Regimes de escoamento

Muitos fenômenos em canais podem ser analisados com o princípio da energia H = z + y + aU2/(2g) Carga Altimétrica Carga Piezométrica Carga Cinética A partir do fundo do canal (Bakmeteff em 1912) Energia ou carga específica E = y + aU2/(2g) Aquela disponível numa seção, tomando como referência um plano horizontal passando pelo fundo do canal, naquela seção

Energia (carga) específica: é a distância vertical entre o fundo do canal e a linha de energia Adotando a = 1 e da continuidade y Nova referência (z = 0) Q z Datum

Curvas y x E para Q = cte e y x Q para E = cte

Fixando-se uma vazão Q E = E1 + E2 E2 = Q2/[2gA2] E1 = y onde f(y) E  ∞ Energia mínima Ec  yc  Profundidade Crítica

É também de interesse prático a curva y x Q para E = cte = E0 Água em repouso Canal retangular de largura b e tomando a vazão por unidade de largura q Não há água

Para um dado valor E > Ec 2 profundidades yf > yc e yt < yc Profundidades alternadas ou recíprocas 2 regimes de escoamento recíprocos yt  inferior, torrencial, rápido ou supercrítico yf  superior, fluvial, lento ou subcrítico

diminuição no nível de energia disponível: Regime supercrítico  diminuição de y Regime subcrítico  aumento de y

Até agora  uma curva de energia associada a uma vazão Acontece que em um canal não passa somente uma vazão para um canal  família de curvas, cada uma  uma vazão O aumento de Q produz um aumento de y e também de yc Uma determinada y pode ser subcrítica ou supercrítica, dependendo da Q em trânsito

Para que servem estes conceitos?

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Número de Froude

Da equação de energia específica B dy A Como dA = Bdy Aplicando a equação da continuidade

Igualando a expressão anterior a zero Fr = 1 Fazendo B = A/yh Fr é o número de Froude Ou ainda Igualando a expressão anterior a zero Fr = 1 Energia é mínima  regime crítico Além disso: y < yc  dE/dy < 0  1-Fr2 < 0  Fr > 1 y > yc  dE/dy > 0  1-Fr2 > 0  Fr < 1

1  crítico Fr > 1  supercrítico < 1  subcrítico Exercício: um canal retangular de base 5m tem as profundidades dadas em 1 e 2 e a vazão, determinar o regime de escoamento quanto à energia específica nestas seções

Interpretações do Número de Froude

É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais Razão entre a energia cinética e a energia potencial Razão entre a velocidade do escoamento e a velocidade de propagação das perturbações superficiais

É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais Dy Dx Volume elementar de um fluido = DxDyDz em queda livre Dz O peso (força de gravidade) força de inércia

Dimensionalmente l  dimensão característica do escoamento

Razão entre a energia cinética e a energia potencial Como o numerador envolve velocidade  energia cinética Como o denominador envolve profundidade  energia potencial Fr = 1  equilíbrio entre energias cinética e potencial

Razão entre U e a velocidade de propagação das perturbações superficiais Canal aberto com uma parede móvel na extremidade e líquido inicialmente em repouso Velocidade da onda em relação ao líquido  celeridade Deslocamento na parede VC se move com a onda

Aplicando as equações básicas sob as idealizações: - Escoamento permanente e incompressível - Uniforme numa seção - sem efeitos viscosos e de tensão superficial - Variação hidrostática de pressão - Forças de corpo inexistentes Da equação da continuidade

Da equação da quantidade de movimento Combinando as duas A distribuição hidrostática de pressão é válida em ondas de águas rasas  Dy << y

Se o líquido se move com velocidade V Se o líquido se move com velocidade V. A celeridade é c e a velocidade que um observador num ponto fixo do solo percebe é Vw = V ± c Fr < 1,0 (regime subcrítico) Fr > 1,0 (regime supercrítico)

subcrítico  ondas podem se mover para montante supercrítico  ondas não podem se mover para montante

