Fatoriais 2k Introdução Fatoriais 22 Temos k fatores, todos eles com dois níveis. Os níveis podem ser quantitativos (doses de nitrogênio, temperaturas, tempo) ou qualitativos (duas variedades de aveia, dois locais de cultivo). Uma repetição completa tem 2k unidades experimentais. Como esses experimentos só tem dois níveis de cada fator, eles nos dão o menor número de tratamentos, assim, eles são bastante utilizados na seleção de fatores importantes e que serão utilizados num experimento futuro. Fatoriais 22 Como um exemplo, considere um experimento com 2 concentrações de um antioxidante (TBHQ) e dois tempos. Fator A  concentrações  15% e 25%. Fator B  tempo  10 min e 20 min.

Outro exemplo (Montgomery, pág. 291) Outro exemplo (Montgomery, pág. 291). Experimento para verificar o efeito da concentração de um reagente e a quantidade de um catalisador na produção de uma reação química. Fator A: reagente  níveis = 15% e 25%. Fator B: catalisador  níveis = 2 “pounds” e 1 “pound”. Obs. 1 pound = 0,454 kg. O efeito AB representa a interação entre o fator A e o fator B. O menor e o maior nível de um fator podem ser representados pelos sinais ‘-’ e ‘+’, respectivamente. Graficamente, este delineamento é usualmente representado por um quadrado. Os 4 tratamentos são representados por letras minúsculas: (1), a, b, ab. Assim, (1), é o tratamento correspondente aos menores níveis de A (-) e B (-); a, corresponde ao nível alto de A (+) e baixo de B (-); b, corresponde ao nível alto de B (+) e baixo de A (-); ab, corresponde a combinação dos níveis altos de A (+) e B (+).

ab=90 b=60 + B - (1)=80 a=100 - + A Efeitos principais de A e de B e da interação AB. Podemos calcular esses efeitos por meio do quadrado acima. O efeito de A pode ser determinado como a diferença na resposta média dos dois tratamentos do lado direito do quadrado e dos dois tratamentos do lado esquerdo, isto é:

Outra maneira de se encontrar esses efeitos: Efeito de B: Efeito da interação: é a média dos tratamentos da diagonal (da direita para a esquerda, iniciando por ab) menos a média dos tratamentos da diagonal (da esquerda para a direita). Outra maneira de se encontrar esses efeitos: Produto (A x B) I = corresponde a uma constante geral do experimento.

Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é dado por: -(1)+a-b+ab. E assim para os demais. Para os dados do experimento, temos: Interpretação: o efeito de A é positivo; isto sugere que aumentando a concentração do reagente de 15% para 25%, aumenta a produção. O efeito de B é negativo; sugere que aumentando-se a qtidade do catalisador, diminui a produção. O efeito da interação é pequeno em relação aos efeitos principais (pode ser desprezada).

Análise de variância As somas de quadrados dos efeitos de A, B e de AB, são obtidas elevando-se ao quadrado o contraste que estima o efeito de A, B e de AB, dividindo-se pelo produto entre o número de observações em cada total no contraste e a soma dos quadrados dos coeficientes do contraste.

Interpretação: Os efeitos principais de A e de B são significativos, enquanto o efeito da interação não foi significativo (Não há necessidade de desdobrar a interação). O modelo de regressão Como os dois fatores são quantitativos, além disso, o efeito da interação não foi significativo, o modelo de regressão fica: Onde xi é uma variável codificada, da seguinte forma. Assim, x1 assume os valores: x1=-1 e x1=1; x2 assume os valores: x2=-1 e x2=1. Os ’s são os parâmetros do modelo de regressão, desconhecidos e que serão estimados (método de mínimos quadrados).

[-1;1] Cálculo dos ’s no fatorial 2k A estimativa de 0 é a média geral do experimento; as estimativas de 1 e de 2 é a metade do efeito correspondente. A razão disso é que o coeficiente de regressão mede a mudança em y quando ocorre a mudança de uma unidade em x. Aqui, a estimativa é baseada na mudança de duas unidades (-1 para 1). O modelo fica:

Resíduos e verificação do ajuste do modelo Saída do SAS: Resíduo = valores observados-valores estimados Valores estimados e resíduos do modelo de regressão OBS CATALISA REAGENTE REP YIELD ESTIMADO RESIDUOS 1 -1 -1 1 28 25.8333 2.16667 2 -1 -1 2 25 25.8333 -0.83333 3 -1 -1 3 27 25.8333 1.16667 4 -1 1 1 36 34.1667 1.83333 5 -1 1 2 32 34.1667 -2.16667 6 -1 1 3 32 34.1667 -2.16667 7 1 -1 1 18 20.8333 -2.83333 8 1 -1 2 19 20.8333 -1.83333 9 1 -1 3 23 20.8333 2.16667 10 1 1 1 31 29.1667 1.83333 11 1 1 2 30 29.1667 0.83333 12 1 1 3 29 29.1667 -0.16667

Os resíduos estão aleatoriamente distribuídos Os resíduos estão aleatoriamente distribuídos. Os gráficos estão satisfatórios. As nossas conclusões são válidas.

