54

Geometria Esférica – As Aventuras de Radix Informações Adicionais: O programa aborda a geometria da Esfera, que é um exemplo de geometria não-Euclidiana. Nelson, ao escrever mais uma das aventuras do super-herói Radix, se depara com a seguinte pergunta: Como Radix poderá cumprir a missão de evitar o desmatamento no Planeta Terra? Para terminar a aventura do Radix, o cartunista Nelson pedirá ajuda ao seu amigo Mario, que trabalha na área de monitoramento por satélite. O vídeo é útil para: apresentar a Geometria não-Euclidiana; a Geometria da Esfera e; Diferenciar a Geometria Euclidiana da não-Euclidiana. http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/sin glefile.php?id=22456 55

A melhor forma de medir toda a área dessa propriedade seria com a ajuda de um profissional, que pode ser um engenheiro agrônomo, um agrimensor ou um Topógrafo. 56 56

Um equipamento utilizado é o Sistema de Posicionamento Global GPS. Era normal, há algum tempo atrás, que esse profissional dividisse o lote em formas geométricas como triângulos, retângulos entre outros polígonos, mas nos dias atuais, é possível utilizar alguns recursos tecnológicos que garantem uma maior precisão neste cálculo. Um equipamento utilizado é o Sistema de Posicionamento Global GPS. 57 57

Será que apenas pela observação, temos condições de propor algumas DEBATE Será que apenas pela observação, temos condições de propor algumas considerações e afirmações, ou é preciso outros conhecimentos e elementos que possam contribuir para o entendimento do espaço que vivemos? 58 58

Referências DOLCE, O., POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar. 6. ed. v. 10,São Paulo: Atual, 2005. DUARTE, Paulo Araújo. Cartografia Básica. Florianópolis: Editora da UFSC, 1986. FILIZOLA, R. Geografia: volume único: ensino médio. 2. ed. São Paulo: IBEP,2005. GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Geometria plana e espacial: um estudo axiomático. Maringá: Massoni, 2005. LOPES,Renata Cristina. Viemos em um planeta semelhante a uma Esfera. Disponível em: http://www.diadiaeducação.pr.gov.br/portals/folhas/frm_detalhar/Folhas.php codInscr=4143&PHPSESSID=2010052511380854. Acesso em 21 maio. 2010. 59 59

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22600 http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22599 http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22456 http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=17618 http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22553 http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22610 http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=9596 60