Caracterização do escoamento crítico

Como visto anteriormente, o escoamento crítico ocorre quando Fazendo yh = A/B e substituindo U por Q/A Q2B = gA3 Ou ainda Tanto a área quanto a largura B são função de y e este deve ser igual a yc Podemos obter analiticamente expressões para yc em seções com geometria conhecida

Para seções retangulares (A = By) Por razões de ordem prática  q = Q/B Exemplo: Determine yc em um canal triangular, com taludes 1:1, transportando 14 m3/s

Exemplo: mostre que, para um canal retangular

Exemplo:

Exemplo:

Ocorrência de regime crítico: controle hidráulico

Conceito de seção de controle

Condição crítica  limite entre os regimes fluvial e torrencial Assim, quando há mudança de regime, y tem que passar por yc Há diversas situações onde isto ocorre: Passagem subcrítico  supercrítico I < Ic I > Ic y = yc mudança de declividade Esc. junto à crista de vertedores

Passagem supercrítico  subcrítico I < Ic I > Ic y = yc canal com mudança de declividade Saídas de comporta

Nas seções de transição  y = yc há uma relação unívoca Relação esta conhecida Seção de controle: é a seção onde se conhece a relação y x Q Não existe somente seção de controle onde ocorre yc (chamado controle crítico) Existem outros tipos de controle ...

Artificial  associado uma situação na qual y é condicionada por uma ocorrência distinta do regime crítico Exemplo: ocorrência associada ao nível de um reservatório, um curso d’água, uma comporta, etc. De canal  y é determinada pelas características de atrito ao longo do canal, ou seja, quando houver a ocorrência de escoamento uniforme

Para que servem estes conceitos?

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Controles de montante e de jusante

A noção de controle hidráulico nos faz identificar quando ocorre controle de montante e de jusante Supor estrutura retangular, de largura b, curta e queda livre a jusante desprezível

O que acontece se colocarmos uma comporta a jusante e liberarmos a água aos poucos? O que acontece se colocarmos uma comporta a montante e liberarmos a água aos poucos?

Primeiramente, pode-se mostrar que: da mesma forma que há uma curva E x y para Q constante, há uma curva q x y para E constante igual a E0 2) Para um canal retangular, a curva q x y dada pela equação abaixo, resultando no gráfico a seguir mostrado q é a vazão por unidade de largura

Voltando ... Escoamento subcrítico  controle de jusante Escoamento supercrítico  controle de montante

Escoamento subcrítico  controle de jusante, perturbações a jusante podem ser sentidas a montante perturbação Escoamento supercrítico  controle de montante, pois as ondas não podem ir para montante

Exercício: Um canal retangular com largura de 8m transporta uma vazão de 40 m3/s. Determinar a yc e Uc

6. Escoamentos uniforme e gradualmente variado

Por definição, o escoamento uniforme (EU) ocorre quando: A profundidade, a área molhada, a velocidade, a rugosidade e a forma da seção transversal permanecem constantes; A linha de energia, a superfície da água e o fundo do canal são paralelos

O EU pode ocorrer em canais muito longos, retos e prismáticos Nestes canais, a perda de carga devida ao escoamento turbulento é balanceada exatamente pelo decréscimo de energia potencial

Equações básicas

Continuidade, quantidade de movimento e energia Idealizações: 1) Escoamento permanente e uniforme; 2) Escoamento à profundidade constante (profundidade normal); 3) Escoamento incompressível; 4) Escoamento paralelo e à declividade baixa

Continuidade Como A1 = A2

Quantidade de movimento Escoamento paralelo  distribuição de pressão hidrostática Inclinação do canal pequena  q ≈ 0  q ≈ senq ≈ tgq ≈ Sb Resultante das forças em x forças de superfície forças de corpo Da equação da continuidade

força de corpo  peso  componente  Wsenq força de superfície  força de atrito Ff A força de pressão líquida é zero

Para o caso do escoamento permanente, incompressível e uniforme Para o escoamento permanente, incompressível e uniforme Perda de carga = desnível As linhas: de energia, piezométrica e de fundo do canal paralelas

