8. Transformada Discreta de Fourier - DFT TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8. Transformada Discreta de Fourier - DFT 8.1 Representação de seqüências periódicas: Série Discreta de Fourier - DFS Vamos relembrar o desenvolvimento da TDFT – Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos

2.7. A Transformada de Fourier para Sinais Discretos TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 2.7. A Transformada de Fourier para Sinais Discretos Seja o sinal x[n] não-periódico e x[n] seu sinal periódico associado com período N ~ -N1 N1 -N N

Podemos representar x[n] através da Série de Fourier: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Podemos representar x[n] através da Série de Fourier: ~ Como: Podemos escrever: ou então:

Encontrando a envoltória de N.ak : TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Encontrando a envoltória de N.ak : Discreto  Contínuo Obtemos: Transformada de Fourier do Sinal Discreto x[n] Logo: Os coeficientes da Série de Fourier do sinal x[n] podem ser vistos como amostragem da Transformada de Fourier em k.0 do sinal x[n]. ~

Voltando à nossa análise: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Voltando à nossa análise: Chamando os termos: Definimos a Equação de Análise da DFS de N pontos como: e a Equação de Síntese da DFS de N pontos:

Denotando a quantidade complexa: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Denotando a quantidade complexa: Podemos reescrever as equações de análise e Síntese como:

8.2. Propriedades da DFS 8.2.1. Linearidade: 8.2.2. Deslocamento: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.2. Propriedades da DFS 8.2.1. Linearidade: 8.2.2. Deslocamento: 8.2.3. Dualidade:

8.2.5. Convolução Periódica * * TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.2.5. Convolução Periódica * *

8.2.6. Resumo das propriedades da DFS TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.2.6. Resumo das propriedades da DFS

8.5. A Transformada Discreta de Fourier - DFT TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.5. A Transformada Discreta de Fourier - DFT Considere sequência finita e a periódica associada ou Se comprimento Pela propriedade da Dualidade da DFS

Podemos definir a DFT de N pontos: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Temos que: ou Podemos definir a DFT de N pontos: Eq. de análise: Eq. de síntese:

- , DFS de x[n], é uma amostragem do espectro X() TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Interpretações: - , DFS de x[n], é uma amostragem do espectro X() X[k] uma amostragem de 1 período de X() espectro do sinal não periódico. -X[k] é um período do espectro do sinal periódico associado

DFT de um sinal contínuo não limitado no tempo: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR DFT de um sinal contínuo não limitado no tempo:

Exemplo: N=5 N=6 N=8 aliasing TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Exemplo: N=5 N=6 N=8

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

DFT de sinais sinusoidais TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR DFT de sinais sinusoidais 10 20 30 40 0.5 1 -1

Porém: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 30 35 -1 -0.5 0.5 1

DFT Sinal limitado em freq. com truncamento igual ao período. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR DFT Sinal limitado em freq. com truncamento igual ao período.

DFT Sinal limitado em freq. com truncamento não igual ao período. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR DFT Sinal limitado em freq. com truncamento não igual ao período.

8.6. Propriedades da DFT 8.6.1. Linearidade: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.6. Propriedades da DFT 8.6.1. Linearidade: 8.6.2. Deslocamento Circular: 8.6.3. Dualidade:

Nada mais é do que a convolução periódica considerando TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.6.5. Convolução Circular: Nada mais é do que a convolução periódica considerando sinais de duração finitos x1[n] e x2[n] Linear: Sinais ilimitados * Periódica: Sinais periódicos N Circular: Sinais limitados N

8.6.6. Resumo das Propriedades da DFT TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.6.6. Resumo das Propriedades da DFT

8.7. Convolução Linear usando DFT TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.7. Convolução Linear usando DFT -Existem algoritmos muito eficientes p/ cálculo da DFT algoritmos de FFT (Fast Fourier Transform) Logo é eficiente implementar a convolução de 2 sinais através dos seguintes passos: Calcular as DFTs de x1[n] e x2[n], X1[k] e X2[k] Calcular X3[k]=X1[k].X2[k] Calcular IDFT de X3[k], x3[n], obtendo: N Porém muitas vezes desejamos:

O resultado da convolução circular de N amostras será TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sendo: O resultado da convolução circular de N amostras será igual à convolução linear se: Porém: se um dos sinais tiver comprimento indeterminado (processamento em tempo real). Dois métodos implementam uma forma eficiente de cálculo da convolução linear através da DFT. Overlap-add e Overlap-save Implementação de Sistemas LTI

8.8 Transformada Discreta do Cosseno (DCT) TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8.8 Transformada Discreta do Cosseno (DCT) DFT é o exemplo mais comum da classe de Transformadas Discretas de tamanho finito Onde as sequências base São ortogonais:

A[k] nesse caso é geralmente uma sequência complexa. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR No caso da DFT: A[k] nesse caso é geralmente uma sequência complexa. São exemplos de Transformadas que fazem : -Haar -Hadamard -Hartley (DHT) -DCT -DST - ...

A DCT considera o sinal x[n] periódico e com simetria par: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR A DCT considera o sinal x[n] periódico e com simetria par: Período: Período: 2N-2 2N 4N 4N Logo: temos 4 tipos de DCT: DCT-1, DCT-2, DCT-3 e DCT-4 E existem outras 4 formas de se criar um sinal periódico e com simetria par.