Superfície de resposta O modelo de regressão com os níveis naturais dos fatores é dado por:

Observamos no gráfico de contornos, que a produção aumenta quando a concentração do reagente aumenta e a quantidade do catalisador diminui. Freqüentemente, usa-se a superfície ajustada para verificar a direção de melhoria do processo. Fatoriais 23 Exemplo: o objetivo é produzir um pão com farelo de aveia. Os fatores em estudo foram: 1) porcentagem de substituição de farinha de trigo pelo farelo de aveia (Fator A), em dois níveis, 10% e 20%; 2) quantidade de gordura (Fator B), em dois níveis, 2,5g e 3,0g; 3) fermento (Fator C), em dois níveis, 3g e 4g. 8 tratamentos Exemplo (Montgomery): na fabricação do produto: água com gás. O objetivo é obter maior uniformidade no enchimento das garrafas. Teoricamente a máquina enche corretamente as garrafas, mas na prática existem variações e deseja-se saber quais são as possíveis fontes de variabilidade. As variáveis controladas no estudo foram: porcentagem de carbono (Fator A), pressão de operação (Fator B) e velocidade de operação (Fator C).

Tabela: dados experimentais Desvios da altura de enchimento desejado

Geometricamente, esse delineamento é representado por um cubo. (1) a b c - + Fator A Fator C Fator B ac ab abc bc Tratamentos: (1) a b ab c ac bc abc

Propriedades importantes: Tabela 7-3. Tabela com sinais de + e de - formando os contrastes para estimar os efeitos Propriedades importantes: 1) Com excessão da 1a. coluna, todas as demais tem o mesmo número de sinais positivos e negativos ; 2) A soma dos produtos dos sinais em quaisquer duas colunas é zero; 3) A coluna I multiplicada por qualquer outra coluna deixa esta inalterada, isto é, a coluna I é um elemento identidade. 4) O produto de qualquer duas colunas produz uma coluna da tabela, por exemplo, A x B = AB, e AB x B = AB2 = A

Os expoentes nos produtos são formados usando em aritmética o módulo 2, isto é, o expoente só pode ser zero ou um; se ele é maior do que um, ele é reduzido por múltiplos de dois até que o resto seja zero ou um. Módulo: Mod(n;d)=n-d.inteiro(n/d). Exemplo: Mod(3;2)=3-2.inteira(3/2)=3-2=1. Estimação dos efeitos dos fatores De maneira análoga, obtemos os seguintes valores para os demais efeitos Os maiores efeitos são verificados para o fator A=3,00, fator B=2,25, fator C=1,75 e para a interação AB=0,75, porém esta última bem inferior aos efeitos principais.

A soma de quadrados para os efeitos são facilmente calculados, já que cada efeito tem 1 grau de liberdade, correspondente ao contraste. No fatorial 23 com n repetições, a soma de quadrados para qualquer efeito é dada por: Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 7 73.00000000 10.42857143 16.691 0.0003 Error 8 5.00000000 0.62500000 Corrected Total 15 78.00000000 R-Square C.V. Root MSE FILLHEIG Mean 0.935897 79.05694 0.79056942 1.00000000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F CARBONO 1 36.00000000 36.00000000 57.60 0.0001* PRESSAO 1 20.25000000 20.25000000 32.40 0.0005* CARBONO*PRESSAO 1 2.25000000 2.25000000 3.60 0.0943 VELOCIDA 1 12.25000000 12.25000000 19.60 0.0022* CARBONO*VELOCIDA 1 0.25000000 0.25000000 0.40 0.5447 PRESSAO*VELOCIDA 1 1.00000000 1.00000000 1.60 0.2415 CARBON*PRESSA*VELOCI 1 1.00000000 1.00000000 1.60 0.2415 1

Modelo de regressão e superfície de resposta O modelo de regressão, a ser estimado, com as variáveis codificadas é dado por: Onde x1, x2 e x3, representam os fatores A, B e C, respectivamente. Através do programa SAS, estimamos os parâmetros da regressão.

Modelo de regressão nas variáveis originais

É desejável que a resposta seja próxima de zero É desejável que a resposta seja próxima de zero. Para velocidade (Fator C) no nível alto (250), há várias combinações de pressão e carbono que satisfazem esse objetivo.

