Matemática Discreta I BCC101 Introdução 1

Bibliografia, Slides, Exercícios etc Rosen: Matemática Discreta e Aplicações Slides, exercícios, avisos, notas: www.decom.ufop.br/lucilia/md1 2 2

Visão Geral Matemática Discreta lida com estruturas matemáticas discretas: constituídas de partes distinguíveis ou separadas. Discreto vs. Contínuo: Naturais vs Reais Como computadores operam de maneira descontínua (ou discreta), executando um passo a cada instante, Matemática Discreta é o arcabouço apropriado para descrever Computação. 3 3

Visão Geral O conceito central da computação é o de ALGORITMO. Matemática Discreta ajuda a entender… ferramentas para a construção de algoritmos ferramentas para a análise de complexidade de algoritmos métodos para a prova de correção de algoritmos 4 4

Matemática Discreta Lógica Formal e Técnicas de Prova Estruturas Discretas: conjuntos, relações, funções, árvores, grafos Indução e Recursão Teoria de números —propriedades de inteiros Combinatória—problemas de contagem Análise de algoritmos Computabilidade e decidibilidade 5 5

Aplicações Desenvolvimento de Software e Hardware Teoria da Computação Projeto de chips, especificação de software, geração automática de software, prova formal de correção de programas Teoria da Computação Métodos de prova para estudo de propriedades de modelos teóricos de computação Fundamentação para LPs Inteligência Artificial Bancos de Dados 6 6

O que é Lógica Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos sentenças declarativas tais como: Se eu dormir demais, vou chegar atrasado Eu dormi demais Eu não cheguei atrasado Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos obter conclusões: De i e ii podemos concluir... De i e iii podemos concluir... 7 7

Três Lógicos com chapéus Três lógicos A, B e C, estão usando chapéus. Os três sabem que cada chapéu é preto ou branco, e que não são todos os chapéus brancos. O lógico A pode ver os chapéus de B e C; B pode ver os chapéus de A e C; e C é cego. Pergunta-se a cada um, primeiro a A, depois a B, depois a C, se ele sabe a cor do seu próprio chapéu. As respostas são: A: ”Não". B: ”Não". C: "Sim". Qual é a cor do chapéu de C e como ele sabe isso? 8 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 8

Como ganhar 1 milhão usando lógica Lecture 1 - CS1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Como ganhar 1 milhão usando lógica 3 Portas Uma porta tem 1 milhão Uma porta tem uma caneta Uma porta tem uma pipoca A Caneta aqui B Pipoca na porta C C Caneta na porta A Questão extra: Onde está a caneta? D Adapted from Smullyan, The Lady or the Tiger, Times Books, 1982 It can’t be door A because the statement on the jackpot door is true, and door A says the Palm Pilot is behind it. So, the jackpot can’t be behind door A. It can’t be door B because if door B had the jackpot, it’s sign would be true, and the Popsicle would be behind C. But if the Popsicle were behind C, the statement on C would be false, but it can’t be because there’s nowhere else but door A for the Palm Pilot. So the jackpot can’t be behind door B. Inscrições nas portas Porta $$: inscrição verdadeira Porta da pipoca: inscrição falsa BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Knights and Knaves (Raymond Smullyan) 11/28/06 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Em uma ilha hipotética, os habitantes ou são Knights, que sempre falam verdade, ou Knaves, que sempre mentem. Você pergunta a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: “Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight”. Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave? Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Knights and Knaves (Raymond Smullyan) 11/28/06 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Seja k = o nativo é um knight o = há ouro na ilha Temos: (k ∧ (k=o)) ∨ (¬k ∧ ¬(k=o)) = true Conclusão: há ouro na ilha não se pode saber se o nativo é knight ou knave k o k ∧ (k=o) ¬k ∧ ¬(k=o) true false BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP