Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações

Motivação: representação de movimentos e formas

Objetos compostos hierarquicamente Hieraquia de movimentos Base Braço 1 Braço 2 Braço 3 Dedo Hieraquia de transformações

Transformações R 2 R 2 Exemplos: x y x´ y´ p´p´ = x y x y p =

Transformações lineares R 2 R 2 x y m 11 x´ y´ = m 21 m 22 m 12 Mostre que: 1 0 x y 0 1 m 11 m T = m 12 m T = T (0) = 0 A) B)

Transformações lineares: escala x y a = x y x´ y´ a´a´ = Redução (0< s x <1), Aumento (s y >1) c b x y i j

Transformações lineares: espelhamento x´ = -1x y´ = y x y x´ y´ p' = = p x y x y i j

Transformações lineares: rotação x´ y´ p' = x´ y´ r x´ = x.cos - y.sen y´ = x.sen + y.cos x y p = x y r rr

Transformações Lineares: matriz derivada pela geometria x y i j

Mudança de referêncial x y p = x y x y cos u v = sen cos -sen u v u v ou x y p = x´ y´ p' = x y x y uxux u v = vxvx vyvy uyuy Para montarmos a matriz que transforma as coordenadas de um refencial xy para um novo refencial uv basta escrevermos as linhas como sendo os unitários das direções. x y i j

Mudança de coordenadas entre sistemas rotacionados As coordenas de um ponto rodado de um ângulo em relação a um sistema são iguais as coordenadas do ponto original em relação a um sistema que sofre a rotação inversa. Como o novo sistema sofre a rotação inversa, a matriz de rotação é a inversa da matriz que levaria da base original para a este novo sistema. As colunas de uma matriz de uma rotação são as transformadas dos vetores da base e a transposta desta matriz é a sua inversa (rotação matriz ortonormal). Logo as linhas da matriz que escreve uma mudança entre bases ortonormais rodadas são as coordenadas do vetores da nova base em relação a base original.

Transformações lineares: cisalhamento (shear) Cisalhamento em x x x yy x y i j

Exemplo de aplicação do cisalhamento x y a b c plano de projeção m x y a' m' x y c' b' a' m'

Exemplo de aplicação do cisalhamento x y a x y c' b' a' m'

Decomposição Singular de Matrizes diagonal rotações

Exemplo: cisalhamento como composição de rotações e escala

Transformações Geométricas: Translação x y p p' txtx tyty t = x y = txtx tyty + = x y x y ? x´ y´ = ? ? ? x y 1 x´ y´ = txtx tyty + Não pode ser escrito na forma Ruim para implementação

Translação num plano do R 3 yhyh xhxh w w=1 x y t matriz de translação

Concatenação x y x0x0 y0y0 x y x y x y x0x0 y0y0

Concatenação xyx y x y xyx y x y T1T1 R1R1 E R2R2 T2T2 P= T 2 R 2 E R 1 T 1 P

Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito) yhyh xhxh w w=1 x y 2 3 u = u uhuh = ? ? uhuh w h1h1 c1c1 h 2 = c 2 h3h3 c3c / / infinito na direção (2,3) infinito na direção (2,3) h1h1 h2h2 h3h3 h4h4 c1c1 c2c2 c3c3 c4c4

Reta no espaço projetivo yhyh xhxh w reta: ax+by+c=0 plano: ax+by+cw=0 plano: w=1

Reta paralelas no espaço projetivo yhyh xhxh w plano: ax+by+c 1 w=0 reta: ax+by+c 1 =0 reta: ax+by+c 2 =0 plano: ax+by+c 2 w=0 reta= ax+by =0 plano: w=1

Matriz da Homografia

[A] : Afim Obs: Se fosse um paralelograma a imagem do ponto 2 seria (1,1) T e não (α, ) T

[P] : Projetiva

[N] : Paralelograma para quadrado unitário