Equações de resistência

Equação de Chézy e de Manning

Equação de Chézy (1769) Assumindo tw proporcional à U2: Ff = kLPU2, onde P é o perímetro molhado Substituindo na equação da QM e sabendo que W=gAL (Aárea molhada) onde C = (g/k)1/2 Equação de Manning (1889) De natureza completamente empírica No Sistema Internacional (SI) Relação entre C e n no SI:

Estimação do coeficiente de resistência

Aspectos teóricos e práticos

A dificuldade primária no uso das equações é a determinação de C e n Supondo que os mesmos se comportem como o fator de atrito de Darcy-Weisbach Equação da energia Substituindo D por  4R (lembrar que, para conduto circular, R=D/4)

C e n  dependem de f  depende de Re e de e Mas é muito mais difícil determinar e em canais Por causa dessa dificuldade  utilizamos valores médios de n A partir de um valor de Re  f constante  aplicação das equações em escoamentos HR

Procura-se um coeficiente constante que leve em conta os fatores que o influenciam Rugosidade da superfície Vegetação Irregularidade do canal Obstrução Alinhamento do canal Erosão e sedimentação Cota e descarga

Método do SCS: incrementação

Também chamado método de Cowan n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5 O Soil Conservation Service (SCS) desenvolveu um método que parte de um valor básico de n O valor básico é tabelado e serve para um canal reto, uniforme e liso  depois feitas correções no valor básico, considerando os fatores mencionados Também chamado método de Cowan n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5 Grau de meandrização Irregularidades: erosões, assoreamentos, depressões,... básico Variações de seção transversal Obstruções: matacões, raízes, troncos,... Vegetação: densidade, altura,...

Tabela de valores de n

Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959 Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959. Possui uma relação extensa de valores, função do tipo de canal e das condições deste Versões resumidas em todos os livros de hidráulica As tabelas a seguir foram obtidas no livro Curso de Hidráulica, de Eurico Trindade Neves

Valores de n para Condutos Livres Fechados Natureza das Paredes Condições Muito boas Boas Regulares Más Tubos de ferro fundido sem revestimento 0,012 0,013 0,014 0,015 Idem, com revestimento de alcatrão 0,011 0,012* 0,013* - Tubos de ferro galvanizado 0,017 Tubos de bronze ou de vidro 0,009 0,010 Condutos de barro vitrificado, de esgotos Condutos de barro, de drenagem 0,014* Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento; condutos de esgotos, de tijolos 0,015* Superfícies de cimento alisado Superfícies de argamassa de cimento Tubos de concreto 0,016 * Valores aconselhados para projetos

Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto Natureza das Paredes Condições Muito boas Boas Regulares Más Condutos de aduelas de madeira 0,010 0,011 0,012 0,013 Calhas de pranchas de madeira aplainada 0,012* 0,014 Idem, não aplainada 0,013* 0,015 Idem, com pranchões 0,015* 0,016 - Canais com revestimento de concreto 0,014* 0,018 Alvenaria de pedra argamassada 0,017 0,020 0,025 0,030 Alvenaria de pedra seca 0,033 0,035 Alvenaria de pedra aparelhada Calhas metálicas lisas (semicirculares) Idem corrugadas 0,0225 0,0275 Canais de terra, retilíneos e uniformes 0,0225* * Valores aconselhados para projetos

Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto (continuação) Natureza das Paredes Condições Muito boas Boas Regulares Más Canais abertos em rocha, uniformes 0,025 0,030 0,033* 0,035 Idem, irregulares; ou de paredes de pedras 0,040 0,045 - Canais dragados 0,0275* 0,033 Canais curvilíneos e lamosos 0,0225 0,025* 0,0275 Canais com leito pedregoso e vegetação nos taludes 0,035* Canais com fundo de terra e taludes empedrados 0,028 * Valores aconselhados para projetos

