Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 6: Métodos numéricos para determinação de autovalores e autovetores
Problemas de autovalores y´´ = Ay y = xet y´´ = 2 xet = Ay = A xet dividindo por et e fazendo =2 A x = x
Autovalor (eigenvalue, valor característico): é um número (real ou complexo) tal que a equação A x = x tem solução não trivial x 0 x é um autovetor (eigenvector). O conjunto de autovalores de A é chamado de o espectro de A. (A - I)x= 0 Só existe solução não trivial se det | A - I| = 0. Matrizes similares têm os mesmos autovalores. D é similar a A se existe uma matriz T tal que D = T-1 A T
Desvio espectral: se A tem o conjunto de autovalores 1 , 2 , 3 ..... , então A - k I terá como autovalores 1 - k , 2 - k , 3 - k ..... O maior valor absoluto do conjunto {} é chamado de raio espectral de A. Os autovalores são as raízes da equação característica det | A - I| = 0 A soma dos autovalores é chamado de traço de A. traço A
Obtenção dos autovalores: método da potência Trata-se de um método iterativo. Iniciamos com um vetor xo 0, calculando um novo vetor x1 = A xo. E assim sucessivamente: x2 = A x1 ; x3 = A x2 ...... xs = A xs-1 y = xs ; x = xs-1 (y = A x) Se A for uma matriz real e simétrica (AT = A), então é uma aproximação para um autovalor de A (em geral, o maior valor absoluto), com erro estimado em mo = xT x m1 = xT y m2 = yT y
Deflação de Wielandt Achado um autovalor 1, com achar os demais? Deve-se obter uma nova matriz A1 cujo espectro seja {0, 2 , 3 ...}. A obtenção de A1 a partir de A é chamado de deflação de A. Deflação de Wielandt Temos a matriz A, um autovalor 1 e o correspondente autovetor x1. A matriz A1 pode ser obtida como: A1 = (I - x1z1T) A z1T é um vetor tal que z1T x1 = 1 Atenção: =