BCC101 – Matemática Discreta Lecture 11 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas

Demonstração de Teoremas – Ex1 Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 O que queremos provar é: ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2 Para provar ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2 devemos provar 0≤a<b ➝ a2<b2, para a e b números reais arbitrários Para provar 0≤a<b ➝ a2<b2, basta provar a2<b2, supondo 0≤a<b CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Receita de bolo Para demonstrar um teorema: Entenda o enunciado, identifique as hipóteses e a conclusão Expresse o teorema como uma fórmula da Lógica de Predicados Construa a prova passo a passo, usando as regras de Dedução Natural que vimos anteriormente. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 Prova: Sejam a e b números reais arbitrários e suponha 0≤a<b. Então a2 = a . a < b . a {porque 0≤a<b} < b . b {porque 0≤a<b} = b2 c.q.d. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 OBS: Note que 0 ≤ 5 < 7 ➝ 52 < 72 é uma instância do teorema acima. Provar que uma, ou várias instâncias são verdadeiras não significa ter provado o teorema! CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Demonstração de Teoremas Teroema: Sejam x,y∈R tais que x>3 e y<2. Então x2 – 2y > 5. Quais são as hipóteses e a conclusão do teorema? Apresente algumas instências do terorema Construa uma prova para esse teorema. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Demonstração de Teoremas Conjectura: Sejam x,y∈R tais que x>3. Então x2 – 2y > 5. A conjectura é falsa ou verdadeira? Apresente um contra-exemplo que mostra que essa conjectura é falsa. x = 4, y = 6 pois então temos 42 – 2.6 = 2 < 5 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Não se esqueça Para mostrar que uma conjectura é verdadeira (é um teorema) devemos construir uma prova da mesma. Para mostrar que uma conjectura é falsa, basta apresentar um contra-exemplo para a mesma. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Estratégias de Prova - Direta A partir do exemplo anterior, podemos deduzir nossa 1a. estratégia de prova de teoremas: Prova Direta: Para provar uma asserção da p ➝ q, suponha p e prove q [p] ⊢ q p ➝ q CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Exercícios Prove que, para todo n∈N, se n é impar então 3n+9 é par. Prove que se a e b são números racionais, então a-b é racional Prove que se n é par então n2 é par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova direta – mais um exemplo Teorema: Sejam A,B e C conjuntos. Se A∩C ⊆ B e a∈A, então a ∉ A\B. Hipóteses: A∩C ⊆ B a∈A Conclusão: a ∉ A\B a ∉ A\B = ¬(a ∈A\B) = ¬(a ∈A ∧ a ∉ B) = ¬a ∈A ∨ ¬ a ∉ B = ¬a ∈A ∨ a ∈ B = a ∈A ➝ a ∈ B CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova direta – mais um exemplo Trocamos a demonstração de a ∉ A\B por uma demonstração envolvendo a ∈A ➝ a ∈ B, que é mais simples. Agora é só usar uma das estratégias que envolvem o conectivo ➝ Como você concluiria a prova? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Queremos provar: ∀n∈Z. par(n2) ➝ par(n) Mais precisamente: ∀n∈Z.(∃k∈Z.n2=2k)➝(∃k∈Z.n=2k) Infelizmente, a estratégia de prova direta não nos ajuda neste caso… CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Estratégias de Prova - Contrapositivo Prova por contrapositivo: Para provar uma asserção da p ➝ q, podemos provar a asserção equivalente ¬q ➝ ¬p, ou seja, supomos ¬q e provamos ¬p CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Ao invés de provar par(n2) ➝ par(n) Vamos provar o contrapositivo ¬par(n) ➝ ¬par(n2), isto é, seja impar(n) ➝ impar(n2), ou seja: (∃k∈Z.n=2k+1)➝(∃k∈Z.n2=2k+1) CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Prova: Por contrapositivo. Seja n∈Z arbitrário e suponha n impar, isto é, n=2k+1, para algum k∈Z. Então n2 = (2k+1) (2k+1) = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1 ou seja, n2 é impar Portanto, se n2 é par, então n é par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Exercícios Sejam a,b,c ∈ R e a > b. Prove que, se ac ≤ bc, então c ≤ 0. Prove que, se x é um número irracional, então √x é um número irracional. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Mais estratégias de prova Se a e b são números inteiros, então a2 – 4b ≠ 2. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Prova por contradição Suponha que queremos provar uma conclusão C. A idéia de uma prova por contradição é supor que a conclusão a ser provada é falsa, isto é, supor ¬C, e mostrar que essa suposição nos leva a uma contradição. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Prova por contradição Teorema: se a,b ∈ Z então a2-4b≠2 Prova: Suponha, por contradição, que a2-4b=2 Então a2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a2 é par e, portanto, a é par. Ou seja, a = 2c, para algum inteiro c. Substituindo a por 2c na equação acima obtemos: (2c)2 = 2(1+2b) => 4c2 = 2 (1+2b) Dividindo ambos os lados por 2: 2c2 = 1+2b => 1 = 2b – 2c2 = 2(b-c2) Como b,c ∈ Z, isso significa que 1 é par, o que é um absurdo! Portanto a2-4b≠2. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Mais estratégias de prova Um número real x é racional se x=a/b, para algum número a ∈Z e algum número b ∈ Z, b≠0. E x é irracional, se ele não é racional. Teorema: √2 é um número irracional Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Prova por contradição Teorema: √2 é um número irracional Prova: Suponha, por contradição, que √2 é racional, isto é, √2 =a/b, para a,b∈Z, b≠0. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e b são primos entre si -- mdc(a,b)=1. Então (a/b)2=(√2)2=2 ⇒ a2=2b2, ou seja a2 é par e, portanto, a é par, i.e., a=2k, para algum k∈Z. Então b2=a2/2=(2k)2/2=2k2, ou seja, b2 é par e, portanto, b é par. Mas isso constraiz o fato de que a e b são primos entre si. Portanto, concluimos que √2 é irracional CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova por contradição – mais exemplos Teorema: O conjunto dos números primos é infinito. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Como pode ser expressa a negação dessa conclusão? Como podemos obter uma contradição, a partir da negação da conclusão? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Exercícios Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional Prove que o conjunto dos números pares é infinito Sejam a e b inteiros. Então a2-4b≠2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma ∀x. f(x), devemos provar que f(x) é verdadeira, para x arbitrário. Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c então a|c. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma ∃x.f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira. Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Erros em provas Considere a seguinte afirmação incorreta: ∃x∈R. ∀y∈R. (xy2=y-x) O que está errado com a seguinte prova desta afirmação: Prova: Seja x = y/(y2+1). Então y-x = y- y/(y2+1) = y3/(y2+1) = (y/(y2+1)) y2 = xy2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova de existência - construtiva Prove que existe um número inteiro que pode ser escrito como a soma de dois cubos de diferentes maneiras 1729 = 103 + 93 = 123 + 13 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Prova de existência - não construtiva Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional. Prova: Considere √2√2. Temos 2 possíveis casos: √2√2 é racional, o que conclui a prova √2√2 é irracional, e então, tomando x = √2√2 e y = √2, temos xy = (√2√2) √2 = √22 = 2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page

Existência e Unicidade A prova de uma afirmativa da forma ∃! x. f(x) tem duas partes: Prova de existência:∃! x. f(x) Prova de unicidade: (∀y.f(y) ➝ y=x) Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um único número real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page