Valores de n para Condutos Livres Naturais Abertos (Arroios e Rios) Condições Muito boas Boas Regulares Más (a) Limpos, retilíneos e uniformes 0,025 0,0275 0,030 0,033 (b) Idem a (a), porém com vegetação e pedras 0,035 0,040 (c) Com meandros, bancos e poços pouco profundos, limpos 0,045 0,050 (d) Idem a (c), águas baixas, declividades fracas 0,055 (e) Idem a (c), com vegetação e pedras (f) Idem a (d), com pedras 0,060 (g) Com margens espraiadas, pouca vegetação 0,070 0,080 (h) Com margens espraiadas, muita vegetação 0,075 0,100 0,125 0,150

Outros métodos

Fotográfico  comparar nosso trecho de rio com seções catalogadas (US Geological Survey) Medição de velocidades  a partir da distribuição de velocidades para o escoamento turbulento HR, fazendo-se duas medições: a 0,8D e a 0,2D onde D é a profundidade do fluxo Empírico  relaciona-se n com algum diâmetro do elemento de rugosidade, vindo da curva de distribuição granulométrica

Cálculos com o escoamento permanente e uniforme

Qual a profundidade normal (yN ou y0)? Dois casos práticos: Verificação do funcionamento hidráulico 2) Dimensionamento hidráulico Caso 1  Qual a capacidade de condução de um canal de determinada forma, declividade e rugosidade, sabendo qual é a profundidade? Caso 2  Quais as dimensões que deve ter o canal, de determinada forma, rugosidade e declividade para conduzir uma determinada vazão? Qual a profundidade normal (yN ou y0)?

Manning (SI) Condutância hidráulica ou fator de condução Determinação da profundidade normal por tentativa e erro ou gráficos Função de yN constante

y 1 z b Supondo um canal trapezoidal A = (b + zy)y P = b + 2y (1+z2)1/2 y b z 1 Para resolver: adotam-se valores de yN, até igualar os lados Ou constrói-se um gráfico y x AR2/3 e localiza-se o ponto desejado que satisfaça o lado direito

Pode-se utilizar de gráficos adimensionais Pode-se utilizar de gráficos adimensionais. Por exemplo, para um canal de seção trapezoidal: yN/D ou yN/b x AR2/3/D ou AR2/3/b Métodos numéricos também podem ser usados (Newton, Bisecção,...) As calculadoras científicas atuais podem também resolver este tipo de problema

Em uma planilha, faz-se variar y Exercício: calcular yN de um canal trapezoidal: largura de fundo de 3m, declividade 0,0016, n = 0,013. Ele tem que ter a capacidade de transportar 7,1m3/s. O talude é de 1,5:1 y A(m2) P(m) R(m) AR2/3 2,30 14,84 9,22 1,61 20,37 2,32 15,03 9,27 1,62 20,75 2,34 15,23 9,33 1,63 21,13 2,36 15,43 9,38 1,65 21,51 2,38 15,64 9,44 1,66 21,90 2,40 15,84 9,49 1,67 22,29 2,42 16,04 9,54 1,68 22,68 2,44 16,25 9,60 1,69 23,08 Valor da constante Em uma planilha, faz-se variar y

Canais de rugosidade composta

Algumas vezes temos que estimar o valor de n equivalente ou representativo de uma seção, cuja rugosidade varia ao longo do perímetro O que se faz então é dividir o perímetro em N partes, cada uma das quais com seu valor de n Depois, calcula-se o n equivalente ne Horton (1933)  mais utilizada Einstein e Banks (1950) U1 = U2 = ... = UM Ponderação pelo perímetro molhado

Descarga normal em canais de seção composta

Quando o escoamento atinge a planície de inundação, P aumenta mais rapidamente que A  R, V e Q decrescem Esta situação é computacionalmente correta, mas não fisicamente: o método anterior pode fornecer estimativa ruim  superestimar n Alternativas: Ponderar n pela área de cada subseção; Calcular a condutância hidráulica em cada subseção e depois somá-las

Ponderação pela área Soma de condutâncias hidráulicas

Seções de perímetro molhado mínimo e vazão máxima

Procedimento simples rápido do ponto de vista hidráulico O dimensionamento de um canal leva tem por objetivos: 1) Determinar a forma geométrica 2) Determinar as dimensões Procedimento simples rápido do ponto de vista hidráulico Mas envolve outros fatores técnicos, construtivos e econômicos Presença de avenidas construídas ou projetadas Limitação de profundidade (lençol freático, etc.) ...