Fatorial 2k com 1 repetição Um problema nos experimentos fatoriais é que quando o número de fatores aumenta, o número de tratamentos aumenta rapidamente, exemplo, 25= 32 e para um fatorial 26=64 tratamentos. Em algumas situações, não existe disponibilidade de material experimental, para que se possa fazer as repetições dos tratamentos. Sem repetições não é possível estimar o erro experimental ou erro puro. Uma abordagem, para esse tipo de experimento (sem repetição), é assumir que algumas interações de maior ordem são desprezíveis e, combinar os seus quadrados médios para estimar o erro experimental. A sugestão é construir o gráfico normal de probabilidades com as estimativas dos efeitos dos tratamentos. Os efeitos que são desprezíveis são distribuídos normalmente, com média 0 e variância 2 e tendem a cair próximos à linha reta no gráfico, ao passo que os efeitos importantes (significativos) terão média diferente de 0 e se distanciarão da reta. Assim, o modelo conterá somente os efeitos significativos (efeitos diferente de zero), baseados no gráfico normal de probabilidades. Os efeitos não significativos serão combinados para estimar o erro experimental.

Exemplo (Montgomery, página 319, 4 ed.). Fatorial 24 com uma repetição. Produção de um produto químico num recipiente sob pressão. Esse experimento foi realizado com fatores que provavelmente influenciam a taxa de filtração do produto. Os quatro fatores colocados em estudo foram: A: temperatura B: pressão C: concentração de formaldeído D: taxa de agitação Os 16 experimentos foram realizados em ordem aleatória. O engenheiro está interessado em maximizar a taxa de filtração. O processo atual apresenta uma taxa de filtração em torno de 75 gal/h. O processo também utiliza o fator C no nível alto. Deseja-se reduzir a concentração de formaldeído tanto quanto possível, porém, isso causa uma diminuição na taxa de filtração.

Tabela do experimento com taxa de filtração (matriz do delineamento)

Estimativas dos efeitos :

Os valores dos demais efeitos são:

Interpretação: todos os efeitos que caem ao longo da linha são não significativos (desprezíveis), ao passo que os efeitos que estão longe da linha reta são significativos (A, AD, D, C, AC). Como as interações AC e AD foram significativas, não faz muito sentido interpretarmos os efeitos principais de A, C e D. 100 100 D+ Concentração Taxa C+ D- 70 70 C- 40 40 - - + + Fator A = temperatura Fator A Interpretação: a interação AC indica que o efeito da temperatura é muito baixo para alto nível de concentração de formaldeído e, muito alto para baixo nível de concentração. A interação AD indica que D tem pouco efeito para baixo nível de temperatura e, tem grande efeito para alta temperatura. Parece que a melhor taxa de filtração é obtida para alto nível de A e D e baixo nível de C.

Projeto de experimento Como o fator B (pressão) e as interações envolvendo o fator B, não foram significativas, podemos desprezá-lo e considerar o delineamento como um fatorial 23, considerando os fatores A, C e D, com duas repetições. Isto pode ser facilmente comprovado, olhando-se para as colunas A, C e D da tabela dos dados (matriz do delineamento), e verificar que aquelas colunas formam duas repetições de um experimento fatorial 23. Como, agora, temos duas repetições, vamos ter uma estimativa do erro experimental. A ANOVA do experimento fatorial 23 é dada na tabela a seguir. Em geral, se temos um experimento fatorial 2k, e se h (h<k), fatores são não significativos, então os dados originais correspondem a um experimento fatorial completo com 2 níveis nos (k-h) fatores significativos com 2h repetições.

Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 7 5551.43750000 793.06250000 35.35 0.0001 Error 8 179.50000000 22.43750000 Corrected Total 15 5730.93750000 R-Square C.V. Root MSE RATE Mean 0.968679 6.760855 4.73682383 70.06250000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F A 1 1870.56250000 1870.56250000 83.37 0.0001 C 1 390.06250000 390.06250000 17.38 0.0031 A*C 1 1314.06250000 1314.06250000 58.57 0.0001 D 1 855.56250000 855.56250000 38.13 0.0003 A*D 1 1105.56250000 1105.56250000 49.27 0.0001 C*D 1 5.06250000 5.06250000 0.23 0.6475 A*C*D 1 10.56250000 10.56250000 0.47 0.5120 T for H0: Pr > |T| Std Error of Parameter Estimate Parameter=0 Estimate INTERCEPT 70.06250000 59.16 0.0001 1.18420596 A 10.81250000 9.13 0.0001 1.18420596 C 4.93750000 4.17 0.0031 1.18420596 A*C -9.06250000 -7.65 0.0001 1.18420596 D 7.31250000 6.18 0.0003 1.18420596 A*D 8.31250000 7.02 0.0001 1.18420596 C*D -0.56250000 -0.48 0.6475 1.18420596 A*C*D -0.81250000 -0.69 0.5120 1.18420596

