Uma variação do Lema do Bombeamento Reformularemos o enunciado do Lema de maneira a torná-lo mais facilmente aplicado em algumas situações. A reformulação permitirá o uso de um método de prova baseado num jogo contra o diabo

Variação do Lema Teorema. Seja A um conjunto regular. Então a seguinte propriedade se dá sobre A: (P) Existe k≥0 tal que para quais_quer cadeias x,y,z com xyzA e |y|≥k, existem cadeias u,v,w tais que y=uvw, v≠ε, e para todo i≥0, a cadeia xuyivwzA

Negando (P) Teorema. Seja A um conjunto de cadeias e suponha que: (~P) Para todo k≥0 existem cadeias x,y,z com xyzA e |y|≥k, e para todas cadeias u,v,w tais que y=uvw, v≠ε, e existe i≥0, tal que cadeia xuyivwzA. Então A não é regular.

Jogando contra o diabo O diabo quer mostrar que A é regular e voçê que não! Ele então pega k. Você vai escolhe xyzA e |y|≥k. Daí ele pega u,v,w tais que y=uvw, v≠ε, Você mostra o i≥0, com xuyivwzA

xuv0wz=xuwz=ak_mbakA Exemplo de Uso No exercício 5 último foi pedido para mostrar que {x{a, b, c}* |x é palíndrome, i.e., x=rev(x)} não é regular. Dado k do diabo basta escolher x= ε, y=ak e z=bak. Qualquer escolha u,v,w do diabo com, digamos |v|=m>0, basta escolher i=0 e xuv0wz=xuwz=ak_mbakA

Minimização de Estados remover estados inalcançáveis ou colapsando estados equivalentes. b a a,b a,b b a a a b b a b b a a b

Um autômato mínimo b a a b b a a,b

Resumindo ... dado M = (Q, å, d, s, F): Livrar_se dos estados inalcançáveis, i.e. dos estados q tais que não existe cadeia xå * tal que d*(s,x)=q. Colapse estados equivalentes

Mais exemplos a a,b a,b a,b a,b a,b b a,b a a a,b a,b b a,b b a,b b a

Ainda mais exemplos a a a,b a,b b a,b a,b b a,b b a,b a

A Construção do Quociente Como saber com segurança que dois estados podem ser colapsados como fazer o colapso formalmente? como determinar se mais colapsos podem ser feitos?

p=d*(s,x)F e q=d*(s,y)F nunca colapsaremos um estado que rejeita com um que aceita: p=d*(s,x)F e q=d*(s,y)F colapsar p com q aceitar y ou rejeitar x. o colapso de p e q implica no colapso de d(p,a) com d(q,a)

xå*(d*(p,x)Fd*(q,x)F) A equivalência Logo, p e q não podem ser colapsados se d*(p,x)F e d*(q,x)F Então definamos uma relação de equivalência ≈ sobre Q por: p ≈ q se, e somente se xå*(d*(p,x)Fd*(q,x)F)

não é difícil mostrar que de fato ≈ é uma relação de equivalência. [p]:={q|q≈p} p≈q sss [p]=[q]

O Autômato Quociente Dado M, definamos M/≈ = (Q’,å, d’,s’, F’) onde: Q’={[p] | pQ} d’([p],a)=[d(p,a)] s’=[s] F’={[p] | pF}

Resultados Úteis Lema 1. Se p≈q, então d(p,a)≈d(q,a). Equivalentemente, se [p]=[q] então [d(p,a)]=[d(q,a)]. Lema2. pF sss [p]F’. Lema3. d’*([p],x)=[d*(p,x)]

Teorema. L(M/≈)=L(M) Prova. Para x  å*, x  L(M/≈) sss d’*(s’,x)  F’ def. de aceita sss d’*([s],x)  F’ def. de s’ sss [d*(s,x)]  F’ lema 3 sss d*(s,x)  F lema 2 sss x  L(M) def. de aceita qed

M/≈ não pode ser mais colapsado Defina [p]~[q] sss xå*(d’*([p],x)F’d’*([q],x)F’)

xå*(d’*([p],x)F’d’*([q],x)F’) [p]~[q] xå*(d’*([p],x)F’d’*([q],x)F’) xå*([d*(p,x)]F’[d*(q,x)]F’) lema 3 xå*(d*(p,x)Fd*(q,x)F’) lema 2  p≈q [p]=[q]

Algorítmo de Minimização 1. Escreva uma tabela dos pares {p,q}, inicialmente desmarcados 2. Marque {p,q} se pF e qF ou vice_versa. 3. Repita até que não poder mais: se existe um par desmarcado {p,q} tal que {d(p,a),d(q,a)} é marcado para algum aå, então marque {p,q}. 4. Quando acabar 3, p≈q sss {p,q} é desmarcado.

Exemplo 1 _ ■ 2 _ _ 3 _ _ _ ■ ■ 4 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ _ ■ ■ ■ ■ 2 a b a,b 3 4 1 5 1 _ 2 _ _ 3 _ _ _ 4 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ _ 0 1 2 3 4 ■ ■ ■ ■ ■ ■ a,b ■ ■ ■ a,b

Corretude do Algorítmo Q={{p,q} | p,qQ} ={{p,q} | p≠q}  {{p} | pQ} logo existem ( )+n=(n2+n)/2. seja agora Δ: Q → Q Δ({p,q},a)={d(p,a),d(q,a)} e F ={{p,q} | pF, qF } X:= F repeat X’:=X; X:=X  {{p,q}|a. Δ({p,q},a)X} until X=X’ X é o conjunto dos marcados n 2

Corretude do Algorítmo X = {{p,q} | x*. Δ*({p,q},x}F} = {{p,q} | x*. d*(p,x)F,d*(q,x)F } = {{p,q} |(x*.(d*(p,x)Fd*(q,x)F ))} = {{p,q} | (p≈q)