As seções de perímetros molhados mínimos ou vazão máxima Procuram eficiência hidráulica e do ponto de vista econômico (superfície de revestimento é mínima) Entretanto, o resultado pode ser: Seções profundas  custos  de escavação maiores, de rebaixamento de NA, não compensando a economia no revestimento velocidades médias incompatíveis com o revestimento Seções com b << y  dificuldades construtivas

y 1 z b Trapézio de perímetro molhado mínimo A área e o perímetro molhados são: A = (b + zy)y P = b + 2y (1+z2)1/2 y b z 1 Utilizando a razão de aspecto m = b/y substituindo na fórmula de P Isolando y Derivada de P em relação a m e igualando a zero

Ou ainda Para um canal retangular y b

Algumas recomendações de projeto

1) O projetista deve prever o “envelhecimento” do canal  nprojeto = 10 a 15% maior que ntabelado 2) Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível máximo de projeto, sobretudo para canais fechados 3) Preferir o método de soma de condutâncias hidráulicas para cálculo de seções compostas

As subseções são divididas por linhas verticais imaginárias, não computadas para o cálculo de Pi 4) A velocidade média  num intervalo que evite deposições e erosões (tabela a seguir)

5) Observar a inclinação máxima dos taludes

Escoamento permanente e gradualmente variado

Caracterização do EGV

O escoamento permanente no qual as características do fluxo variam no espaço é chamado de escoamento variado Se as mudanças forem graduais  escoamento gradualmente variado (EGV) Se as mudanças forem bruscas  bruscamente variado

O contorno influencia mais que o atrito com as paredes O atrito influencia mais EGV  declividade de fundo e da superfície livre não são mais as mesmas ao longo do conduto Da mesma forma, o gradiente energético não é mais paralelo ao gradiente do canal

Ocorrência de EGV: - trechos iniciais e finais de canais transições verticais e horizontais graduais canais com declividade variável Dadas estas interferências no escoamento, ao engenheiro interessa saber como se comportará a linha d’água Declividade variável

trecho final de canal Declividade variável

Quando há um EGV em regime subcrítico, em trechos a montante de um controle artificial  curva de remanso Em uma determinada seção: y  profundidade da água yN  profundidade normal y – yN  remanso

Idealizações A definição da linha d’água  a partir de considerações sobre energia São necessárias algumas idealizações: Canal de pequena declividade; Distribuição hidrostática de pressão (linhas de corrente aproximadamente paralelas); a perda de carga é avaliada por uma equação de resistência do escoamento uniforme

n independe de y e é constante ao longo do canal A distribuição de velocidade é fixa  a é constante A natureza do EGV é a mesma do escoamento uniforme, ou seja, Força motriz  gravidade; Força resistente  associada ao atrito ao longo do canal Entretanto, Sf (gradiente energético total) varia de seção para seção e, geralmente, é diferente de S0

Equação diferencial do EGV

Das idealizações e da equação da energia H = y + V2/2g + z ou H = E + z, onde E é a energia específica Tomando a derivada de H em relação a x (exprime a variação espacial) O termo d(V2/2g)/dx pode ser decomposto: V = Q/A, A = f(y) e y = g(x)  A = f(g(x))

B dy A Isto resulta em: onde T  largura da superfície livre dA=Bdy yh = A/B Assim

Voltando à equação original -S0 -Sf - Fr2dy/dx Equação diferencial do escoamento gradualmente variado (EDEGV)

Substituindo o termo de Sf pela equação de Manning e o termo de Fr pela sua equação

Análise das linhas d’água

Esta expressão é utilizada para estudos qualitativos da linha d’água Vamos criar duas funções f1 e f2, tal que

f1 e f2 são funções de y decrescentes  análise da linha d’água  análise do numerador e do denominador da equação diferencial