Diagnóstico do modelo De acordo com os resultados da ANOVA, foram significativos os efeitos de A=21,625, C=9,875, D=14,625, AC=-18,125 e AD=16,625. As estimativas das taxas de filtração (para os efeitos significativos), são dadas pelo modelo de regressão: (as estimativas dos parâmetros do modelo estão no output do SAS) Onde 70,06 é a média geral; e as variáveis codificadas x1, x3 e x4 possuem os valores -1 e +1. O valor predito para taxa no tratamento (1) vale:

Os valores observados, preditos e resíduos para as 16 observações são: OBS D C B A RATE PREDITO RESIDUO 1 -1 -1 -1 -1 45 46.250 -1.250 2 -1 -1 -1 1 71 69.375 1.625 3 -1 -1 1 -1 48 46.250 1.750 4 -1 -1 1 1 65 69.375 -4.375 5 -1 1 -1 -1 68 74.250 -6.250 6 -1 1 -1 1 60 61.125 -1.125 7 -1 1 1 -1 80 74.250 5.750 8 -1 1 1 1 65 61.125 3.875 9 1 -1 -1 -1 43 44.250 -1.250 10 1 -1 -1 1 100 100.625 -0.625 11 1 -1 1 -1 45 44.250 0.750 12 1 -1 1 1 104 100.625 3.375 13 1 1 -1 -1 75 72.250 2.750 14 1 1 -1 1 86 92.375 -6.375 15 1 1 1 -1 70 72.250 -2.250 16 1 1 1 1 96 92.375 3.625

Os pontos estão aleatoriamente distribuídos; considera-se que as suposições do modelo estão satisfeitas.

D=1 ou x4=1 Superfície de resposta A superfície de regressão é gerada pelo modelo de regressão: D=1 ou x4=1

Para temperatura, x1=1: Os gráficos indicam que para maximizar a taxa de filtragem, as variáveis A (x1) e D (x4) devem ser utilizadas nos seus níveis altos. Os gráficos indicam uma relativa estabilidade para a variável C (x3). Os mesmos resultados foram verificados na interpretação dos gráficos da interação.

Adição de pontos centrais no fatorial 2k Existem muitas situações em que a função de resposta é adequadamente ajustada por um modelo de segunda ordem. O modelo sob consideração é: Onde jj representa o efeito quadrático. Essa equação é chamada de modelo de superfície de resposta de segunda ordem. Procedimento: Vamos fazer algumas repetições de certos pontos no fatorial 2k com o objetivo de ajustar o modelo de segunda ordem e estimar o erro experimental. Método: Adicionar pontos centrais no fatorial 2k. Vamos fazer n repetições nos pontos xi=0 (i=1,2,...,k). Estamos assumindo que os k fatores são quantitativos.

A soma de quadrados do efeito de curvatura é dada por: Onde, em geral, nF é o número de pontos do fatorial, nC é o número de repetições do ponto central. Essa soma de quadrados tem 1 grau de liberdade.y(barra)F é a média dos tratamentos dos pontos fatoriais. Y(barra)C é a média das repetições no ponto central. Teste do efeito de curvatura de segundo grau As hipóteses em teste são: Para testar essas hipóteses compara-se a SQefeito da curvarutura de 2o. Grua com o quadrado médio residual. Se os pontos fatoriais só tem uma única repetição, usamos os nC pontos centrais para obter uma estimativa do erro com nC-1 graus de liberdade.

Exemplo: uma engenheira química está estudando a produção de um processo. As variáveis de interesse são: tempo e temperatura de reação. A engenheira usou um fatorial 22 com uma única repetição de cada combinação do fatorial aumentado com 5 pontos pontos centrais. O desenho e os dados são dados na figura. 40.0 41.5 160 1 40.3 40.5 40.7 40.2 40.6 temperatura 155 0 150 -1 39.3 40.9 -1 30 35 1 40 tempo

Cálculo do quadrado médio do resíduo Cálculo da soma de quadrados do efeito quadrático Interpretação: o efeito da interação é não significativo; efeito significativo de tempo e temperatura. O efeito quadrático é não significativo, isto é a hipótese: H0:11 + 22=0 não pode ser rejeitada. Portanto, um modelo de primeira ordem é indicado.

Vamos assumir um modelo de regressão de 2a. ordem Não podemos estimar os parâmetros nesse modelo porque existem 6 parâmetros para serem estimados e o fatorial 22 mais o ponto central tem apenas 5 observações independentes. Solução: - aumentar o fatorial 22 com pontos axiais. Veja figura (a) O desenho resultante chama-se delineamento central composto.Pode-se ajustar um modelo de segunda ordem (quadrático). Na figura (b) temos um DCC para três fatores. x2 x3 x2 x1 Tem 8+6+nC pontos (3nC 5) Dois fatores. Fig (a) Três fatores. Fig. (b)