A DST (Discrete Sine Transform) considera sinal periódico TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR A DST (Discrete Sine Transform) considera sinal periódico E com simetria ímpar. 8 formas de se fazer. Sendo as funções de base baseadas no seno. Logo temos uma família de 16 transformadas ortogonais A DCT-2 é a mais utilizada em aplicações de compressão de sinais (JPEG e MPEG-1,2,4): Onde:

Exemplo: Compactação de Energia na DCT-2 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Exemplo: Compactação de Energia na DCT-2

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

Transformada ótima para compactação TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Transformada ótima para compactação de energia : Karhunen-Loève (Hotelling, PCA) Base formada pelos auto-vetores da matriz de covariância do sinal a ser compactado A DCT é assintoticamente ótima.

9. Computação da DFT Complexidade Computacional: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 9. Computação da DFT Complexidade Computacional: Medida através do número de , + , é proporcional ao tempo gasto p/ executar um algoritmo. Porém: outros fatores: quantidade de memória requerida operações transcendentais, raiz, log, etc. Em VLSI: consumo, área de chip são fatores importantes P/ escolha de um algoritmo. Algoritmos de FFT: revolucionaram a área de processamento de sinais

9.1. Computação eficiente da DFT TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 9.1. Computação eficiente da DFT Como as equações diferem apenas do fator de escala N e do sinal do expoente de WN, a teoria vista p/ cálculo da DFT aplica-se também à IDFT Cálculo direto: como x[n] pode ser sinal complexo, Para computar N amostras do sinal X[k] requer N2 multiplicações complexas e N(N-1) adições complexas ou 4N2 multiplicações reais e N(4N-2) somas reais E mais memórias p/ armazenamento de N amostras complexas de x[n] e coeficientes WN Proporcional O(N2)

A maioria dos algoritmos de FFT exploram as seguintes características: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR A maioria dos algoritmos de FFT exploram as seguintes características: 1) Simetria complexa conjugada: 2) Periodicidade em k e n : Exploram ainda a decomposição de uma DFT de N pontos em DFTs de comprimentos menores Algoritmos: -Goertzel(1958): O(N2) -Cooley-Tukey(1965): Deu origem à decimação no tempo -Sande-Tukey(1966): Deu origem à decimação em frequência

9.3. Algoritmos de Decimação no Tempo TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 9.3. Algoritmos de Decimação no Tempo -decomposição sucessiva de x[n] em parcelas menores Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2 x[n] de N pontos é dividido em 2 sequências de N/2 pontos Compostas dos n ímpares e n pares

Mudando as variáveis: n=2r para n par n=2r+1 para n ímpar TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Mudando as variáveis: n=2r para n par n=2r+1 para n ímpar Como:

Como: Podemos reescrever: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Como: Podemos reescrever:

Aplicando o mesmo princípio para o cálculo de G[k] e H[k] DFT(N/2) TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Aplicando o mesmo princípio para o cálculo de G[k] e H[k] DFT(N/2)

E assim sucessivamente até chegar ao cálculo da DFT(2) TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Temos: E assim sucessivamente até chegar ao cálculo da DFT(2)

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR DFT de 2 pontos:

Diagrama completo p/ DFT 8-pontos decimação no tempo: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Diagrama completo p/ DFT 8-pontos decimação no tempo: Notar que a complexidade computacional é: N.log(N)

Reduzindo ainda mais a complexidade computacional: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Reduzindo ainda mais a complexidade computacional: Célula básica de computação: butterfly Como:

Assim: Algoritmo completo TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Assim: Algoritmo completo Obs: Complexidade computacional O(N.log(N)) Computação In-Place, uso da mesma memória p/ entrada e saída -Ordem do sinal de entrada x[n]

Ordenação Bit-Reversa TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ordenação Bit-Reversa X[0] = x[0] X[1] = x[4] X[2] = x[2] X[3] = x[6] X[4] = x[1] X[5] = x[5] X[6] = x[3] X[7] = x[7] X[000] = x[000] X[001] = x[100] X[010] = x[010] X[011] = x[110] X[100] = x[001] X[101] = x[101] X[110] = x[011] X[111] = x[111]

9.4. Algoritmos de Decimação na Frequência TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 9.4. Algoritmos de Decimação na Frequência -decomposição sucessiva de X[k] em parcelas menores Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2 X[k] de N pontos é dividido em 2 seqüências de N/2 pontos Compostas dos k ímpares e k pares P/ X[pares] Que podemos escrever como:

Que podemos escrever como: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR P/ X[pares] Que podemos escrever como: Substituindo variáveis no 2° somatório Notando que: Logo:

De modo análogo p/ k ímpares podemos escrever: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Lembrando que: Temos que: Pode ser escrito como: De modo análogo p/ k ímpares podemos escrever: P/ X[ímpares] Que podemos escrever como:

Que podemos escrever como: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR P/ X[ímpares] Que podemos escrever como: Substituindo variáveis no 2° somatório Notando que: Logo:

Logo: P/ k ímpares: P/ k pares: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo: P/ k ímpares: P/ k pares:

Aplicando o mesmo procedimento p/ cálculo da DFT N/2 pontos TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Aplicando o mesmo procedimento p/ cálculo da DFT N/2 pontos

E assim sucessivamente até a DFT de 2 pontos, Calculada por: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR E assim sucessivamente até a DFT de 2 pontos, Calculada por: Algoritmo completo p/ DFT(8) decimação em Frequência: Obs: O(N.log(N)) Computação In-Place -Saída bit-reverso

Algoritmos vistos são Radix-2 Outros algoritmos: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Algoritmos vistos são Radix-2 Outros algoritmos: -Radix-4, Radix-8, etc... -Split-Radix -Produto de inteiros -...

Convolução: Método Direto: Complexidade: O(2N2) Por FFT: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Convolução: Método Direto: Complexidade: O(2N2) Por FFT: Complexidade: O(3.2N.log(2N)+2N)