Análise do numerador  S0, Q e n = cte Escoamento uniforme

Regime crítico Análise do denominador  idem Regime subcrítico Regime supercrítico Regime subcrítico

Análise da declividade  S0 variável Para cada S0, há uma yN Se S0 for igual a Sc  yN = yc A análise de S0  3 tipos de canais: yN - declividade fraca ou moderada forte ou severa crítica

nula fraca forte

Análise da linha d’água, utilizamos o que foi dito antes da seguinte forma: f1 > 1 e f2 > 1  dy/dx>0  y cresce f1 < 1 e f2 < 1  dy/dx>0  idem f1 > 1 e f2 < 1  dy/dx<0  y decresce f1 < 1 e f2 > 1  dy/dx<0

Classificação dos perfis do EGV

Os perfis de linha d’água dependem: da relação entre a declividade de fundo e a declividade crítica 2) da relação entre y, yN e yc Os perfis de linha d’água

Perfis M (Mild Slope) Declividade fraca

região 1 região 2 região 3

Na região 1 y  yN  dy/dx  0 y  ∞  dy/dx  S0 Na região 2 y  yN  dy/dx  0 y  yc  dy/dx  ∞ Na região 3 y  0  dy/dx  limite finito y  yc  dy/dx  ∞

Na região 2: Perto de yc, as Linhas de Corrente (LC) não são mais retas e paralelas, contrariando as idealizações  linha tracejada

Na região 3: poderá haver ressalto com mudança brusca da curva M3 para o escoamento uniforme ou para a curva M1

Ocorrências dos perfis M M1  montante de uma barragem M2  montante de uma queda brusca

Ocorrências dos perfis M M3  mudanças de inclinação, saídas de comporta com abertura inferior a yc

Declividade severa ou forte Perfis S (Steep Slope) Declividade severa ou forte

região 1 região 2 região 3

Na região 1 y  yc  dy/dx  ∞ y  ∞  dy/dx  S0 Na região 2 y  yc  dy/dx  ∞ y  yN  dy/dx  0 Na região 3 y  yN  dy/dx  0 y  0  dy/dx  limite finito

Ocorrências dos perfis S S1  montante de uma barragem, estreitamentos, mudanças de S0

Ocorrências dos perfis S S2  canal de forte S0, alimentado por reservatório, mudança de S0 S3  jusante de barragens e comportas

Perfis C (Critical Slope) Declividade crítica Perfis H (Horizontal) Perfis A (Adverso)

A H M C S Perfis C: caso limite dos perfis S – S0 diminui Perfis A e H: casos limites dos perfis M quando S0 tende para 0 ou para um valor negativo, respectivamente A H C S M

região 1 região 3

As curvas de remanso são o caso limite das curvas M, quando S0  0 H2 e H3 ocorrem em situações análogas à curvas M2 e M3

Neste caso, A2 e A3 são similares a H2 e H3

Regras gerais

Em um canal uniforme, um observador se deslocando no sentido da corrente vê a altura d’água diminuir, desde que a linha d’água esteja entre yc e yN. Se a linha d’água estiver fora da área entre yc e yN  observador vê a altura d’água crescer

interior exterior yN yc

2.Quando a linha d’água se aproxima de yN, ela o faz assintoticamente

Quando a linha d’água se aproxima de yc, ela tende a cruzar esta profundidade em um grande mas finito ângulo

4. aplicação do conceito de seção de controle: regime subcrítico  controle a jusante (M1 em barragem, M2 em queda brusca) regime supercrítico  controle a montante (M3 em comporta de fundo)

curvas próximas A H C S M

Esboçar a linha d’água

Esboçar a linha d’água resposta

Esboçar a linha d’água yc yN S0 = 0 S0 > Sc S0 < Sc

Esboçar a linha d’água

Esboçar a linha d’água resposta

Esboçar a linha d’água

Esboçar a linha d’água resposta